初中数学竞赛公益讲座初中第五讲：正方形讲义（PDF版 无答案）

初中数学竞赛公益讲座：正方形
2018/4/14
一、基础知识：
1）正方形具备平行四边形、矩形和菱形的一切特征；
2）正方形有4条对称轴、包含一系列的直角三角形，尤其是等腰直角三角形；
3）能够与旋转（4、9、18）、平移、对称等图形变换等重要的几何方法融为一体；
4）使用勾股定理，具有代数风格，体现数形结合的思想。

二、例题分析
例1、如下左图，在直角梯形ABCD中，AB=BC=4，M为腰BC上的一点，且△ADM 为等边三角形，求△CDM和△ABM的面积比。

例2、如上右图，以RT△BCA的斜边BC为一边在△BCA的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连接AO，如果AB=4，AO=6，求AC的长。

例3、如下左图，在正方形ABCD中，E是AD边的中点，BD与CE交于F点，求
证：AF⊥BE。

例4、如上右图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD边上的点，满足EF=BE+DF，AE、AF分别与对角线交于点M、N，求证：1）∠EAF=45度；2）；3）△EFC的周长等于正方形边长的两倍；4）点A到EF的距离等于正方形的边长；5）MF⊥AE、AM=FM、NE⊥AF、AN=EN；6）△AEF的面积是△AMN的两倍。

例5、如下左图，以任意四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为边各向外作一个正方形，中心分别为、、、，求证：与垂直且相等。

例6、如上右图，正方形ABCD、DEFG、FHLK共顶点D、F，P为AK的中点，求证：PE⊥CH且2PE=CH。

三、练习题
1、如下左图，正方形ABCD的面积为64，△BCE是正三角形，F是CE的中点，AE、BF交于点G，连接CG，求CG的长。

2、如上右图，正方形MNBC内有有一点A，以AB、AC为边向△ABC外作正方形ABRT和正方形ACPQ，连接RM、BP，求证：RM⫽BP。

3、如下左图，两个不相同的正方形ABCD和EFGH交于点I、J、K、L求证：IK ⊥JL且IK=JL。

4、如上中图，正方形ABDE、CDFI、EFGH的面积分别是17、10、13，上右图中的DPQR是矩形，对照上右图求上中图中六边形ABCIGH的面积。

5、如下左图，正方形和同向，与重合，求证:、和三线共点。

6、如上右图，正方形ABCD中，点E、F分别在边AD、CD上，满足∠EBF，BE、BF分别交AC于点G、H，作△AGE、△AGB、△CHB、△CHF的外心、、、，求证：四边形是平行四边形。