高三数学幂函数试题答案及解析

高三数学幂函数试题答案及解析
1.图中曲线是幂函数y＝x n在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则对应于曲线C
1，C
2
，
C
3，C
4
的n值依次为()
A．－2，－，，2B．2，，－，－2
C．－，－2,2，D．2，，－2，－
【答案】B
【解析】当n大于0时，幂函数为单调递增函数，当n小于0时，幂函数为单调递减函数，并且在x＝1的右侧幂指数n自下而上依次增大，故选B.
2.已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，且其定义域为[a－1,2a]，则y＝f(x)的值域为______．【答案】[1，]
【解析】∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，
∴其定义域[a－1,2a]关于原点对称，
∴即a－1＝－2a，∴a＝，
∵f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，
即f(－x)＝f(x)，∴b＝0，
∴f(x)＝x2＋1，x∈[－，]，其值域为{y|1≤y≤}．
3.已知函数f(x)＝，则不等式f(a2－4)>f(3a)的解集为________．
【答案】(－1,4)
【解析】作出函数f(x)的图象，如图所示，则函数f(x)在R上是单调递减的．由f(a2－4)>f(3a)，可得a2－4<3a，整理得a2－3a－4<0，即(a＋1)(a－4)<0，解得－1<a<4.所以不等式的解集为(－
1,4)．
4.已知函数f(x)＝x2－2ax＋5在(－∞，2]上是减函数，且对任意的x
1，x
2
∈[1，a＋1]，总有|f(x
1
)
－f(x
2
)|≤4，则实数a的取值范围为______．
【答案】[2,3]
【解析】函数f(x)＝(x－a)2＋5－a2在(－∞，2]上是减函数，∴a≥2，函数f(x)在[1，a]上是减函数，
在[a，a＋1]上是增函数，要使x
1，x
2
∈[1，a＋1]时，总有|f(x
1
)－f(x
2
)|≤4，
只要
又f(1)≥f(a＋1)，∴只要f(1)－f(a)≤4，即(6－2a)－(5－a2)≤4，解得－1≤a≤3.又a≥2，故2≤a≤3.
5.若幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(25)＝________．
【答案】
【解析】设f(x)＝xα，则＝9α，∴α＝－，即f(x)＝x－，f(25)＝
6.若直线与幂函数的图象相切于点，则直线的方程为 .
【答案】
【解析】由已知，在幂函数的图象上，即，，.
由导数的几何意义，切线的斜率为，所以，由直线方程的点斜式得直线的方程为.
【考点】幂函数，导数的几何意义.
7.（本小题满分12分）已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数．
⑴求函数的解析式；
⑵设函数，若的两个实根分别在区间内，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2） .
【解析】（1）由幂函数，在区间上是增函数，可得a>0，又因为是偶函数。

所以a是正偶数，符合这两个条件的m即为所求.（2）首先整理出g（x）的表达式，然后根据一元二次方程根的分布情况，列出满足条件的不等式组，解之即可.
试题解析：（1）幂函数为偶函数，且在区间上是单调增函数
，又，函数为偶函数，
(2）
由题，
【考点】1.幂函数；2. 一元二次方程根的分布.
8.已知幂函数的部分对应值如图表：则不等式的解集是
【答案】
【解析】将（）代入得，，所以，，其定义域为，
为增函数，所以可化为，解得，故答案为。

【考点】本题主要考查幂函数的解析式，抽象不等式解法。

点评：简单题，抽象不等式解法，一般地是认清函数的奇偶性、单调性，转化成具体不等式求解。

9.幂函数满足，则曲线与直线围成的封闭图形的面积为
___________．
【答案】；
【解析】根据已知条件，幂函数满足，那么可知,因此结合定积分的几何意义，表示曲边梯形的面积为
,那么可知面积为,故答案为
【考点】幂函数，定积分
点评：考查了函数与定积分之间的综合运用。

属于知识点的交汇处出题，属于常规题型。

10.下图给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）
A．①②③④
B．①②③④
C．①②③④
D．①②③④
【答案】B
【解析】图①说明函数定义域为R，有，结合图②知其为，即①为；又图
③意味函数定义域为，所以其对应，至此，知应选B。

【考点】本题主要考查常见幂函数的图象和性质。

点评：简单题，由图象所在区域对照函数定义域、值域，由函数单调性对照图象的升降情况。

11.幂函数图象过点，则
A．B．3C．D．
【答案】A
【解析】因为幂函数图象过点，则，选A.
12.当x∈(0,+∞)时,幂函数y=(m2－m－1)为减函数, 则实数m的值为( )
A．m=2B．m=－1C．m=－1或m=2D．m≠
【答案】A
【解析】因为此函数为幂函数，所以,
当m=2时，它在(0,+∞)是减函数，当m=-1时，它在(0,+∞)是增函数.
13.．已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是()．
A．是偶函数B．是奇函数
C．是非奇非偶函数D．既是奇函数又是偶函数
【答案】B
【解析】因为点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是，那么函数是奇函数。

14.已知幂函数的图象与轴、轴无交点且关于原点对称，则
___________。

【答案】2
【解析】解：幂函数y)的图象与x轴、y轴无交点且关于原点对称，
∴m2-2m-3＜0，且 m2-2m-3为奇数，即-1＜m＜3 且 m2-2m-3 为奇数，
∴m="0" 或2，又 m∈N*，故 m=2，
故答案为：2．
15.幂函数的图象经过点，则满足＝27的x的值是 .
【答案】
【解析】解：因为幂函数的图象经过点，
16.若幂函数的图象经过点A（2，4），则它在A点处的切线方程为。

（结果化为一般式）
【答案】
【解析】设幂函数为，因为图像经过点，所以，，
，由点斜式得，即。

在A点处的切线方程为。

17.幂函数y＝x a(a是常数)的图象（）．
A．一定经过点(0，0)B．一定经过点(1，－1)
C．一定经过点(－1，D．一定经过点(1，1)
【答案】D
【解析】令得与a无关；故选D
18.幂函数的图象经过点，则满足＝27的x的值是 .
【答案】
【解析】解：因为幂函数的图象经过点，
19.若是幂函数，且满足，则= .
A．3B．-3C．D．
【答案】C
【解析】设所以故选C
20.设，那么（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为函数是减函数；所以则是减函数，所以又函数
是增函数，所以故选B
21.函数是幂函数，且在上为减函数, 则实数m的值为_________
【答案】2
【解析】略
22.已知幂函数的图象过点，则的值为
A．B．－C．2D．－2
【答案】A
【解析】【考点】对数的运算性质；幂函数的性质．
专题：计算题；转化思想．
分析：先设，求出函数的解析式，然后将点代入解析式，即可求出结
果．
解答：解：设，则
∴
又∵由幂函数y=f（x）的图象过点
∴，
故选A．
点评：本题主要考查了对数函数和幂函数的关系，关键是将所求转化成幂函数，此题比较容易是基础题．
23.若幂函数的图象经过点，则它在点处的切线方程为 .
【答案】
【解析】略
24.已知幂函数的图象过点，则的值为
A．B．－C．2D．－2
【解析】略
25.当时，幂函数的图象不可能经过第象限。

【答案】二、四
【解析】略
26.
【答案】二、四
【解析】略
27.对于自然数的正整数次幂，可以如下分解为个自然数的和的形式：
仿此，的分解中的最大数为 .
【答案】29
【解析】略
28.若幂函数的图象经过点，则的值是．
【答案】．
【解析】由题意可设函数的解析式为：，因为其函数的图像过点，所以，解得，所以，所以．
【考点】幂函数的定义．
29.若x>0, y>0且，则的最小值为（）
A．3B．C．2D．3+
【答案】D
【解析】由得:,即,
那么,显然等号能成立,
故选D.
【考点】基本不等式.
30.幂函数y=f(x)的图象过点（2，），则 .
【答案】4
【解析】由题意设：，则【考点】幂函数。