2018届高考数学(理)一轮复习高频考点大突破学案：专题40空间点、直线、平面之间的位置关系

专题 40 空间点直线平面之间的位置关系
高频考点二 判断空间两直线的位置关系 例 2、 (1)若直线 l 1 和 l 2 是异面直线， l 1 在平面 α内， l 2 在平面 β内， l 是平面 α与平面 β的交线，则下列命 题正确的是 ( ) A ． l 与 l 1， l 2 都不相交 B ． l 与 l 1， l2 都相交 C． l 至多与 l 1， l 2 中的一条相交 D ． l 至少与 l1，l 2 中的一条相交 (2) 如图，在正方体 ABCD － A1B1C1D 1 中， M ， N 分别是 BC1， CD 1 的中点，则下列判断错误的是 ( )
【答案】（1）点 F、 G、 H 的位置如图所示 .
O 作直线 a′∥ a，b′∥ b，把 a′与 b′所成的锐角 ( 或直角 )
叫做异面直线 a 与 b 所成的角 ( 或夹角 )．
②范围：
π 0， 2
．
(3) 平行公理和等角定理 ①平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行． ②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．
A ． MN 与 CC1 垂直 B ． MN 与 AC 垂直 C． MN 与 BD 平行 D ． MN 与 A1B1 平行 (3) 在图中， G、 N、M 、 H 分别是正三棱柱 (两底面为正三角形的直棱柱 )的顶点或所在棱的中点，则表示直 线 GH、 MN 是异面直线的图形有 ________． (填上所有正确答案的序号 )
分别在 AD,CD 上， AE CF
5 ， EF 交 BD于点 H ．将 DEF 沿 EF 折到 D EF 位置， OD
4
（Ⅰ）证明： D H 平面 ABCD ；
10 ．
（Ⅱ）求二面角 B D A C 的正弦值．
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2 95
【答案】（Ⅰ）详见解析； （Ⅱ）
.
25
2
95
. 因此二面角
B
DA
C 的正弦值
25
是 2 95 . 25
1.【 2015 高考四川，理 18】一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，
设 BC 的中点为 M ， GH 的中点为 N （ 1）请将字母 F , G, H 标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由）
（ 2）证明：直线 MN / / 平面 BDH （ 3）求二面角 A EG M 的余弦值 .
方形 ,AF=2 FD , AFD 90 ,且二面角 D -AF -E 与二面角 C-BE-F 都是 60 ．
（ I ）证明：平面 ABEF 平面 EFDC ； （ II ）求二面角 E-BC -A 的余弦值．
2 19
【答案】（I ）见解析（ II ）
19
由已知， AB//EF ，所以 AB // 平面 EFDC ． 又平面 ABCD 平面 EFDC DC ，故 AB //CD ， CD //EF ．
【变式探究】如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱
面直线 A1B 与 AD1 所成角的余弦值为 (
)
1
2
A. 5
B.5
ABCD －A1B1C1D1 中， AA1＝ 2AB＝ 2，则异
专题 40 空间点直线平面之间的位置关系
3
4
C.5
D.5
【答案】 D
【解析】 连接 BC1，易证 BC1∥AD 1，
专题 40 空间点直线平面之间的位置关系
【变式探究】 如图， 平面 ABEF ⊥平面 ABCD ，四边形 ABEF 与四边形 ABCD 都是直角梯形， ∠ BAD ＝∠ FAB
＝ 90°， BC∥ AD
且
BC
＝1AD 2
，
BE∥
AF
且
BE＝ 12AF， G、 H
分别为
FA、 FD 的中点．
(1) 证明：四边形 BCHG 是平行四边形； (2) C、 D、 F、 E 四点是否共面？为什么？
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由 BE //AF ，可得 BE 平面 EFDC ，所以 CΕF 为二面角 C BE F 的平面角， CΕF 60 ．从而可得 C 2,0, 3 ．
所以 ΕC 1,0, 3 ， ΕΒ 0,4,0 ， ΑC 3, 4, 3 ， ΑΒ 4,0,0 ．
3.【 2016 高考新课标 2 理数】 如图， 菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O ， AB 5, AC 6 ，点 E, F
A. MN 与 CC1 垂直
B.MN 与 AC 垂直
C.MN 与 BD 平行
D.MN 与 A1B1 平行
(2) a，b， c 表示不同的直线， M 表示平面，给出四个命题：①若
a∥ M ， b∥ M，则 a∥ b 或 a， b 相交或 a，
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b 异面；②若 b? M ，a∥ b，则 a∥ M ；③若 a⊥ c， b⊥ c，则 a∥ b；④若 a⊥ M ， b⊥ M ，则 a∥b.其中正确的
(4) 公理 2 的三个推论 推论 1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面．
推论 2：经过两条相交直线有且只有一个平面．
推论 3：经过两条平行直线有且只有一个平面．
2．空间中两直线的位置关系 (1) 位置关系的分类
平行 共面直线
相交 异面直线：不同在任何一个平面内
(2) 异面直线所成的角 ①定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点
（Ⅱ）如图，以 H 为坐标原点， HF 的方向为 x 轴正方向，建立空间直角坐标系 H xyz ，则 H 0,0,0 ，
A 3, 1,0 ， B 0, 5,0 ，C 3, 1,0 ， D 0,0,3 ， AB (3, 4,0) ， AC 6,0,0 ， AD 3,1,3 .
设m
m AB x1, y1, z1 是平面 ABD 的法向量， 则
高频考点三 求两条异面直线所成的角 例 3、 (1)如图所示，在正三棱柱 ABC－ A1B1C1 中， D 是 AC 的中点， AA1∶ AB＝ 2∶ 1，则异面直线 AB1 与 BD 所成的角为 _______________________________________ ．
【答案】 60° 【解析】 取 A1C1 的中点 E，连接 B1E，ED ， AE，
为( )
A. ①④
B. ②③
C.③④
D.①②
【答案】 (1)D (2)A
【解析】 (1) 如图，连接 C1D，
在△ C1DB 中， MN ∥BD ，故 C 正确； ∵ CC1⊥平面 ABCD ，BD ? 平面 ABCD ，∴ CC1⊥ BD， ∴ MN ⊥ CC1，故 A 正确； ∵ AC⊥ BD ， MN∥ BD，∴ MN⊥ AC，故 B 正确； ∵ A1B1 与 BD 异面， MN∥ BD ， ∴ MN 与 A1B1 不可能平行，故选项 D 错误 .
专题 40 空间点直线平面之间的位置关系
【答案】 (1)D (2)D (3)②④
(3) 图①中，直线 GH ∥ MN ； 图②中， G、 H、 N 三点共面，但 M ?面 GHN ， 因此直线 GH 与 MN 异面； 图③中，连接 MG， GM ∥HN ，因此 GH 与 MN 共面； 图④中， G、 M 、N 共面，但 H?面 GMN ， 因此 GH 与 MN 异面． 所以图②④中 GH 与 MN 异面． 【变式探究】 (1) 如图，在正方体 ABCD －A1B1C1D1 中， M ，N 分别是 BC1， CD1 的中点，则下列判断错误的 是( )
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在 Rt△ AB1E 中，∠ AB1E 即为所求， 设 AB＝ 1，则 A1A＝ 2， AB1＝ 3， B1E＝ 23， 故∠ AB1E＝ 60°. (2) 空间四边形 ABCD 中， AB＝ CD 且 AB 与 CD 所成的角为 30°， E、 F 分别为 BC、 AD 的中点，求 EF 与 AB 所成角的大小．
3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 (1) 直线与平面的位置关系有相交、平行、在平面内三种情况．
(2) 平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．
高频考点一 平面基本性质的应用 例 1、如图所示，正方体 ABCD — A1B1C1D1 中， E、 F 分别是 AB 和 AA1 的中点．求证：
(1) E、 C、D 1、 F 四点共面； (2) CE、 D1F 、 DA 三线共点．
过正方体 ABCD -A1B1 C1D 1 的顶点 A, // 平面 CB1D1, I 平面
ABCD =m, I 平面 AB B1A1=n,则 m、n 所成角的正弦值为
3
(A)
2
【答案】 A
2
(B)
23Βιβλιοθήκη (C)31
(D)
3
选 A.
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2.【 2016 高考新课标 1 卷】（本小题满分为 12 分）如图 ,在以 A,B,C,D,E,F 为顶点的五面体中 ,面 ABEF 为正
专题 40 空间点直线平面之间的位置关系
专题 40 空间点直线平面之间的位置关系
1．平面的基本性质
(1) 公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．
(2) 公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面． (3) 公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．
m AD
0
，即
3x1
0
3x1
4 y1 0 y1 3z1
，所以可取 m 0
4,3, 5 .
设n
n AC x2, y2, z2 是平面 ACD 的法向量， 则
n AD
0
，即
6x2
0
3x2
0 y2
32 z
，所以可取 n 0
0, 3,1 .
于是 cos m, n
mn mn
14
75
， sin m, n
50 10 25
则∠ A1BC1 即为异面直线 A1B 与 AD 1 所成的角 .
连接 A1C1，由 AB＝ 1， AA1＝ 2，
则 A1C1＝ 2， A1B＝ BC1＝ 5，
在 △A1BC 1 中，由余弦定理得
cos∠
A
1BC
1＝
5＋ 2×
5 5
－ ×
2 5
＝
4 5
.
11. 【 2016 高考新课标 1 卷】平面