中考数学压轴题全面突破

中考数学压轴题全面突破之一•动态几何
题型特点
动态几何问题，是在几何知识和具体的几何图形背景下，通过点、线、形的运动，图形的平移、旋转、对称等来探究图形有关性质和图形之间的数量关系、位置关系的问题．常结合图形面积、存在性问题等考查．
处理原则
①研究基本图形，分析运动状态，确定分段；
②画图，表达线段长；
③借助几何特征建等式．
难点拆解
解决动态几何问题需要注意分段和线段长表达．
①分段关键是找状态转折点．
动点问题状态转折点通常是折线转折处或动点相遇处；
图形运动问题状态转折点通常是边与顶点的交点．
②线段长表达的方法有：s vt，线段和差、边角关系、勾股定理及相
似．
对于复杂的动态几何问题，如：起始时刻不同、往返运动、运动过程中速度变化等类型，需注意：表达线段长时找准对应的速度和时间．
1.（2011山西太原改编）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是平行四
边形，直线l经过O，C两点，点A的坐标为(8，0)，点B的坐标为(11，
4)．动点P在线段OA上从点O出发以每秒1个单位长度的速度向点A运
动，同时动点Q从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿A→B→C的方向
向点C 运动．过点P 作PM 垂直于x 轴，与折线OC ﹣CB 相交于点M ，当P ，Q 两点中有一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设点P ，Q 运动的时间为t 秒（t >0），△MPQ 的面积为S ．
（1）点C 的坐标为________，直线l 的解析式为__________．
（2）试求点Q 与点M 相遇前S 与t 的函数关系式，并写出相应的t 的取值范围．
（3）随着P ，Q 两点的运动，当点M 在线段CB 上运动时，设PM 的延长线与直线l 相交于点N ．试探究：当t 为何值时，△QMN 为等腰三角形？
2. （2012重庆）如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B =90°，AD =2，BC =6，AB =3．E 为BC 边上一点，以BE 为边作正方形BEFG ，使正方形BEFG 和梯形ABCD 在BC 的同侧．
（1）当正方形的顶点F 恰好落在对角线AC 上时，求线段BE 的长．
（2）将（1）问中的正方形BEFG 沿BC 向右平移，记平移中的正方形BEFG 为正方形B 'EFG ，当点E 与点C 重合时停止平移．设平移的距离为t ，正方形B 'EFG 的边EF 与AC 交于点M ，连接B 'D ，B 'M ，DM ，是否存在这样的t ，使△B 'DM 是直角三角形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．
l
y
x
C B A
Q M P
O l
y
O A
B
C l
y
O A
B
C
l
y
O A
B
C
（3）在（2）问的平移过程中，设正方形B 'EFG 与△ADC 重叠部分的面积为S ，请直接写出S 与t 之间的函数关系式以及自变量t 的取值范围．
3. （2008河北）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AB =50，AC =30，D ，E ，F 分别是AC ，AB ，BC 的中点．点P 从点D 出发，沿折线DE ﹣EF ﹣FC ﹣CD 以每秒7个单位长度的速度匀速运动；点Q 从点B 出发，沿BA 方向以每秒4个单位长度的速度匀速运动．过点Q 作射线QK ⊥AB ，交折线BC ﹣CA 于点G ．点P ，Q 同时出发，当点P 绕行一周回到点D 时，P ，Q 两点都停止运动，设点P ，Q 运动的时间是t 秒（t >0）．
（1）D ，F 两点间的距离是__________________．
（2）射线QK 能否把四边形CDEF 分成面积相等的两部分？若能，求出相应的t 值；若不能，说明理由．
（3）当点P 运动到折线EF -FC 上，且点P 又恰好落在射线QK 上时，求t 的值．
（4）连接PG ，当PG ∥AB 时，请直接写出t 的值．
K
G
F
D
C P
D
C
B A
(E )D
C
B A
A B C
D
D
C
B A
4. （2012江苏无锡）如图，菱形ABCD 的边长为2c m ，∠BAD =60°．点
P 从点A 出发，以错误！未找到引用源。

c m /s 的速度，沿AC 向点C 做匀速运动；与此同时，点Q 也从点A 出发，以1 c m /s 的速度，沿射线AB 做匀速运动，当点P 运动到点C 时，P ，Q 两点都停止运动．设点P 的运动时间为t （s ）．
（1）当点P 异于A ，C 时，请说明PQ ∥BC ；
（2）以点P 为圆心、PQ 的长为半径作圆，请问：在整个运动过程中，t 为怎样的值时，⊙P 与边BC 分别有1个公共点和2个公共点？
C D
D C B
A
A
B
C D P
Q
C
D
D C
B
A
A
C D E
F
A
C D E
F
A
C D E
F
A C D
E
F
5. （2012广东梅州）如图，四边形OABC 为矩形，A (6，0)，C (0，2错误！未找到引用源。

))，D (0，3错误！未找到引用源。

)，射线l 过点D 且与x 轴平行，点P ，Q 分别是l 和x 轴正半轴上的动点，且满足∠PQO =60°． （1）①点B 的坐标是____________；②∠CAO =_______度；③当点Q 与点A 重合时，点P 的坐标为_____________；
（2）设OA 的中点为N ，PQ 与线段AC 相交于点M ，是否存在点P ，使△AMN 为等腰三角形？若存在，请求出点P 的横坐标；若不存在，请说明理由． （3）设点P 的横坐标为x ，△OPQ 与矩形OABC 重叠部分的面积为S ，试求S 与x 的函数关系式和相应的自变量x 的取值范围．
O
N
Q
A
M
B
P
C
D l
x
y y x
l
D C
B
A O y x
l
D C
B
A O
6. （2009山东青岛改编）如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD =6c m ，CD =4c m ，BC =BD =10c m ．点P 由B 出发，沿BD 方向匀速运动，速度为1 c m /s ；同时，线段EF 由DC 出发，沿DA 方向匀速运动，速度为1c m /s ，交BD 于Q ．连接PE ，设运动时间为t （s ）（0 < t < 5）．解答下列问题： （1）当t 为何值时，PE ∥AB ？
（2）连接PF ，在上述运动过程中，五边形PFCDE 的面积是否发生变化？说明理由．
（3）设△PEQ 的面积为y （c m 2），试求出y 与t 之间的函数关系式．
Q P
A B
C
D E F
Q P
A B C
D
E F
7. （2009甘肃兰州）如图1，正方形 ABCD 中，点A ，B 的坐标分别为(0，10)，(8，4)，点C 在第一象限．动点P 在正方形 ABCD 的边上，从点A 出发沿A →B →C →D 匀速运动，同时动点Q 以相同的速度在x 轴正半轴上运动，当点P 到达点D 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）当点P 在AB 边上运动时，点Q 的横坐标x （长度单位）关于运动时间t （秒）的函数图象如图2所示，请求出点Q 开始运动时的坐标及点P 的运动速度．
（2）求正方形ABCD 的边长及顶点C 的坐标．
（3）在（1）中当t 为何值时，△OPQ 的面积最大？求出此时点P 的坐标． （4）如果点P ，Q 保持原速度不变，当点P 沿A →B →C →D 匀速运动时，OP 与PQ 能否相等？若能，请求出所有符合条件的t 值；若不能，请说明理
由．
1011
1O
x
t
图2
图1
A
B
C
D
O
P
Q x
y 备用图y
x
O
D
C
B
A
y
D
C
B
A
8. （2011重庆）如图，矩形ABCD 中，AB =6，BC =错误！未找到引用源。

，点O 是AB 的中点，点P 在AB 的延长线上，且BP =3．一动点E 从点O 出发，以每秒1个单位长度的速度沿OA 匀速运动，到达点A 后，立即以原速度沿AO 返回；另一动点F 从点P 出发，以每秒1个单位长度的速度沿射线PA 匀速运动，点E ，F 同时出发，当两点相遇时停止运动．在点E ，F 的运动过程中，以EF 为边作等边△EFG ，使△EFG 和矩形ABCD 在射线PA 的同侧，设运动的时间为t 秒（t ≥0）．
（1）当等边△EFG 的边FG 恰好经过点C 时，求运动时间t 的值． （2）在整个运动过程中，设等边△EFG 和矩形ABCD 重叠部分的面积为S ，请求出S 与t 之间的函数关系式及相应的自变量t 的取值范围． （3）设EG 与矩形ABCD 的对角线AC 的交点为H ，是否存在这样的t ，使△AOH 是等腰三角形？若存在，求出相应的t 值；若不存在，请说明理由．
P
F
E
B
A
C
D O C
D P
B A C
D D C
A B P
O O D
C
A B P
O
9. （2012吉林长春）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AC =8c m ，BC =4c m ，D ，E 分别为边AB ，BC 的中点，连接DE ．点P 从点A 出发，沿折线AD ﹣DE ﹣EB 运动，到点B 停止．点P 在AD 上以错误！未找到引用源。

c m /s 的速度运动，在折线DE ﹣EB 上以1c m /s 的速度运动．当点P 与点A 不重合时，过点P 作PQ ⊥AC 于点Q ，以PQ 为边作正方形PQMN ，使点M 落在线段AC 上，且在点Q 的左侧．设点P 的运动时间为t （s ）．
（1）当点P 在线段DE 上运动时，线段DP 的长为_______c m （用含t 的代数式表示）．
（2）当点N 落在AB 边上时，求t 的值．
（3）当正方形PQMN 与△ABC 重叠部分的图形为五边形时，设该五边形的面积为S （c m 2），求S 与t 的函数关系式．
（4）连接CD ，当点N 与点D 重合时，有一点H 从点M 出发，在线段MN 上以2.5 c m /s 的速度沿M →N →M 做往返运动，直至点P 与点E 重合时，点H 停止运动；当点P 在线段EB 上运动时，点H 始终在线段MN 的中点处．请求出在点P 的整个运动过程中，点H 落在线段CD 上时t 的取值范围．
E
D
C
B
A A B
C D
E
Q
P N M
E
D
C B
A
A
B
C
D
E
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
参考答案 动态几何
1. （1）（3，4），4
=3
y x ．
（2）当502t ＜≤时，2216
=+153S t t ；
当532t ＜≤时，232
23
S t t =-+；
当16
33
t ＜＜时，=6+32S t -．
（3）60=
13
t ． 2. （1）BE =2．（2）存在，20
=
7
t 或=3+17t -． （3）当403t ≤≤时，21
=4
S t ；
当423t ＜≤时，212
=+83
S t t --；
当1023t ＜≤
时，235
=+283
S t t --； 当
1043t ＜≤时，15=+22
S t -． 3. （1）25；（2）57=8t ；（3）185=41t 或15=2t ；（4）5=3
t 或340
=43t ． 4. （1）证明略；
（2）当=436t -或=2t 或133t -＜≤时，有一个交点；
当4361t -＜≤时，有两个交点．
5. （1）①（6，23）；②30；③（3，33）．
（2）存在，点P 的横坐标为0或2或33-． （3）当0≤x ≤3时，343
3
4+=
x S ；
当3＜x ≤5时，2
33313232-+-
=x x S ； 当5＜x ≤9时，3123
3
2+-
=x S ； 当x ＞9时，x
S 3
54=
． 6. （1）15
4
t =
；（2）不发生变化；（提示：S △BPF =S △DEP ，可利用这两个三角形全等转移面积） （3）2464
+6255
y t t =-
． 7. （1）点Q 开始运动时的坐标为（1，0），点P 的运动速度为每秒1单位长
度．
（2）边长为10，C （14，12）． （3）47
6
t =时，△OPQ 面积最大，此时点P 的坐标为 （
9415，53
10
）． （4）OP 与PQ 能相等，符合条件的t 值为53或295
13
．
8. （1）1t =．
（2）当0≤t ≤1时，23+43S t =；
当1＜t ≤3时，2373+33+
22
S t t =-
； 当3＜t ≤4时，43+203S t =-； 当4＜t ≤6时，23123+363S t t =-．
（3）存在，0t =或2t =或4t =或3+3t =或33t =-． 9. （1）（t －2）．（2）4t =或20
3
t =
． （3）当2＜t ＜4时，21
+24
S t t =-；
当
203＜t ＜8时，25
+22844
S t t =--．
（4）
14
3
t=或5
t=或6≤t≤8时，点H落在线段CD上．
中考数学压轴题全面突破之二•函数与几何综合
处理原则
坐标系中处理问题的原则：作横平竖直的线．
函数与几何综合类问题的处理原则：
①研究函数表达式、关键点坐标；
②坐标转线段长，分析几何特征；
③借助几何特征或函数特征建等式．
难点拆解
处理函数与几何综合问题需注意挖掘隐含信息和几何特征．
①隐含信息主要指由表达式、坐标而找到的特殊角或特殊图形（如边
长比为1:3:2的直角三角形）；
②几何特征的挖掘通常从图形中的几何模型（相似、奶站等）、关键
点构成的图形以及构造横平竖直的线等方面来考虑．
处理函数与几何综合类问题的过程中，优先寻找题中的几何模型（如A型相似、X型相似），借助模型表达线段长；若无模型，考虑转化表达或构造模型．
1. （2011福建福州）如图，已知二次函数错误！未找到引用源。

（错误！未找到引用源。

图象的顶点为H ，与x 轴交于A ，B 两点（点B 在点A 右侧），点H ，B 关于直线l ：错误！未找到引用源。

对称． （1）求A ，B 两点坐标，并证明点A 在直线l 上； （2）求二次函数解析式；
（3）过点B 作直线BK ∥AH ，交直线l 于点K ，M ，N 分别为直线AH 和直线l 上的两个动点，连接HN ，NM ，MK ，求HN +NM +MK 的最小值．
2. （2012山西改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线错误！未找到引用源。

与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点． （1）求直线AC 的解析式及B ，D 两点的坐标．
l K
H
A O x
y
B l K
H
A O x
y
B
（2）请在直线AC 上找一点M ，使△BDM 的周长最小，并求出此时点M 的坐标．
3. （2008福建莆田）如图，抛物线经过A (﹣3，0)，B (0，4)，C (4，0)三点． （1）求抛物线的解析式．
（2）已知AD =AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时，另一动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值．
A
B
C
D O
x
y
（3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ +MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
4. （2011四川乐山）已知顶点为A (1，5)的抛物线错误！未找到引用源。

经过点B (5，1)．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图1，设C ，D 分别是x 轴、y 轴上的两个动点，求四边形ABCD 周长的最小值．
（3）在（2）中，当四边形ABCD 的周长最小时，作直线CD ．设点P (x ，y )（x >0）是直线y =x 上的一个动点，Q 是OP 的中点，以PQ 为斜边，按图2所示构造等腰直角三角形PRQ ．
①当△PRQ 与直线CD 有公共点时，求x 的取值范围；
A
B
C
D
P
Q
O y x
A
B
C
D
P
Q O y x
②在①的条件下，记△PRQ 与△COD 重叠部分的面积为S ，求S 关于x 的函数关系式，并求S 的最大值．
5. （2003湖北黄冈改编）已知二次函数的图象如图所示．
（1）求二次函数的解析式及抛物线的顶点M 的坐标．
（2）若点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点
N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设OQ 的长为t ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围． （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△PAC 为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（4）将△OAC 补成矩形，使得△OAC 的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，且第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试求出矩形未知顶点的坐标．
A B
C D
O x
y
A B C
D O x y 图一 R Q P
y x O D C B A 图二 2
-1
y
x
O
B A 2
-1
y
x
O
B A Q
2
-1
y
x
O
B A
6. （2012四川南充）如图，⊙C 的内接△AOB 中，AB =AO =4， tan ∠AOB =错误！未找到引用源。

，抛物线错误！未找到引用源。

过点A (4，0)与点(﹣2，6).
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）直线m 与⊙C 相切于点A ，交y 轴于点D .动点P 在线段OB 上，从点O 出发向点B 运动；同时动点Q 在线段DA 上，从点D 出发向点A 运动．点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的速度为每秒2个单位长度，当PQ ⊥AD 时，求运动时间t 的值．
（3）点R 在x 轴下方部分的抛物线上，当△ROB 面积最大时，求点R 的坐标．
2
y
m
C
B
2
y m
C
B
7. （2012湖北荆门）如图，四边形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，顶点在B 点的抛物线交x 轴于点A ，D ，交y 轴于点E ，连接AB ，AE ，BE ．已知tan ∠CBE = 错误！未找到引用源。

，A (3，0)，D (﹣1，0)，E (0，3)．
（1）求抛物线的解析式及顶点B 的坐标． （2）求证：CB 是△ABE 外接圆的切线．
（3）试探究坐标轴上是否存在一点P ，使以D ，E ，P 为顶点的三角形与△ABE 相似．若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． （4）设△AOE 沿x 轴正方向平移t 个单位长度（0<t ≤3）时，△AOE 与△ABE 重叠部分的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并指出t 的取值范围．
x
E
y O D C B
A A B
C D O y E x x E
y O D C
B
A
8. （2012四川绵阳）如图1，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 在y 轴正半轴上，二次函数错误！未找到引用源。

的图象与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于点M ，其中B (﹣3，0)，M (0，﹣1)．已知AM =BC ． （1）求二次函数的解析式．
（2）证明：在抛物线上存在点D ，使A ，B ，C ，D 四点连接而成的四边形恰好是平行四边形．并求出此时直线BD 的函数解析式．
（3）在（2）的条件下，设直线l 过点D 且分别交直线BA ，BC 于不同的P ，Q 两点，AC ，BD 相交于点N ．
①若直线l ⊥BD ，如图1所示，试求错误！未找到引用源。

的值； ②若l 为满足条件的任意直线，如图2所示，①中的结论还成立吗？若成立，证明你的猜想；若不成立，举出反例．
图1
l
y
x
O
N
M Q
P D
C
B A
图2
A
B C D P
Q
M
N O
x
y l
9. （2009湖南株洲）如图，△ABC 为直角三角形，∠ACB =90°，AC =BC ，点A ，C 在x 轴上，点B 的坐标为(3，m )（m > 0），线段AB 与y 轴相交于点D ，以P (1，0)为顶点的抛物线过B ，D 两点． （1）求点A 的坐标（用含m 的代数式表示）； （2）求抛物线的解析式；
（3）设点Q 为抛物线上点P 至点B 之间的一动点，连接PQ 并延长交BC 于点E ，连接BQ 并延长交AC 于点F ，试证明：FC (AC +EC )为定值．
D F
P Q
E y
A C
O
B x
D F
P Q
E y
A C
O
B x
10. （2012浙江衢州）如图，把两个全等的Rt △AOB 和Rt △COD 分别置于平面直角坐标系中，使直角边OB ，OD 在x 轴上．已知点A (1，2)，过A ，C 两点的直线分别交x 轴、y 轴于点E ，F ．抛物线错误！未找到引用源。

经过O ，A ，C 三点．
（1）求该抛物线的函数解析式．
（2）点P 为线段OC 上一个动点，过点P 作y 轴的平行线交抛物线于点M ，交x 轴于点N ，是否存在这样的点P ，使得四边形ABPM 为等腰梯形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若△AOB 沿AC 方向平移（点A 始终在线段AC 上，且不与点C 重合），△AOB 在平移过程中与△COD 重叠部分的面积记为S ．试探究S 是否
存在最大值．若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
F
y
x
E
D
C B
A
O
F y x
E
D
C B A O
F
y x
E
D
C B
A
O
函数与几何综合
1. （1）(30)(10)A B -，，，，证明略．
（2）2333
322
y x x =-
-+
．（3）8． 2. （1）直线AC 的解析式为y =3x +3，(30)(14)B D ，，，．
（2）9132(
)3535
M ，． 3. （1）21433x y x =-++．（2）257t =．（3）存在，128
()241M ，．
4. （1）21119
424
y x x =-++．（2）102．
（3）①24x ≤≤；
②当823x ≤≤时，27
448
S x x =-+-；
当843x <≤时，21
(4)4
S x =-． 当167x =
时，4
7
max S =． 5. （1）219
2()24
y x x M =---，，．
（2）235142S t t =-++ 1
(2)2
t <<．
（3）存在，12
5735
()()2424
P P -，，，． （4）矩形未知顶点的坐标为1248
(12)()()5555
----，，，，，．
6. （1）2
122
y x x =
-； （2）9
s 5
t （）=；
（3）1155
()432
R ，-．
7. （1）223y x x =-++，B （1，4）；
（2）证明略；
（3）123
1
(00)(90)(0)3
P P P -，，，，，； （4）2
2333022
=19333
222
t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪⎨⎪-+<≤⎪⎩，，．
8. （1）211
=+166
y x x -．
（2）证明略，此时直线BD 的解析式为13
=22y x +．
（3）①
111
5
BP BQ +=；②结论依然成立，证明略． 9. （1）A （3-m ，0）；
（2）2=21y x x -+；
（3）FC (AC +EC )=8，证明略．
10. （1）237
=22
y x x -+；
（2）存在，2133
P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，；
（3）S 存在最大值，最大值为3
8
．
中考数学压轴题全面突破之三•点的存在性
题型特点
存在性问题是指判断某种特殊条件或状态是否存在的问题，比如长度、角度、面积满足一定关系的点的存在性、特殊三角形的存在性、特殊四边形的存在性等．
点的存在性问题常以函数为背景，探讨是否存在点，满足某种关系或构成某种特殊图形．比如线段倍分、平行垂直、角度定值、面积成比例、全等三角形、相似三角形、特殊四边形等． 解题思路
解决点的存在性问题，遵循函数与几何综合中处理问题的原则．
难点拆解
点的存在性问题关键是利用几何特征建等式．建等式的方式有：
①直接表达建等式．分析点存在所满足的特殊条件或关系，直接表达
线段长．
②转化表达建等式．如面积关系问题，转化面积关系为线段关系，结
合关键点所在图形的边角信息及几何特征，建等式．
③构造模型建等式．如角度间关系，需转化、构造将其放到三角形
中，再借助线段间关系建等式．
11.（2009湖北武汉）如图，抛物线错误！未找到引用源。

经过A(﹣1，0)，
C(0，4)两点，与x轴交于另一点B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D(m，m+1)在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；
（3）在（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP=45°，求点P的坐标．
A
O B
x
y C
A
O B
x
y C
12. （2012江苏南通改编）如图，经过点A (0，﹣4)的抛物线错误！未找到引用
源。

与x 轴交于点B (﹣2，0)和点C ，O 为坐标原点．
（1）求抛物线的解析式．
（2）将抛物线错误！未找到引用源。

先向上平移错误！未找到引用源。

个单位长度、再向左平移m （m >0）个单位长度，得到新抛物线，若新抛物线的顶点P 在△ABC 内，求m 的取值范围．
（3）若点M 在y 轴上，且∠OMB ＋∠OAB =∠ACB ，求点M 的坐标．
A B C O x y
A
B C O x
y
13. （2011广东深圳）如图1，抛物线错误！未找到引用源。

（a ≠0）的顶点为
C (1，4)，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点
D ，其中点B 的坐标为(3，0)．
（1）求抛物线的解析式．
（2）如图2，过点A 的直线与抛物线交于点E ，与y 轴交于点F ，其中点E 的横坐标为2，若直线PQ 为抛物线的对称轴，点G 为直线PQ 上一动点，则x 轴上是否存在一点H ，使以D ，G ，F ，H 四点为顶点的四边形周长最小？若存在，求出这个最小值及G ，H 两点的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图3，抛物线上是否存在一点T ，过点T 作x 轴的垂线，垂足为M ，过点M 作直线MN ∥BD ，交线段AD 于点N ，连接MD ，使△DNM ∽△BMD ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
P F
E
y
D
C B A A B C
D
y A B
D
y
14. （2012浙江温州）如图，过原点的抛物线错误！未找到引用源。

（m >0）与
x 轴的另一个交点为A ．过点P (1，m )作直线PM ⊥x 轴于点M ，交抛物线于点B ．记点B 关于抛物线对称轴的对称点为C （B ，C 不重合）．连接CB ，
CP ．
（1）当m =3时，求点A 的坐标及BC 的长． （2）当m >1时，连接CA ，问m 为何值时CA ⊥CP ？
（3）过点P 作PE ⊥PC 且PE =PC ，问是否存在m ，使得点E 落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的m 的值，并求出相对应的点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
A O y
x P
C
B M x y O x
y
O
15.（2012辽宁沈阳）如图，已知在平面直角坐标系中，点A的坐标为(﹣2，
0)，点B的坐标为(0，2)，点E为线段AB上的一动点（点E不与点A，B
重合）．以E为顶点作∠OET=45°，射线ET交线段OB于点F，C为y轴正半轴上一点，且OC AB，抛物线错误！未找到引用源。

的图象经过A，C 两点．
（1）求此抛物线的函数表达式．
（2）求证：∠BEF=∠AOE．
（3）当△EOF 为等腰三角形时，求点E 的坐标．
（4）在（3）的条件下，设直线EF 交x 轴于点D ，P 为（1）中抛物线上一动点，直线PE 交x 轴于点G ，在直线EF 上方的抛物线上是否存在一点P ，使得△EPF 的面积是△EDG 面积的（错误！未找到引用源。

）倍？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
点的存在性
10. （1）抛物线的解析式为234y x x =-++．
（2）点D 关于直线BC 对称的点的坐标为(0，1)．
（3）点P 的坐标为266525⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，．
11. （1）抛物线的解析式为y =12
x 2-x -4．
（2）符合条件的m 的取值范围为0＜m ＜5
2
．
（3）M (0，6)或M (0，-6)．
12. （1）抛物线的解析式为y ＝-(x -1)2+4．
（2）存在，四边形DFHG 的周长最小为225+，点G 坐
标为(1，1)，点H 坐标为(1
2
，0)．
（3）存在，点T 的坐标为(32，15
4
)．
13. （1）A (6，0)，BC =4．
（2）m =3
2
．
（3）当m ＞1时，
当点E 在x 轴上，m =2，点E 的坐标是(2，0)； 当点E 在y 轴上，m =2，点E 的坐标是(0，4)． 当0＜m ＜1时，
y x C E T
B F
O
A
y x
C
E T B F
O A
当m=2
3时，点E的坐标是(4
3
，0)．
14.（1）抛物线的表达式为y=-2x2-2x+22．
（2）证明略．
（3）E(-1，1)或E(-2，2-2)．
（4）存在，P(0，22)或P(-1，22)．
中考数学压轴题全面突破之四•三角形的存在性
题型特点
三角形的存在性问题是一类考查是否存在点，使其能构成某种特殊三角形的问题，如：直角三角形、等腰三角形、全等三角形及相似三角形的存在性．常结合动点、函数与几何，考查分类讨论、画图及建等式计算．
解题思路
①由判定定理确定三角形所满足的特殊关系；
②分类讨论，画图；
③建等式，对结果验证取舍．
对于目标三角形不确定、点的位置难以寻找等存在性问题的思考方向为：
①从角度入手，通过角的对应关系尝试画出一种情形．
②解决第一种情形．能根据几何特征表达线段长的，借助对应边成比
例、或线段长转坐标代入函数表达式求解；不能直接表达线段长的，观察点的位置，考虑联立函数表达式求解．
③分类讨论，类比解决其他情形．分类时，先考虑点的位置，再考虑
对应关系，用同样方法解决问题．
难点拆解
①直角三角形关键是用好直角，可考虑：勾股定理逆定理、弦图模
型、直线k值乘积为-1；
②等腰三角形可考虑直接表达线段长，利用两腰相等建等式，或借助三线合一找相似建等式；
③全等三角形或相似三角形关键是研究目标三角形的边角关系，进而表达线段长，借助函数或几何特征建等式．
④分类不仅要考虑图形存在性的分类，也要考虑点运动的分类．
16. （2012云南改编）如图，在平面直角坐标系中，抛物线错误！未找到引用
源。

的图象经过点(2，4)，且与直线错误！未找到引用源。

交于A ，B 两点．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）过点A 作AC ⊥AB 交x 轴于点C ，求点C 的坐标．
（3）除点C 外，在坐标轴上是否存在点M ，使得△MAB 是直角三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
y x
O
C B
A y x
O
C B
A
y x
O
C B
A
17. （2009广西钦州）如图，已知抛物线错误！未找到引用源。

与坐标轴交于
A ，
B ，
C 三点，A 点的坐标为(﹣1，0)，过点C 的直线错误！未找到引用源。

与x 轴交于点Q ，点P 是线段BC 上的一个动点，过P 作PH ⊥OB 于点H ．若PB =5t ，且0<t <1．
（1）点C 的坐标是____________，b =_______，c=______． （2）求线段QH 的长（用含t 的式子表示）．
（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使以P ，H ，Q 为顶点的三角形与△COQ 相似？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．
y
x O
Q
P
H C
B A A B
C O x
y
18. （2012海南）如图，顶点为P (4，﹣4)的二次函数图象经过原点(0，0)，点
A 在该图象上，OA 交其对称轴l 于点M ，点M ，N 关于点P 对称，连接AN ，ON ．
（1）求该二次函数的关系式．
（2）若点A 的坐标是(6，﹣3)，求△ANO 的面积．
（3）当点A 在对称轴l 右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①证明：∠ANM =∠ONM ；
②△ANO 能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A 的
坐标；如果不能，请说明理由．
N
l
M A
O
P x y
y
x
P
O l
19. （2011湖北天门）在平面直角坐标系中，抛物线错误！未找到引用源。

与x
轴的两个交点分别为A (-3，0)B (1，0)，过顶点C 作CH ⊥x 轴于点H ． （1）a =________，b =________，顶点C 的坐标为_________．
（2）在y 轴上是否存在点D ，使得△ACD 是以AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，说明理由．
（3）若点P 为x 轴上方的抛物线上一动点（点P 与顶点C 不重合），PQ ⊥
AC 于点Q ，当△PCQ 与△ACH 相似时，求点P 的坐标．
A B
C O H x
y
A B
C O H x
y
A B
C
O H x
y
20. （2012辽宁大连）如图，抛物线错误！未找到引用源。

经过A (错误！未找到
引用源。

，0)，B (错误！未找到引用源。

，0)，C (0，3)三点，线段BC 与抛物线的对称轴l 相交于点D ．设抛物线的顶点为P ，连接PA ，AD ，DP ，线段AD 与y 轴相交于点E ． （1）求该抛物线的解析式．
（2）在平面直角坐标系中是否存在点Q ，使以Q ，C ，D 为顶点的三角形与△ADP 全等？若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，说明理由．
（3）将∠CED 绕点E 顺时针旋转，边EC 旋转后与线段BC 相交于点M ，边
ED 旋转后与对称轴l 相交于点N ，连接PM ，DN ，若PM =2DN ，求点N 的坐标．
l
A
B
C
O
D
E
P x
y l
A
B
C
O
D
E
P x
y
21. （2012湖北黄冈）如图，已知抛物线错误！未找到引用源。

(m >0)与x 轴相
交于点B ，C ，与y 轴相交于点E ，且点B 在点C 的左侧． （1）若抛物线过点M (2，2)，求实数m 的值． （2）在（1）的条件下，求△BCE 的面积．
（3）在（1）的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H ，使BH +EH 最小，并求出点H 的坐标．
（4）在第四象限内，抛物线上是否存在点F ，使得以点B ，C ，F 为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．
B
C
E O
x
y
B
C
E O
x
y
22. （2012福建福州）如图1，已知抛物线错误！未找到引用源。

（a ≠0）经过
A (3，0)，
B (4，4)两点． （1）求抛物线的解析式．
（2）将直线OB 向下平移m 个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D ，求m 的值及点D 的坐标．
（3）如图2，若点N 在抛物线上，且∠NBO =∠ABO ，则在（2）的条件下，求出所有满足△POD ∽△NOB 的点P 的坐标（点P ，O ，D 分别与点N ，O ，B 对应）．
图1A B
D
O
x y
N
图2
y
x
O
D
B
A
23. （2012江苏苏州）如图，已知抛物线错误！未找到引用源。

（b 是实数且b
＞2）与x 轴的正半轴分别交于点A ，B （点A 位于点B 的左侧），与y 轴的正半轴交于点C ．
（1）点B 的坐标为________，点C 的坐标为________（用含b 的代数式表示）．
（2）请你探索在第一象限内是否存在点P ，使得四边形PCOB 的面积等于2b ，且△PBC 是以点P 为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．
（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q ，使得△QCO 、△QOA 和△QAB 中的任意两个三角形均相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由．
P
A
B
C O x
y
P
A
B
C O x
y
P
A
B
C O x
y
24. （2012浙江丽水）在△ABC 中，∠ABC =45°，tan ∠ACB =错误！未找到引用
源。

．如图，把△ABC 的一边BC 放置在x 轴上，有OB =14，OC =错误！未找到引用源。

，AC 与y 轴交于点E . （1）求AC 所在直线的函数解析式．
（2）过点O 作OG ⊥AC ，垂足为G ，求△OEG 的面积．
（3）已知点F (10，0)，在△ABC 的边上取两点P ，Q ，是否存在以O ，P ，Q 为顶点的三角形与△OFP 全等，且这两个三角形在OP 的异侧？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
G
y x
O
E
F
C B A G
y E
A G
y x
O
E
F
C B
A。