分层作业：1_1_3导数的几何意义

课时分层作业导数的几何意义

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．设f ′(x0)＝0，则曲线y＝f (x)在点(x0，f (x0))处的切线() A．不存在B．与x轴平行或重合

C．与x轴垂直D．与x轴相交但不垂直

B[由导数的几何意义可知选项B正确．]

2．已知函数f (x)在x＝x0处可导，若lim

Δx→0

00

(2)()

f x x f x

x

+∆-

∆

＝1，则f ′(x0)

＝()

A．2B．1C．1

2D．0

C[∵lim

Δx→0

00

(2)()

f x x f x

x

+∆-

∆

＝1∴lim

Δx→0

00

(2)(

2

)

f x x f x

x

+∆-

∆

＝

1

2，

即f (x0)＝lim

Δx→0

00

(2)(

2

)

f x x f x

x

+∆-

∆

＝

1

2.故选C.]

3．已知点P(－1，1)为曲线上的一点，PQ为曲线的割线，当Δx→0时，若k PQ 的极限为－2，则在点P处的切线方程为()

A．y＝－2x＋1 B．y＝－2x－1

C．y＝－2x＋3 D．y＝－2x－2

B[由题意可知，曲线在点P处的切线方程为

y－1＝－2(x＋1)，即2x＋y＋1＝0.]

4．已知曲线y＝x3在点P处的切线的斜率k＝3，则点P的坐标是()

A．(1，1) B．(－1，1)

C．(1，1)或(－1，－1) D．(2，8)或(－2，－8)

C[因为y＝x3，所以y′＝lim

Δx→0

33

()

x x x

x

+∆-

∆

＝lim

Δx→0

[3x2＋3x·Δx＋(Δx)2]＝3x2.

由题意，知切线斜率k＝3，令3x2＝3，得x＝1或x＝－1. 当x＝1时，y＝1；当x＝－1时，y＝－1.

故点P 的坐标是(1，1)或(－1，－1)，故选C.]

5．如图，函数y ＝f (x )的图象在点P (2，y )处的切线是l ，则f (2)＋f ′(2)等于( )

A ．－4

B ．3

C ．－2

D ．1

D [直线l 的方程为x 4＋y

4＝1， 即x ＋y －4＝0.

又由题意可知f (2)＝2，f ′(2)＝－1， ∴f (2)＋f ′(2)＝2－1＝1.] 二、填空题

6．已知函数y ＝ax 2

＋b 在点(1，3)处的切线斜率为2，则b

a ＝________.

2 [∵f ′(1)＝2，

又lim Δx →0 (1)(1)

f x f x

+∆-∆＝lim Δx →0 2(1)a x a x +∆-∆＝lim Δx →0 (a Δx ＋2a )＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1.又f (1)＝a ＋b ＝3，∴b ＝2.

∴b

a ＝2.]

7．(一题两空)已知f (x )＝mx 2＋n ，且f (1)＝－1，f (x )的导函数f ′(x )＝4x ，则m ＝________，n ＝________.

2 －

3 [Δy Δx ＝()(f x x f x x

+∆-∆）

＝2

2m x x n mx n x

+∆+-+∆（）（）＝m Δx ＋2mx ，

故f ′(x )＝lim Δx →0

Δy

Δx ＝lim Δx →0

(m Δx ＋2mx )＝2mx ＝4x .

所以m ＝2.

又f (1)＝－1，即2＋n ＝－1，所以n ＝－3，

故m ＝2，n ＝－3.]

8．若曲线y ＝x 2＋2x 在点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0，则点P 的坐标是__________．

(0，0) [设P (x 0，y 0)，则

y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0 22

0000

()2()2x x x x x x x

+∆++∆--∆

＝lim Δx →0

(2x 0＋2＋Δx )＝2x 0＋2.

因为点P 处的切线垂直于直线x ＋2y ＝0， 所以点P 处的切线的斜率为2，

所以2x 0＋2＝2，解得x 0＝0，即点P 的坐标是(0，0)．] 三、解答题

9．若曲线y ＝f (x )＝x 3在点(a ，a 3)(a ≠0)处的切线与x 轴、直线x ＝a 所围成的三角形的面积为1

6，求a 的值．

[解] ∵f ′(a )＝lim Δx →0 33

()a x a x

+∆-∆＝3a 2，∴曲线在(a ，a 3)处的切线方程为y

－a 3

＝3a 2

(x －a )，切线与x 轴的交点为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

23a ，0.

∴三角形的面积为12⎪⎪⎪

⎪⎪⎪a －23a ·|a 3|＝16，得a ＝±1.

10．在曲线y ＝x 2上取一点，使得在该点处的切线： (1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.

分别求出满足上述条件的点的坐标．

[解] 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝lim Δx →0 ()()

f x x f x x

+∆-∆＝lim Δx →0 22()x x x x +∆-∆＝lim Δx →0

(2x ＋Δx )＝2x .

设P (x 0，y 0)是满足条件的点．

(1)因为点P 处的切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝4，即P (2，4)．

(2)因为点P 处的切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，且直线2x －6y ＋5＝0的斜