2024届成都市田家炳中学高三数学(文)上学期9月第一次月考卷附答案解析

2024届成都市田家炳中学高三数学（文）上学期9月第一次月考卷
2023.09
（考试时间：120分钟，试卷满分：150分）
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．
1．已知全集U=R ，集合{}{}324A x x B x x =>=<<，，则图中阴影部分表示的集合为（）
A ．[]2,3-
B ．()
2,3-C ．（2，3]D ．[-2，3）
2．若复数z 满足i 43i z =-，则z =（）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3．已知1x ，2x ，．．．，n x 的平均数为10，标准差为2，则121x -，221x -，．．．，21n x -的平均数和标准差分别为（）A ．19和2
B ．19和3
C ．19和4
D ．19和8
4．函数2cos y x =是（）．
A ．周期为
π
2
的奇函数B ．周期为
π
2
的偶函数C ．周期为π的奇函数
D ．周期为π的偶函数
5．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（
）
A ．1
B ．
32
C ．3
D ．
92
6．以下四个命题，其中正确的个数有（
）
①经验回归直线ˆˆˆy
bx a =+必过样本中心点(),x y ；②在经验回归方程ˆ120.3y
x =-中，当变量x 每增加一个单位时，变量ˆy 平均增加0.3个单位；③由独立性检验可知，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有99%的
可能物理优秀；
④在一个22⨯列联表中，由计算得213.709χ=，则有99.9%的把握确认这两个变量间有关系（其中
()210.8280.001P χ≥=）．
A ．1个
B ．4个
C ．3个
D ．2个
7．垃圾分类是指按一定规定或标准将垃圾分类储存､投放和搬运，从而转变成公共资源的一系列活动，做好垃圾分类是每一位公民应尽的义务.已知某种垃圾的分解率v 与时间t （月）近似地满足关系t v a b =⋅（其中,a b 为正常数），经过5个月，这种垃圾的分解率为5%，经过10个月，这种垃圾的分解率为10%，那么这种垃圾完全分解大约需要经过（）个月.（参考数据：lg20.3≈）A ．20
B ．24
C ．26
D ．27
8．设命题2:()ln 21p f x x x mx =+-+在(0,)+∞上单调递增，命题:4q m <，则p 是q 成立的（）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
9．已知过双曲线C ：()22
2210,0x y a b a b -=>>的右焦点(),0F c 作x 轴的垂线与两条渐近线交于A ，B ，
OAB 的面积为2
33
c ，则该双曲线的离心率为（）
A ．
233
B ．
32
C ．2
D ．
43
10．如图，矩形ABCD 中，E 、F 分别为BC 、AD 的中点，且22BC AB ==，现将ABE 沿AE 向上翻折，使B 点移到P 点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（）
A ．存在点P ，使得PE CF ∥
B ．存在点P ，使得PE ED ⊥
C ．三棱锥P AE
D -的体积最大值为
26
D ．当三棱锥P AED -的体积达到最大值时，三棱锥P AED -外接球表面积为4π11．已知tan α、tan β是方程23340x x ++=的两个根，且ππ,(,)22
αβ∈-，则αβ+等于（）
A ．
2π3
B ．2π3
-
C ．
π3或2π3
D ．
π3或2π
3
-12．1sin 0.1a =+，0.1e b =，17
16
c =
，则,,a b c 的大小关系为（）.A ．b c a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c b a
>>
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知(2,),(3,1)a b λ=-=
，若()
a b b +⊥ ，则a =
.
14．已知{}n a 是公比为(0)q q >)的等比数列，且246,,a a a 成等差数列，则q =
．
15．已知函数()2e 21x
f x x x =++，则()f x 的图象在0x =处的切线方程为
16．在三棱锥-P ABC 中，PA ⊥平面ABC ，14AB AC PA AB AC ⊥=+=，，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥-P ABC 外接球的体积为．三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．已知数列{}n a 满足15a =，123n n n a a +-=（*n ∈N ）.记3n n n b a =-.
(1)求证：{}n b 是等比数列；
(2)设n n c nb =，求数列{}n c 的前n 项和.
18．第十三届全国人大第二次会议于2019年3月5日在北京开幕．为广泛了解民意，某人大代表利用网站进行民意调查．数据调查显示，民生问题是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占80%．现从参与调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，第1组[15,25)，第2组[25,35)，第3组[35,45)，第4组[45,55)，第5组[55,65)，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求a ；
(2)现在要从年龄较小的第1组和第2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人接受现场访谈，求这两人恰好属于不同组别的概率；
(3)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，问是否有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关？附：
()
20P K k 0.1500.1000.0500.0250.0100.0050.0010
k 2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．
19．如图，在几何体BACDEF 中，四边形CDEF 是菱形，//AB CD ，平面ADF ⊥平面CDEF ，AD AF =.
(1)求证：AC DF ⊥；
(2)若2FA FC FD ===，1AB =，求三棱锥E BDF -的体积.
20．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点，
当直线l 与x 轴垂直时，3AB =．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)当直线l 的斜率为k ()0k ≠时，在x 轴上是否存在一点P （异于点F ），使x 轴上任意一点到直线P A 与到直线PB 的距离相等？若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知函数()ln 2f x x ax =-.(1)若1x =是()f x 的极值点，求a 的值；(2)讨论函数()f x 的单调性；
(3)若()0f x ≤恒成立，求a 的取值范围；
坐标系与参数方程
22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x t t y t t ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=+
⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正
半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为θπ
2
=．
(1)写出C 的普通方程；
(2)写出直线l 的直角坐标方程并判断l 与C 有无交点，如果有，则求出交点的直角坐标；如果没有，写出证明过程．1．C
【分析】根据阴影部分，可以表示为A B ⋂在集合B 下的补集，利用补集的运算性质即可.
【详解】因为{}{}324A x x B x x =>=<<，，则{}34A B x x ⋂=<<,由韦恩图可知，阴影部分表示
()B A B ð.则(){}23B A B x x ⋂=<≤ð，即(]2,3.
故选：C 2．C
【分析】先根据复数除法的运算求出复数z ，再由模长公式计算模长即可求解【详解】因为43i
34i i
z -==--，所以5z =.故选：C.3．C
【分析】根据平均数和标准差的性质可得选项.
【详解】解：∵1x ，2x ，…，n x 的平均数为10，标准差为2，
∴121x -，221x -，…，21n x -的平均数为：210119⨯-=，标准差为：22224⨯=．故选：C ．
【点睛】本题考查平均数和标准差的运算性质，属于基础题.4．D
【分析】根据二倍角公式和周期公式，由函数奇偶性定义即可判断出结论.
【详解】利用二倍角公式可得2
1cos 2cos 2
x
y x +==
，易知其定义域为x ∈R ；显然
()1cos 21cos 222
x x
+-+=
，所以2cos y x =是偶函数，最小正周期为2π
π2
T ==，因此2cos y x =是周期为π的偶函数.故选：D 5．B
【分析】分析三视图可知，该几何体为三棱锥，再利用体积公式求解即可.
【详解】解：由三视图可知该几何体为三棱锥，直观图如图，故体积为113
333322
V =⨯⨯⨯⨯=
故选：B.
【点睛】本题主要考查了根据三视图求解三棱锥的体积问题,属于基础题型.
6．D
【分析】由线性回归方程性质可判断AB 选项正误；由独立性检验定义可判断CD 选项正误.【详解】A 选项，线性回归方程必过(),x y ，故①正确；
B 选项，当变量x 每增加一个单位时，变量ˆy
平均减少0.3个单位，故②错误；C 选项，有99%的把握认为物理成绩与数学成绩有关，是指这种判断出错的概率为001，并不指某人数学
成绩优秀，则他有99%的可能物理优秀，故③错误；
D 选项，由独立性检验知识可知当213.709χ=，()
2
10.8280.001P χ≥=时，可认为99.9%的把握确认这
两个变量间有关系，故④正确.故选：D 7．D
【分析】根据题意，()55%v =，()1010%v =联立方程组，可解得,a b 的值，求得()v t 的函数表达式，令100%v =，运算得t 的值.
【详解】依题意得5105%10%a b a b
⎧=⋅⎨=⋅⎩，解得1
52b =， 2.5%a =，则152.5%2
t
v =⋅，这种垃圾完全分解，即分解率为100%，即1
52.5%21t v =⋅=，
所以15240t =，所以21
log 405
t =，
所以25lg 405log 40lg 2t ==5(lg 41)5(2lg 21)lg 2lg 2++==55
101027lg 20.3
=+≈+≈.故选：D.8．B
【分析】求导得：1()4f x x m x '=+-，由已知可得：140x m x +-≥在(0,)+∞上恒成立，即1
4m x x
≤+，由11
4244y x x x x
=
+≥⋅=，可知：min 4m y ≤=，问题得解.【详解】由已知可得：1
()4f x x m x
'=
+-，2()ln 21f x x x mx =+-+ 在(0,)+∞上单调递增，
140x m x ∴+-≥即1
4m x x
≤+在(0,)+∞上恒成立，令1
4,0y x x x
=+>11
4244y x x x x
=
+≥⋅=，当12x =时等号成立，
min 4m y ∴≤=.
所以p 是q 成立的必要不充分条件.故选：B
【点睛】本题考查了恒成立问题和基本不等式求最值，考查了转化思想，属于中档题.9．A
【分析】先结合双曲线的渐近线方程求出2bc AB a =
，再根据三角形面积公式得到3
3
b a =即可.【详解】
由题知，双曲线的渐近线为b
y x a
=±
，得,bc A c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,bc B c a ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭，
2bc
AB a
∴=
，2
1123223
AOB
bc c S OF AB c a ∴=⋅=⨯=
，3
3
b a ∴=2
2
3231133c b e a a ⎛⎫⎛⎫∴==+=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故选：A.10．A
【分析】连接DE ，G 为AE 中点，连接PG ，确定PG AE ⊥，AE DE ⊥，若CF AE ∥，得到AE ，PE
重合，不成立，A 错误，PG ⊥平面AECD 时，PE ED ⊥，B 正确，计算得到CD 正确，得到答案.【详解】如图所示：连接DE ，G 为AE 中点，连接PG ，PG AE ⊥，连接PF ，FE ，22PG =
，22
FG =，2AE DE ==，故222AD AE ED =+，故AE DE ⊥，
对选项A ：CF AE ∥，若PE CF ∥，又AE PE E ⋂=，则AE ，PE 重合，不成立，错误；对选项B ：当PG ⊥平面AECD 时，ED ⊂平面AECD ，则PG ED ⊥，又AE DE ⊥，
PG AE G = ，,PG AE ⊂平面PAE ，故ED ⊥平面PAE ，PE ⊂平面PAE ，
故PE ED ⊥，正确；
对选项C ：当PG ⊥平面AECD 时，三棱锥P AED -体积最大，最大值为1122
223226
⨯⨯⨯⨯=
，正确；对选项D ：PG ⊥平面AECD ，GF ⊂平面AECD ，故PG GF ⊥，
221PF PG FG =+=，故1FA FE FD FP ====，
故F 是三棱锥P AED -外接球球心，半径为1R =，故外接球表面积为24π4πS R ==，正确.故选：A.11．B
【分析】根据给定条件，利用韦达定理、和角的正切求解作答.
【详解】方程2
3340x x ++=中，2
(33)440∆=-⨯>，则tan tan 330
tan tan 40αβαβ⎧+=-<⎪⎨=>⎪⎩
，
于是()tan tan 33
tan 31tan tan 14
αβαβαβ+-+=
==--，显然tan 0,tan 0αβ<<，
又ππ
,(,)22
αβ∈-，则有π,(,0)2
αβ∈-，(π,0)αβ+∈-，所以2π
3
αβ+=-.故选：B 12．B
【分析】分别构造函数证明e 1,(0)x x x >+>与sin ,(0)x x x >>，利用这两个不等式可判断b a >；构造函数
()5πsin 086h x x x x ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭，可证得5
sin 8x x >，即可判断a c >，从而得出答案.
【详解】令()e 1),(0)(x f x x x +-=>，则e ()10x f x '=->，
则()f x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0f x f >=，则e 1,(0)x x x >+>．
令()sin ,(0)g x x x x =->，则()1cos 0g x x '=-≥，
则()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0g x g >=，则sin ,(0)x x x >>．所以0.1e 10.11sin 0.1>+>+，即b a >；令()5πsin 086h x x x x ⎛
⎫=-<< ⎪⎝
⎭，则()5cos 8h x x '=-，
因为π06x <<
，所以3cos 12x <<，则35cos 28
x >>，故()0h x '>，所以()h x 在π0,6⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，则()()00h x h >=，即5sin 8x x >，
易知π0.10,6⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
，所以51sin 0.10.1816>⨯=，则1171sin 0.111616+>+=，即a c >；
综上：b a c >>.故选：B.13．25
【分析】根据题意求得(1,1)a b λ+=+ ，结合向量的数量积的运算公式求得λ的值，得到a
的坐标，利用向量模的公式，即可求解．
【详解】因为(2,),(3,1)a b λ=-= ，可得(1,1)a b λ+=+
，
又因为()a b b +⊥ ，可得()
(1,1)(3,1)310b b a λλ=+⋅=++=⋅+ ，解得4λ=-，
所以(2,4)a =-- ，所以22
(2)(4)25a =-+-= .
故答案为：25.14．1
【分析】根据给定条件，利用等差数列列方程，再解方程作答.【详解】在等比数列{}n a 中，246,,a a a 成等差数列，则4262a a a =+，
即24
2222a q a a q =+，而20a ≠，整理得42210q q -+=，因为0q >，故解得1
q =故答案为：115．210
x y -+=【分析】对()2e 21x
f x x x =++求导可以算出()0f '，即可以算出()f x 的图象在0x =处的切线斜率，又
可以求出()01f =，由此即可得解.
【详解】由题意()2e 21x f x x x =++，所以()()22e 2x
f x x x =++'且()01f =，所以()02f '=，
因此()f x 的图象在0x =处的切线斜率为()02f '=，所以()f x 的图象在0x =处的切线方程为
()120y x -=-，化简得210x y -+=.
故答案为：210x y -+=.
16．
9π2
【分析】根据棱锥体积公式及基本不等式可得2AB AC ==体积最大，然后利用长方体的性质及球的体积公式即得.
【详解】由题可知三棱锥-P ABC 的体积为：2
111
12
326
623P ABC
AB AC V AB AC AP AB AC -+⎛⎫=⨯⋅⋅⋅=⋅≤= ⎪⎝⎭
，当且仅当2AB AC ==时等号成立，此时，12PA AB AC ===，，将三棱锥-P ABC 补成长方体PEFG ABDC -，
则三棱锥-P ABC 外接球的直径为22223R PA AB AC =++=，则3
2
R =，因此，三棱锥-P ABC 外接球的体积为349π
π32
R =.
故答案为：
9π2
.17．(1)证明见解析(2)()1
212
n n ++-【分析】（1）由等比数列定义证明1
n n
b q b +=即可；（2）使用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由已知，∵123n n n a a +-=，∴132n
n n a a +=+，
∵3n
n n b a =-，
∴()1
113
3233223232n n n n n n n n n n n b a a a a b +++=-=+-⨯=-⨯=-=，
又∵15a =，∴1
113532b a =-=-=，
∴易知数列{}n b 中任意一项不为0，∴
1
2n n
b b +=，
∴数列{}n b 是首项为2，公比为2的等比数列.
（2）由第（1）问，1222n n n b -=⨯=，∴2n n n c nb n =⋅=，
∴设数列{}n c 的前n 项和为n S ，则
1231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⋅ ①，
①2⨯得，
234121222322n n S n +=⨯+⨯+⨯++⋅ ②，
①-②得，
2341222222n n n S n +-=+++++-⋅ ，
∴()
111212222212n n n n n S n n +++--=-⋅=-+-⋅-，
∴()1212n n S n +=+-.
∴数列{}n c 的前n 项和为()1212n n ++-.
18．（1）0.035a =；（2）35
；（3）没有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关．【解析】(1)根据频率分布直方图，由频率分布直方图各小长方形的面积之和为1，即可计算出频率分布直方图中a 的值；
(2)根据分层抽样的公式计算出第1组和第2组中的人数，列出从这5人中随机抽取2人的所有基本事件及两人恰好属于不同组别的事件并求出相应的种数，再根据古典概型计算公式，即可求出这两人恰好属于不同组别的概率；
(3)根据已知可求出200人中不关注民生问题的青少年有30人，然后列出22⨯列联表，根据公式求2K ，即可得出结论．
【详解】(1)因为0.010100.015100.03010100.010101a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
解得0.035a =．
(2)由题意可知从第1组选取的人数为0.1520.10.15⨯
=+人，设为1A ，2A ，从第2组选取的人数为0.15530.10.15
⨯=+人，设为1B ，2B ，3B ．从这5人中随机抽取2人的所有情况有：
()12,A A ，()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，
()22,A B ，()23,A B ，()12,B B ，()13,B B ，()23,B B ，共10种．
这两人恰好属于不同组别有()11,A B ，()12,A B ，()13,A B ，()21,A B ，()22,A B ，()23,A B ，共6种．所以所求的概率为63105
P ==．(3)选出的200人中，各组的人数分别为：
第1组：0.010*******⨯⨯=人，
第2组：0.0151020030⨯⨯=人，
第3组：0.0351020070⨯⨯=人，
第4组：0.0301020060⨯⨯=人，
第5组：0.010*******⨯⨯=人，
所以青少年组有203070120++=人，中老年组有602080+=人，
因为参与调查者中关注此问题的约占80%，即有200(180%)40⨯-=人不关心民生问题，
所以选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人．
于是得22⨯列联表：
关注民生问题
不关注民生问题合计青少年
9030120中老年
701080合计
16040200所以2
2200(90107030) 4.6875 6.6351604080120
K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为是否关注民生与年龄有关．
【点睛】本题主要考查频率分布直方图，古典概型概率的计算及独立性检验，同时考查基本计算和数据处理能力．
19．(1)证明见解析
(2)1
【分析】（1）连接CE ，与DF 交于点O ，可证得DF ⊥平面AOC ，根据线面垂直的定义即可证明；
（2）根据E BDF B DEF V V --=，而点B 到平面CDEF 的距离等于点A 到平面CDEF 的距离,根据题中条件，可知AO 为点A 到平面CDEF 的距离，求出AO ，根据锥体体积公式计算即可.
【详解】（1）证明：如图，连接CE ，与DF 交于点O ，则O 为DF 的中点，连接AO ，
由四边形CDEF 是菱形可得CE DF ⊥，
因为AD AF =，所以AO DF ⊥，
因为CE AO O = ，,CE AO ⊂平面AOC ,
所以DF ⊥平面AOC ，
因为AC ⊂平面AOC ，所以AC DF ⊥.
（2）因为平面ADF ⊥平面CDEF ，平面⋂ADF 平面CDEF FD =，
且AO DF ⊥，AO ⊂平面ADF ,
所以AO ⊥平面CDEF ，即AO 为三棱锥A CDF -的高.
由2FA FC FD ===，四边形CDEF 是菱形，且AD AF =，
可得ADF △与CDF 都是边长为2的等边三角形，
所以2sin 603
AO =⨯︒=因为//AB CD ，CD ⊂平面CDEF ，AB ⊄平面CDEF ，
所以//AB 平面CDEF ，
故点B 到平面CDEF 的距离也为3AO =，
由四边形CDEF 是菱形得C F
EDF D S S = 因此1133133E BDF B DEF EDF V V S AO --==⋅=⨯⨯=V .
20．(1)22
1
43x y +=(2)存在，()
4,0P 【分析】（1）根据题意列式求解,,a b c ，即可得结果；
（2）根据题意分析可得x 轴为直线PA 与直线PB 的对称轴，根据斜率关系结合韦达定理运算求解.
【详解】（1）设椭圆C 的半焦距为0c >，
由题意可得222
22312
a b c b
a c
e a ⎧=+⎪⎪⎪=
⎨⎪⎪==⎪⎩，解得2
31
a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩
，
所以椭圆C 的标准方程为22
143x y +=.
（2）由（1）可得：()1,0F ，
根据题意可设直线()()()()()1122:1,,,,,,01l y k x A x y B x y P m m =-≠，
联立方程()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()
22224384120k x k x k +-+-=，则()()()
22226444341214410k k k k ∆=-+-=+>，可得221212228412,4343
k k x x x x k k -+==++，①由题意可知x 轴为直线PA 与直线PB 的对称轴，则12120PA PB y y x m x k m k +=
+=--，可得
()
()
1212110k x k x x m x m --+=--，因为0k ≠，可得()()()()1212110x x m x m x --+--=，
整理得()()12122120x x m x x m -+++=，②
将①代入②得：()()2222241281204343
k k m m k k -+-+=++，解得4m =，所以存在点P ，使x 轴上任意一点到直线PA 与到直线PB 的距离相等，此时()4,0P .
【点睛】方法点睛：存在性问题求解的思路及策略
（1）思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在；若结论不正确则不存在．（2）策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
③当条件和结论都不知，按常规法解题很难时，可先由特殊情况探究，再推广到一般情况．21．(1)1
2
a =(2)答案见解析
(3)12e
a ≥；【分析】（1）由题意可得()01f '=，从而可求出a 的值；
（2）求出函数的定义域，对函数求导后，分0a ≤和0a >两种情况讨论导数的正负，从而可求出函数的单调区间；
（3）将问题转化为ln 2x a x ≥
恒成立，构造函数ln ()x g x x
=，利用导数求出其最大值，即可求出a 的取值范围.【详解】（1）由()ln 2f x x ax =-，得()1122ax f x a x x -'=
-=，因为1x =是()f x 的极值点，
所以()01f '=，即120a -=，所以12
a =
，经检验符合题意.（2）()1122ax f x a x x -'=-=.当0a ≤时，()120ax f x x
-'=>，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，令()120ax f x x '-=
=，解得12x a =，当10,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，()120ax f x x -'=>；当1,2x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭
时，()120ax f x x -'=<；所以()f x 在10,2a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
上单调递减，综上，当0a ≤时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当0a >时，()f x 在10,
2a ⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；
（3）()f x 的定义域为(0,)+∞，若()0f x ≤恒成立，则ln 20x ax -≤恒成立，即ln 2x a x
≥恒成立，令ln ()x g x x =，只需max 2()a g x ≥，又22
(ln )ln 1ln ()x x x x x g x x x '''⋅-⋅-==，令()0g x '=得e x =，
(0,e)x ∈时，()0g x '>，则ln ()x g x x
=单调递增；(e,)x ∈+∞时，()0g x '<，则ln ()x g x x =
单调递减；所以max 12()(e)e a g x g ≥==，解得：12e
a ≥；【点睛】关键点点睛：第（3）问解题的关键是分离参数后，构造函数，然后利用导数求出函数的最值即得.
22．(1)()
222y x y =+≥
(2)无交点，证明见解析
【分析】（1）对参数方程进行消元，且利用基本不等式得到限制条件即可；（2）将直线l 转化成直角坐标方程，代入C 的方程，结合限制条件2y ≥即可求解
【详解】（1）由1
y t t =+平方可得21
2y t t =++，又因为1
x t t =+，所以22y x =+，
因为1122y t t t t =+≥⨯=，当且仅当1
t t =即1t =时，取等号，
所以C 的普通方程为()222y x y =+≥；
（2）由直线l 的极坐标方程为θπ
2=可得直线l 的直角坐标方程为0x =，
代入C 的普通方程可得22y =，解得2y =±，
因为2y ≥，所以2y =±舍去，y 无解，
所以l 与C 没有交点。