最新人教版高二数学选择性必修第二册第五章 5.2.2导数的四则运算法则5.2.3简单复合函数的导数

所以f′(2)＝a＋b4 ＝47 .②
4a－b＝1， 由①②得
4a＋b＝7，
a＝1， 解得
b＝3.
故f(x)＝x－x3
.
(2)设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋
3 x2
知，曲线在点P(x0，y0)处的切线
方程为y－y0＝1＋x320
(x－x0)，
即y－x0－x30
＝1＋x320
【拓展延伸】导数运算法则的推广 (1)导数的和(差)运算法则对三个或三个以上的函数求导数仍然成立．两个函数和 (差)的导数运算法则可以推广到有限个函数的情况，即[f1(x)±f2(x)±f3(x)±…±fn(x)]′ ＝f1′(x)±f2′(x)±f3′(x)±…±fn′(x). (2)积的导数公式的拓展，若 y＝f1(x)f2(x)…fn(x)，则有 y′＝f1′(x)f2(x)…fn(x)＋ f1(x)f2′(x)…fn(x)＋…＋f1(x)f2(x)…fn′(x).
y′x＝y′u·u′x＝eu·(－ax2＋bx)′ ＝eu·(－2ax＋b)＝(－2ax＋b)·e－ax2＋bx .
(2)①f(x)＋f′(x)＝cos ( 3 x＋φ)－sin ( 3 x＋φ)( 3 x＋φ)′
＝cos (
3 x＋φ)－
3 sin (
3
x＋φ)＝2sin
3x＋φ＋56π .
因为 0＜φ＜π，f(x)＋f′(x)是奇函数，所以 φ＝π6 .
′＝
（1－x）2
cos x－sin x＋x sin x
＝
（1－x）2
.
【补偿训练】
x2＋a2 当函数y＝ x (a＞0)在x＝x0处的导数为0时，那么x0等于( )
A．a
B．±a
C．－a
D．a2
【解析】选B.y′＝x2＋x a2
2x·x－（x2＋a2）
′＝
x2
x2－a2 ＝ x2
，
由x02 －a2＝0得x0＝±a.
【解析】由函数的解析式可得：
f′(x) ＝exxx＋＋aa－2 ex ＝exxx＋＋aa－2 1 ，则f′(1) ＝e1×11＋＋aa－2 1 ＝a＋ae12 ，
所以a＋ae12 ＝4e ，所以a2－2a＋1＝0， 解得：a＝1.
答案：1
2．下列四组函数中导数相等的是( ) A．f(x)＝2与g(x)＝2x B．f(x)＝－sin x与g(x)＝cos x C．f(x)＝2－cos x与g(x)＝－sin x D．f(x)＝1－2x2与g(x)＝－2x2＋4 【解析】选D.选项D中，f′(x)＝(1－2x2)′＝－4x，g′(x)＝(－2x2＋4)′＝－4x.
【补偿训练】
f(x)＝ln cos2x的导数是( )
A．co1s2x
B．co2sx
C．2csoisn xx
D．－2csoisn xx
【解析】选D.因为f(x)＝ln cos2x，
2cosx（－sin x）
所以f′(x)＝
cos2x
＝－2cosisnxx
.
2．已知f(x)＝ln (3x－1)，则f′(1)＝________．
)′＝
（ln x）2
＝2x·lnlnx2－x x2·x1
x（2ln x－1）
＝
ln2x
.
探究点二 求复合函数的导数 【典例 2】(1)已知函数 f(x)＝ e－ax2＋bx ，求其导数． (2)设函数 f(x)＝cos( 3 x＋φ)(0＜φ＜π)，且 f(x)＋f′(x)为奇函数． ①求 φ 的值； ②求 f(x)＋f′(x)的最值．
值，此定值为6.
【类题通法】对导数的考查，往往与其他知识点相结合：如切线的斜率、不等式 的证明、函数的性质等，解题的关键是能够熟练求出导数，把问题转化为相对应 的知识求解．
已知曲线C：y＝x3－3x2＋2x，直线l：y＝kx，且直线l与曲线C相切于点(x0， y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标． 【解析】因为直线l过原点，所以直线l的斜率k＝yx00 (x0≠0)，由点(x0，y0)在曲线C 上，得y0＝x30 －3x02 ＋2x0， 所以yx00 ＝x20 －3x0＋2. 又y′＝3x2－6x＋2，
A．f(x)＝2cos 12x－π4
B．f(x)＝4sin 12x－π4
C．f(x)＝2cos 21x＋π4
D．f(x)＝4sin 12x＋π4
【解析】选D.因为f(x) ＝A sin ωx＋φ ， 所以f′(x) ＝Aωcos ωx＋φ ，由图象可得Aω＝2，T2 ＝32π －－π2 ＝2π，所以
5．2.2 导数的四则运算法则 5.2.3 简单复合函数的导数
基础预习初探 核心互动探究 课堂素养达标
基础预习初探
主题1 导数的运算法则
利用导数的定义分别求y＝5＋x，y＝5x，y＝5x 的导数．
提示：(1)ΔΔyx
5＋（x＋Δx）－（5＋x）
＝
Δx
＝1，
y′＝
lim
x0
Δy Δx
＝ lim x0
1＝1.故y＝5＋x的导数为1.
Δy (2)Δx
5（x＋Δx）－5x
＝
Δx
＝5，
y′＝ lim x0
Δy Δx
＝ lim x0
5＝5.故y＝5x的导数为5.
Δy (3)Δx
x＋5Δx－5x ＝ Δx
－5 ＝x2＋x·Δx
，
y′＝ lim x0
Δy Δx
＝ lim x0
－5 x2＋x·Δx
＝－x52
主题2 复合函数的导数
1．y＝ln (x＋2)的结构特征是什么？ 提示：令u＝x＋2，则y＝ln u.
因此y＝ln (x＋2)可看成是由u＝x＋2和y＝ln u复合而成的．
2．如何求y＝ln (x＋2)的导数？
提示：由y＝ln (x＋2)的结构特征，可考虑由外向内求导数．
令u＝x＋2，则y＝ln u，
【解析】(1)选D.设点Px0，y0 ，因为f(x) ＝
x
＋2ln x，所以f′(x)＝ 1 2x
＋x2
，
所以由题意得 1 2 x0
＋x20
＝52
，
解得x0＝1，
所以y0＝ x0 ＋2ln x0＝1，
所以切点P的坐标为1，1 .
(2)①y′＝2x－2x－3； ②y′＝(ln 3＋1)·(3e)x－2xln 2；
(x－x0).
令x＝0得y＝－x60 ，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为0，－x60 .
令y＝x得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0，2x0).
所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为
1 2
－x60
|2x0|
＝6.
故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形的面积为定
T＝4π，又因为T＝2ωπ
，所以ω＝12
，A＝4，由12
π ×2
＋φ＝π2
，得φ＝π4
，所以
f(x) ＝4sin 12x＋π4 .
2．求证：奇函数的导函数是偶函数，偶函数的导函数是奇函数． 【证明】设 f(x)是奇函数，则 f(－x)＝－f(x)，两边对 x 求导，得－f′(－x)＝－f′(x)， 所以 f′(－x)＝f′(x)，即 f′(x)是偶函数，设 f(x)是偶函数，则 f(－x)＝f(x)，两边对 x 求导， 得－f′(－x)＝f′(x)， 所以 f′(－x)＝－f′(x)，即 f′(x)是奇函数．
因此y′x＝y′u·u′x＝(ln u)′·(x＋2)′＝1u
·1＝ 1 x＋2
.
结论：
一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通
复合函数的概念
过中间变量u，y可以表示成 x的函数，那么称这
个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记
作 y＝f(g(x))
复合函数的求导 法则
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)
x2＋1－2x2·ln x ③y′＝ x（x2＋1）2 ；
④因为y＝x2－sin
x 2
cos
x 2
＝x2－21
sin
x，
所以y′＝2x－21 cos x．
【类题通法】利用导数的公式及运算法则求导的思路
1．(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)＝ ex x＋a
.若f′(1)＝4e
，则a＝________．
(g(x)≠0).
1．使得函数f(x)＝(x－3)ex的导数f′(x)>0的实数x的取值范围是( )
A．(－∞，2)
B．(0，3)
C．(1，4)
D．(2，＋∞)
【解析】选D.f′(x)＝(x－3)′ex＋(x－3)(ex)′＝(x－2)ex，令f′(x)>0，解得x>2.
2．函数y＝cos x 的导数是( 1－x
.
故y＝5x 的导数为－x52 .
结论：导数的运算法则
1．函数和差的导数，[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ．
2．函数积的导数，[f(x)·g(x)]′＝ 3．函数商的导数，gf（（xx）） ′＝
f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)
．
f 'xgxf xg'x
[g x]2
推论：常数与函数的积的导数，[cf(x)]′＝ cf′(x) ．
【典例3】设函数y＝f(x)＝ax－
b x
，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x
－4y－12＝0.
(1)求f(x)的解析式；
(2)证明：曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形
面积为定值，并求此定值．
【思维导引】(1)由条件列出关于a，b的二元一次不等式组求解． (2)设任一点P(x0，y0)，由(1)得f(x)及f′(x).求点P处的切线方程，再用x0表示三角形 面积，化简即可． 【解析】 (1)由7x－4y－12＝0得y＝74 x－3. 当x＝2时，y＝21 ， 所以f(2)＝2a－b2 ＝12 .① 又f′(x)＝a＋xb2 ，
【解析】f′(x)＝ 1 3x－1
·(3x－1)′＝ 3 3x－1
，所以f′(1)＝32
.
答案：32
核心互动探究
探究点一 利用运算法则求函数的导数
【典例1】(1)已知函数f(x)＝ x ＋2ln x图象在点P的切线平行于直线5x－2y＝
2 019，则点P的坐标为( )
A．(2，0)
C．21，4
033
【补偿训练】指出下列函数的复合关系： (1)y＝sin x3.
(2)y＝cos π7－x .
3
(3)y＝(2＋cos 3x) 4 .
【解析】函数的复合关系分别是(1)y＝sin u，u＝x3.
(2)y＝cos u，u＝π7 －x.
3
(3)y＝u 4 ，u＝2＋cos v，v＝3x.
探究点三 导数的综合应用
【思维导引】(1)f(x)＝ e－ax2＋bx 是 y＝eu 与 u＝－ax2＋bx 的复合． (2)先求出函数 f(x)＝cos ( 3 x＋φ)(0＜φ＜π)的导数，再利用 f(x)＋f′(x)为奇函数 求 φ 的值，进而求出 f(x)＋f′(x)的最值．
【解析】(1)令 u＝－ax2＋bx，则 y＝eu.
的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于
y对u的导数与u对x的导数的乘积
1．若f(x)＝(2x＋a)2，且f′(2)＝20，则a＝( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】选A.设f(x)＝t2，t＝2x＋a，则f′(x)＝2t×2＝4t＝4(2x＋a)，f′(2)＝4(4＋a) ＝20， 所以a＝1.
②由①知 f(x)＋f′(x)＝2sin ( 3 x＋π)＝－2sin 3 x，
故 f(x)＋f′(x)的最大值是 2，最小值是－2.
【类题通法】复合函数求导的步骤
1．已知函数f(x)＝A sin (ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2 )，其导函数f′(x)的部分图象
如图所示，则函数f(x)的解析式为( )
－sin x＋x sin x A．y′＝ （1－x）2
)
x sin x－sin x－cos x
B．y′＝
（1－x）2
cos x－sin x＋x sin x
C．y′＝
（1－x）2
cos x－sin x＋x sin x
D．y′＝
1－x
【解析】选C.y′＝c1o－s xx
－sin x（1－x）－cos x·（－1）
4
B．e，2＋ e D．(1，1)
(2)求下列函数的导数．
①y＝x－2＋x2；
②y＝3xex－2x＋e； ③y＝xl2n＋x1 ；
④y＝x2－sin
xx 2 cos 2 .
【思维导引】(1)先求导，再结合条件求P点横坐标，又点P在函数f(x)上，可求P
点纵坐标．
(2)分析各个函数解析式的特点，应用和、差、积、商的导数法则求导．
【补偿训练】求下列函数的导数：
(1)y＝sinx x .(2)y＝lnx2x .
【解析】(1)y′＝(sinx x
（sin x）′·x－sin x·（x）′
)′＝
x2
cos x·x－sin x·1 x cos x－sin x
＝
x2
＝
x2
.
(2)y′＝(lnx2x
（x2）′·ln x－x2·（ln x）′