江苏省南京市第二十九中学2022届高三学情调研(第二次)数学试卷(8月)(原卷版)

南京市第29中学2022届高三学情调研(第二次)

数学试题

本试卷共8页，22小题，满分150分．考试时间120分钟．填空题4题，解答题6题，要按题号一题一题拍照上传，其中14题和16题各有两空，两空答案拍在一起上传。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z 满足(z －1)i ＝2－2i ，则|z |＝( )

A ．13

B ．13

C ．5

D ．5

2．已知a ＝π－2，b ＝－log 25，c ＝log 213

，则( ) A ．b ＞a ＞c B ．c ＞b ＞a C ．a ＞c ＞b D ．a ＞b ＞c

3．设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且S 6＞S 7＞S 5，则下列结论正确的有( )

A ．S 11＞0

B ．S 12＜0

C ．S 13＞0

D ．S 8＞S 6

4．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2λ＋(λ－3)⋅2n (λ为常数)，则λ等于( )

A ．－2

B ．－1

C ．2

D ．1

5．英国数学家泰勒(B ．Taylor ，1685－1731)发现了如下公式：sin x ＝x －x 33!＋x 55!－x 77

＋…．根据该公式可知，与－1＋13!－15!＋17!

－…的值最接近的是( ) A ．cos57.3° B ． sin57.3° C ．cos147.3° D ．sin(－32.7°)

6．设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点．点P 在C 上，且PF 1，F 1F 2，PF 2成等比数列，则C 的离心率的最大值为( )

A ．13

B ．12

C ．23

D ．34

7．为贯彻落实《中共中央国务院关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》的文件精神，某学校推出了《植物栽培》、《手工编织》、《实用木工》、《实用电工》4门校本劳动选修课程，要求每个学生从中任选2门进行学习，则甲、乙两名同学的选课中恰有一门课程相同的概率为( )

A ．13

B ．23

C ．16

D ．112

8．已知对任意的x ∈(1，＋∞)，不等式k ⋅(e kx ＋1)－(1x

＋1)ln x ＞0恒成立，则正数k 的取值范围是( )

A ．(1e ，＋ )

B ．(e ，＋∞)

C ．(1e ，e )

D ．(1e 2，1e

) 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9．已知f (x )＝2cos 2ωx ＋3sin2ωx (ω＞0)的最小正周期为π，则下列说法正确的有( )

A ．函数f (x )在[－π，π6]上的值域为[2，3]

B ．点(5π12

，0)是函数f (x )图象的一个对称中心 C ．直线x ＝π6是函数f (x )图象一条对称轴 D ．函数f (x )在[0，π6

]上为增函数 10．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x )的图象关于x ＝1对称，当x ∈(0，1]时，f (x )＝e x －1，

则下列判断正确的是( )

A ．f (x )的周期为4

B ．f (x )的值域为[－1，1]

C ．f (x ＋1)是偶函数

D ．f (2021)＝1

11．已知△ABC 中，角A ，B 满足cos A ＋A ＜sin B ＋(π2

－B )，则下列结论一定正确的是( ) A ．sin B ＜cos A B ．sin A ＞cos B C ．sin A ＞sin C D ．sin C ＞sin B

12．过抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)焦点F 的直线与C 相交于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点．若|PQ |的最小值为6，则( )

A ．抛物线C 的方程为y 2＝6x

B ．y 1y 2＝－36

C ．PQ 的中点到准线的距离的最小值为3

D ．当直线PQ 的倾斜角为60°时，F 为PQ 的一个四等分点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．已知tan(θ－π4

)＝3，则cos2θ＝ ． 14．如图，已知M ，N 分别是△ABC 的边BC ，AB 上的点，且BM ＝14BC ，AN ＝12

AB ，AM 交CN 于点P ．

(1)若→AM ＝x →AB ＋y →AC ，则y －x 的值为 ；

(2)若AB ＝4，AC ＝3，∠BAC ＝60°，则→AP ·→CB 的值为 ． (第14题图)

15．在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AC 的中点，BD ＝2，则△ABC 面积的最大值为 ．

16．在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AA 1＝1，点P 满足→BP ＝λ→BC ＋μ→BB 1，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]．

(1)当μ＝1时，三棱锥P －A 1BC 的体积为 ；

(2)当μ＝12

时，存在点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P ，则|→BP |的取值集合为 ． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)

设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝0，S 6＝3(a 7－1).

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2a n ，求满足不等式1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1b n

＞(b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n )的正整数n 的集合．

18．(本小题满分12分)

已知数列{a n }满足na n ＋1－(n ＋1)a n ＝1(n ∈N *)，且a 1＝1．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足b n ＝a n 2n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．

19．(本小题满分12分)

在①a sin B ＝b sin B ＋C 2；②→AB ·→AC ＝233

S ；③3a sin C ＋a cos C ＝b ＋c 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并回答问题．

问题：在△ABC 中，A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积，D 是BC 的中点．若a ＝7，b ＝2，且______，求A 及AD 的长．

注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．