2021年高考数学考点70不等式的证明柯西不等式与均值不等式必刷题理含解析 (3)

考点70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式
1．设函数，其中．
（1）讨论极值点的个数；
（2）设，函数，若，（）满足且，证明：．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
2．已知数列的前项和为，．
（1）求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，证明：．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
（1）当时，，解得；
当时，，解得．
当时，，，
以上两式相减，得，
3．已知函数f(x)＝|x－1|.
(I) 解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；
(II) 若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：＞.
【答案】(Ⅰ)
(II)证明见解析
【解析】
(Ⅰ)f(2x)＋f(x＋4)＝|2x－1|＋|x＋3|＝
当x＜－3时，由－3x－2≥8，解得x≤；
当－3≤x＜时，－x＋4≥8无解；
当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2.
所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为
(II)证明：＞等价于f(ab)＞|a|，即|ab－1|＞|a－b|. 因为|a|＜1，|b|＜1，
所以|ab－1|2－|a－b|2＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)＝(a2－1)(b2－1)＞0，
所以|ab－1|＞|a－b|.故所证不等式成立．
4．选修4-5：不等式选讲
(Ⅰ)如果关于x的不等式的解集不是空集，求参数m的取值范围；
(Ⅱ)已知正实数a，b，且，求证：。

【答案】(1);(2)见解析.
5．设函数.
（I）当时，解不等式；
（II）若的解集为，（，），求证：. 【答案】 (1) (2)见解析
6．已知函数.
（1）若恒成立，求实数的最大值；
（2）在（1）成立的条件下，正实数，满足，证明：. 【答案】(1)2；(2)证明见解析.
【解析】（1）由已知可得，
所以，
7．选修4-5：不等式选讲
设且.
（1）求证：；
（2）求证：.
【答案】(1)见解析.
(2)见解析.
8．已知，，．证明：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）．
【答案】见解析
【解析】（1）因为．
所以．
（2）由（1）及得．
因为，．于是．
9．选修4-5：不等式选讲
已知函数d的最小值为4.
（1）求的值；
（2）若，且，求证：.
【答案】(1) 或.(2)见解析.
10．已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若正数，满足，求证：．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】（1）此不等式等价于或或，
即不等式解集为．
（2）∵，，，
∴，即，
当且仅当即时取等号，
∴，
当且仅当即时取等号，
∴．
11．已知函数()3131f x x x =++-， M 为不等式()6f x <的解集. （1）求集合M ；
（2）若a ， b M ∈，求证： 1ab a b +>+. 【答案】（1）}{ |11 M x x =-<<. （2）见试题解析.
12．选修4-5：不等式选讲 （1）已知，
，且
，
，求证：
．
（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围．
【答案】(1)见解析. (2)
.
13．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若（）对任意恒成立，求证：. 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ)见解析.
【解析】(Ⅰ)
或或
或或或
所以不等式的解集为.
(Ⅱ)当时，，
当时，，
所以的最小值为，
因为对任意恒成立，
所以，
又，且等号不能同时成立，
所以，即．
14．选修4-5：不等式选讲
设，且，求证：
（Ⅰ）；
（Ⅱ）
【答案】（Ⅰ）见解析.
(Ⅱ)见解析.
15．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）解不等式；
（Ⅱ）若，且，证明：. 【答案】（Ⅰ）.
（Ⅱ）见解析.
16．【选修4-5：不等式选讲】
已知函数()()21f x tx tx t R =--+∈. （Ⅰ）当1t =时，解不等式()1f x ≤；
（Ⅱ）设,,a b c 为正实数，且a b c m ++=，其中m 为函数()f x 的最大值，求证： 3a b c ++≤.
【答案】（1）)[0 ∞+，
（2）见解析 【解析】（1）1t =时， ()21f x x x =--+，
()3,1
{21,12 3,2
x f x x x x ≤-=-+-<≤-> ，
所以1{
31x ≤-≤或12{ 211x x -<≤-+≤或2
{ 31
x >-≤， 所以解集为[)0,+∞ .
（Ⅱ）由绝对值不等式得()()21213tx tx tx tx --+≤--+=， 所以()f x 最大值3m =，
111311132222
a b c a b c
a b c a b c ++++++++≤⋅+⋅+⋅≤
++== 当且仅当1a b c ===时等号成立. 17．选修4-5：不等式选讲 已知
均为正实数，且
.
（1）求的最大值；
（2）求的最大值.
【答案】(1)12;(2)
.
，
当且仅当，即时，取等号 所以原式
， 故原式的最大值为
.
18．（选修4——5：不等式选讲） 已知关于的不等式
的解集为．
（1）求实数的取值范围； （2）已知
且
，当最大时，求
的最小值及此时实数
的值．
【答案】（1）,（2）．
易得时，取得最小值为．
19．已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值【答案】（1）或.
(2) .
20．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）记函数的最小值为，若均为正实数，且，求的最小值. 【答案】（1）或（2）
21．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）已知，若不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）等价于，
22．已知,,x y z 均为实数. （1）求证： 432122x x x +≥+；
（2）若236x y z ++=，求2
2
2
x y z ++的最小值. 【答案】（1）见解析；（2）
18
7
【解析】证明：（1）法一： ()
43212)2x x x +-+（ ()()()3
2111x
x x x =--+-
()()
3121x x x =--- ()(
)
3=1221x x x x --+-
()()
()21211x x x x ⎡⎤=--+-⎣⎦
()()
2
21221x x x =-++
()2
2
1112022x x ⎡⎤
⎛⎫=-++≥⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
，
所以432122x x x +≥+. 法二： ()
43212)2x x x +-+（
43242221x x x x x =-++-+
()()
2
2
22110x x x =-⋅+-≥，
所以432122x x x +≥+. （2）证明：因为222623149x y z x y z =++≤++⋅++ (由柯西不等式得）
所以222187
x y z ++≥， 当且仅当23y z x ==即369,,777x y z ===时， 222x y z ++有最小值187
. 23．函数，其最小值为.
（1）求的值； （2）正实数
满足
，求证：
.
【答案】（1）3；（2）
24．已知函数，，若恒成立，实数的最大值为．
（）求实数．
（）已知实数、、满足，且
的最大值是，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】（）根据题意可得，若恒成立，
25．已知2221a b c ++=，且..a b c R +∈. （1)
222
111
a b c ++的最小值； (2)证明：2
2
2
11123a b c +++≤【答案】（1）最小值为9；（2）见解析.
【解析】(1)由柯西不等式，得()
2
2222221111
119a b c a b c a b c a
b c ⎛⎫⎛⎫++++≥⋅+⋅+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
当且仅当3
a b c ===时，取等号. 所以
222
111
a b c ++的最小值为9. (2)由22
2
x y xy +≤，。