分段函数及映射 课件

问题 3 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的 条件“非空数集”扩展为“任意两个非空集合”，按照某种 法则可以建立起更为普遍的两集合的元素之间的对应关系， 即映射．那么，你能给映射下个定义吗？ 答 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定 的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中 都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从 集合 A 到集合 B 的一个映射．
中 都有唯一 确定的元素 y 与之对应，那么就称对应 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的 一个映射 .
问题情境：某人去上班，由于担心迟到，所以一开始就跑步 前进，等跑累了再走完余下的路程．可以明显地看出，这人 距离单位的距离是关于出发后的时间的函数，想一想，用怎 样的解析式表示这一函数关系呢？为解决这一问题，本节我 们学习分段函数．
探究点二 分段函数 例 2 某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定：
(1)5 公里以内(含 5 公里)，票价 2 元； (2)5 公里以上，每增加 5 公里，票价增加 1 元(不足 5 公里按照 5 公里计算)． 如果某条线路的总里程为 20 公里，请根据题意，写出票价与里程 之间的函数解析式，并画出函数的图象． 分析 1 函数的自变量是什么？如何设置变量？定义域的范围如何？ 答 自变量为里程，设票价为 y 元，里程为 x 公里，定义域为(0,20]．
跟踪训练 2 已知一个函数 y＝f(x)的定义域为区间[0,2]，当 x∈[0,1] 时，对应关系为 y＝x，当 x∈(1,2]时，对应关系 y＝2－x，试用解 析法与图象法分别表示这个函数． 解 已知的函数用解析法可表示为 y＝x2，－xx∈，[x0∈，11，] 2] 用图象表达这个函数，它由两条线段组成，如下图．
＝－ 3 2x－－21<x≤x≤1，－2， 2x＋1 x>1.
在相应的 x 取值范围内，分别作出相应函数的图象，即为所求 函数的图象．Байду номын сангаас(2)根据函数的图象可知：函数的定义域为 R，值域为[3，＋∞)．
探究点一 函数图象的作法 问题 作函数的图象通常分为哪几步？
答 通常分为三步，即列表、描点、连线． 例 1 画出函数 y＝|x|的图象．
解 由绝对值的概念， 有 y＝x－，x，xx≥<00. ， 所以，函数 y＝|x|的图象如图所示．
小结 (1)画函数图象时首先要考虑函数的定义域．(2)要标出关键 点，如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等，要分清这些关键 点是实心还是虚心．(3)要掌握常见函数图象的特征．(4)函数图象 既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等．
分段函数及映射
1．分段函数 (1)分段函数就是在函数定义域内，对于自变量 x 的不同取值 范围，有着不同的 对应关系 的函数． (2)分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的 定义域、值域的 并集 ；各段函数的定义域的交集是 空集 ． (3)作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象．
2．映射的概念 设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应 关系 f，使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B
探究点三 映射的概念及应用 问题 1 回忆初中学习过的一些对应，你能举出几个？
答 对于任何一个实数 a，数轴上都有唯一的点 P 和它对应； 对于坐标平面内任何一个点 A，都有唯一的有序实数对(x，y) 和它对应； 对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应； 某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应． 问题 2 函数关系实质上是两个集合之间的一种对应关系，这两个集 合有什么特点？ 答 两个集合是非空数集．
分析 2 该函数用列表法怎样表示？
答
里程x(公里) (0,5] (5,10] (10,15] (15,20]
票价y(元) 2
3
4
5
问题 1 根据分析 1、分析 2 写出例 2 的解答过程．
解 由题意得函数的解析式如下：
2，0<x≤5， y＝34，，51<0<x≤x≤101，5，
5，15<x≤20.
问题 4 函数与映射有怎样的关系？ 答 映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射．
例 3 以下给出的对应是不是从集合 A 到集合 B 的映射？ (1)集合 A＝{P|P 是数轴上的点}，集合 B＝R，对应关系 f：数轴 上的点与它所代表的实数对应； (2)集合 A＝{P|P 是平面直角坐标系中的点}，集合 B＝{(x， y)|x∈R，y∈R}，对应关系 f：平面直角坐标系中的点与它的坐标 对应； (3)集合 A＝{x|x 是三角形}，集合 B＝{x|x 是圆}，对应关系 f：每 一个三角形都对应它的内切圆； (4)集合 A＝{x|x 是新华中学的班级}，集合 B＝{x|x 是新华中学的 学生}，对应关系 f：每一个班级都对应班里的学生． 解 (1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有 唯一的实数与之对应，所以这个对应 f：A→B 是从集合 A 到集 合 B 的一个映射．
(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任 意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应 f： A→B 是从集合 A 到集合 B 的一个映射． (3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应 f： A→B 是从集合 A 到集合 B 的一个映射． (4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对 应的学生不止一个，所以这个对应 f：A→B 不是从集合 A 到集合 B 的一个映射． 小结 映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次 序的，一般地从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是不同的； (2)唯一性：集合 A 中的任意一个元素在集合 B 中都有唯一元素关 系，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．
∴α＝－4 或 α＝2.
2．下列集合 A 到集合 B 的对应中，构成映射的是 ( D )
解析 在 A、B 选项中，由于集合 A 中的元素 2 在集合 B 中 没有对应的元素，故构不成映射，在 C 选项中，集合 A 中的 元素 1 在集合 B 中的对应元素不唯一，故构不成映射，只有 选项 D 符合映射的定义，故选 D.
跟踪训练 1 作出下列函数的图象： (1)y＝1－x，x∈Z；(2)y＝1x；(3)y＝x2－4x＋3，x∈[1,3]． 解 (1)因为 x∈Z，所以图象为一条直线上的孤立点，如图 1 所示；
(2)y＝1x为反比例函数， 其图象如图 2 所示； (3)y＝x2－4x＋3＝(x－2)2－1， 当 x＝1,3 时，y＝0； 当 x＝2 时，y＝－1，其图象如图 3 所示．
3．已知函数 y＝|x－1|＋|x＋2|. (1)作出函数的图象；(2)写出函数的定义域和值域． 解 (1)首先考虑去掉解析式中的绝对值符号，第一个绝对值的 分段点 x＝1，第二个绝对值的分段点 x＝－2，这样数轴被分为 三部分：(－∞，－2]，(－2,1]，(1，＋∞) 所以已知函数可写为分段函数形式： y＝|x－1|＋|x＋2|
函数图象如图所示：
问题 2 在例 2 中，我们得到的函数解析式是分段表达的，这样的 函数就是分段函数，那么如何定义分段函数？ 答 在函数的定义域内，对于自变量 x 的不同取值区间，有着不同 的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数． 小结 分段函数是一个函数而不是几个函数，处理分段函数问题 时，首先要确定自变量的数值属于哪个区间段，从而选取相应的对 应关系；画分段函数图象时，应根据不同定义域上的不同解析式分 别作出．
跟踪训练 3 设集合 A＝{x|0≤x≤6}，B＝{y|0≤y≤2}．从 A 到
B 的对应关系 f 不是映射的是
A．f：x→y＝13x
B．f：x→y＝12x
(B )
C．f：x→y＝14x
D．f：x→y＝16x
解析 在选项 A、C、D 中，按照各自的对应关系，都能使对于
集合 A 中任意一个数在集合 B 中有唯一一个数与之对应．在选 项 B 中，5∈A，而 y＝12×5＝2.5 B.故选项 B 中的对应关系构
不成从集合 A 到集合 B 的映射.
1．设函数
f(x)＝－ x2，x，
x≤0， x>0，
若 f(α)＝4，则实数 α 等于
( B)
A．－4 或－2
B．－4 或 2
C．－2 或 4
D．－2 或 2
解析 当 α≤0 时，f(α)＝－α＝4，
得 α＝－4； 当 α>0 时，f(α)＝α2＝4，得 α＝2.