2019-2020学年广东省深圳外国语学校九年级(上)期中数学试卷

2019-2020学年广东省深圳外国语学校九年级（上）期中数学试
卷
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）下图中，主视图与俯视图不同的几何体是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
2．（3分）已知反比例函数12y x -=，下列结论中，不正确的是( ) A ．点(2,1)--在它的图象上 B ．y 随x 的增大而减小
C ．图象在第一、三象限
D ．若0x <时，y 随x 的增大而减小
3．（3分）圆桌面（桌面中间有一个直径为1m 的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为
2m ，桌面离地面1m ，若灯泡离地面2m ，则地面圆环形阴影的面积是( )
A ．22m π
B ．3π 2m
C ．6π 2m
D ．12π 2m
4．（3分）若点1(1,)A y ，2(2,)B y ，3(2,)C y -都在反比例函数(0)k y k x =>的图象上，则1y ，
2y ，3y 的大小关系是( )
A ．123y y y <<
B ．231y y y <<
C ．132y y y <<
D ．321y y y <<
5．（3分）Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，15b =4c =，则sin A 的值是( ) A ．
1
4
B ．13
C 15
D 15 6．（3分）如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数k
y x
=的图象的一支经过矩形对角线的交点P ，则k 的值是( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．
12
7．（3分）反比例函数22
k y x
-=的图象过点(2,1)，则k 值为( ) A ．2
B ．3
C ．2-
D ．1-
8．（3分）如图，过x 轴正半轴上的任意一点P ，作y 轴的平行线，分别与反比例函数3(0)y x x =>和6
(0)y x x
=->的图象交于B 、A 两点．若点C 是y 轴上任意一点，则ABC
∆的面积为( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．
9
2
9．（3分）在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图象可能是(
)
A ．
B ．
C ．
D ．
10．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形上，
AB 与CD 相交于点O ，则tan AOD ∠等于( )
A ．
12
B ．2
C ．1
D ．2
11．（3分）如图，在反比例函数2
y x
=-的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另
一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC BC =，当点A 运动时，点C 始终在函数k
y x
=
的图象上运动．若tan 2CAB ∠=，则k 的值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
12．（3分）如图，二次函数2(1)y a x =-的图象经过点(1,4)A -，与y 轴交于点B ，C 、D 分别为x 轴、直线1x =上的动点，当四边形ABCD 的周长最小时，CD 所在直线对应的函数表达式是( )
A ．332
y x =-
B ．31y x =-
C ．84
55y x =-
D ．5
13
y x =-
二、填空题（每题3分，共12分）
13．（3分）如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子，第一次是阳光与地面成60︒角时，第二次是阳光与地面成30︒角时，两次测量的影长
相差8
米，则树高 米．（结果保留根号）
14．（3分）已知二次函数222y x mx =++，当2x >时，y 的值随x 值的增大而增大，则实数m 的取值范围是 ．
15．（3分）如图，抛物线23y ax bx =+-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，且3OB OC OA ==，直线1
13
y x =-+与y 轴交于点D ．求
DBC CBE ∠-∠= ．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数(k
y k x
=
为常数，
且0)k >在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM y ⊥轴于M ，过点F 作FN x ⊥轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若1
(BE m BF m
=为大于l 的常数）．记CEF ∆的面积为1S ，OEF ∆的面积为2S ，则
1
2
S S = ．
（用含m 的代数式表示）
三、解答题（共52分）
17．（5分）计算：22cos604sin60tan306cos 45︒+︒︒-︒．
18．（6分）已知：12y y y =+，并且1y 与(1)x -成正比例，2y 与x 成反比例．当2x =时，5y =；
当2x =-时，9y =-．
（1）求y 关于x 的函数解析式； （2）求当8x =时的函数值．
19．（5分）已知：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中(3,0)A -、(0C ．2)-．求这条抛物线的函数表达式．
20．（7分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，且不高于100元． （1）求每天的销售利润y （元)与销售单价x （元)之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
21．（8分）如图1，(0,8)A 、(2,)B a 在直线2y x b =-+上，反比例函数(0)k y x x
=>的图象
经过点B ．
（1）求a 和k 的值；
（2）将线段AB 向右平移3个单位长度，得到对应线段CD ，连接AC 、BD ．如图2，过点D 作DE x ⊥轴于点F ，交反比例函数图象与点E ，求
DE
EF
的值．
22．（10分）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B ，
C 的坐标分别为(4,0)和(0,4)，抛物线的对称轴为1x =，直线A
D 交抛物线于点(2,)D m ． （1）求抛物线和直线AD 的解析式；
（2）如图Ⅰ，点Q 是线段AB 上一动点，过点Q 作//QE AD ，交BD 于点E ，连接DQ ，求QED ∆面积的最大值；
（3）如图Ⅱ，直线AD 交y 轴于点F ，点M ，N 分别是抛物线对称轴和抛物线上的点，若以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．
23．（11分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A ，与坐标轴交于B 、C 、D 三点，且B 点的坐标为(1,0)-． （1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x 轴上方部分有两个动点M 、N ，且点N 在点M 的左侧，过M 、
N 作x 轴的垂线交x 轴于点G 、H 两点，当四边形MNHG 为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG 的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P ，使PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的
9
16
？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
2019-2020学年广东省深圳外国语学校九年级（上）期中数学试
卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，共36分）
1．（3分）下图中，主视图与俯视图不同的几何体是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：A 、圆柱的主视图与俯视图都是长方形，故此选项不合题意；
B 、正方体的主视图与俯视图都是正方形，故此选项不合题意；
C 、圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆形，故此选项符合题意；
D 、球的主视图与俯视图都是圆方形，故此选项不合题意；
故选：C ．
2．（3分）已知反比例函数12y x -=，下列结论中，不正确的是( ) A ．点(2,1)--在它的图象上 B ．y 随x 的增大而减小
C ．图象在第一、三象限
D ．若0x <时，y 随x 的增大而减小
【解答】解：A 、把(2,1)--代入12y x -=得：左边=右边，故本选项正确，不符合题意；
B 、20k =>，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，故本选项错误，符合题意；
C 、30k =>，图象在第一、三象限内，故本选项正确，不符合题意；
D 、若0x <时，y 随x 的增大而减小，故本选项正确，不符合题意；
不正确的只有选项B ， 故选：B ．
3．（3分）圆桌面（桌面中间有一个直径为1m 的圆洞）正上方的灯泡（看作一个点）发出的光线照射平行于地面的桌面后，在地面上形成如图所示的圆环形阴影．已知桌面直径为
2m ，桌面离地面1m ，若灯泡离地面2m ，则地面圆环形阴影的面积是( )
A ．22m π
B ．3π 2m
C ．6π 2m
D ．12π 2m
【解答】解：如图所示：
AC OB ⊥，BD OB ⊥， AOC BOD ∴∆∆∽，
∴
OA AC OB BD =
，即11
2BD
=， 解得：2BD m =，
同理可得：1
2
AC m '=，则1BD m '=，
()222213S m πππ∴=-=圆环形阴影．
故选：B ．
4．（3分）若点1(1,)A y ，2(2,)B y ，3(2,)C y -都在反比例函数(0)k
y k x =>的图象上，则1y ，
2y ，3y 的大小关系是( )
A ．123y y y <<
B ．231y y y <<
C ．132y y y <<
D ．321y y y <<
【解答】解：反比例函数k
y x
=
中0k >， ∴函数图象的两个分式分别位于一、三象限，且在每一象限内y 随x 的增大而减小．
20-<，
∴点3(2,)C y -位于第三象限，
30y ∴<，
012<<，
∴点1(1,)A y ，2(2,)B y 位于第一象限，
120y y ∴>>．
123y y y ∴>>．
故选：D ．
5．（3分）Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，15b =，4c =，则sin A 的值是( ) A ．
1
4
B ．13
C ．
1515
D ．
154
【解答】解：如图，15AC b ==，4AB c ==，
所以22224(15)1BC a AB AC =-=-=， 由三角函数的定义可得1
sin 4
BC A AB ==， 则1sin 4
A =
， 故选：A ．
6．（3分）如图，矩形AOBC 的面积为4，反比例函数k
y x
=的图象的一支经过矩形对角线的交点P ，则k 的值是( )
A ．4
B ．2
C ．1
D ．
12
【解答】解：作PE x ⊥轴，PF y ⊥轴，如图， 点P 为矩形AOBC 对角线的交点，
∴矩形OEPF 的面积14=
矩形AOBC 的面积1
414
=⨯=， ||1k ∴=，
而0k >，
1k ∴=，
故选：C ．
7．（3分）反比例函数22
k y x
-=的图象过点(2,1)，则k 值为( ) A ．2
B ．3
C ．2-
D ．1-
【解答】解：反比例函数22
k y x
-=
的图象过点(2,1)， 2221k ∴-=⨯， 解得2k =， 故选：A ．
8．（3分）如图，过x 轴正半轴上的任意一点P ，作y 轴的平行线，分别与反比例函数3(0)y x x =>和6
(0)y x x
=->的图象交于B 、A 两点．若点C 是y 轴上任意一点，则ABC
∆的面积为( )
A ．3
B ．6
C ．9
D ．
9
2
【解答】解：设(,0)P a ，0a >，则A 和B 的横坐标都为a ， 将x a =代入反比例函数6y x =-中得：6y a =-，故6
(,)A a a
-；
将x a =代入反比例函数3y x =中得：3y a =，故3(,)B a a
， 639
AB AP BP a a a
∴=+=
+=， 则1199222
ABC P S AB x a a ∆=
⋅=⨯⨯=的横坐标， 故选：D ．
9．（3分）在同一坐标系中，二次函数2y ax bx =+与一次函数y bx a =-的图象可能是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【解答】解：由方程组2y ax bx y bx a
⎧=+⎨=-⎩得2ax a =-， 0a ≠
21x ∴=-，该方程无实数根，
故二次函数与一次函数图象无交点，排除B ．
A ：二次函数开口向上，说明0a >，对称轴在y 轴右侧，则0b <；但是一次函数b 为一次项系数，图象显示从左向右上升，0b >，两者矛盾，故A 错；
C ：二次函数开口向上，说明0a >，对称轴在y 轴右侧，则0b <；b 为一次函数的一次项系数，图象显示从左向右下降，0b <，两者相符，故C 正确；
D ：二次函数的图象应过原点，此选项不符，故D 错．
故选：C ．
10．（3分）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A ，B ，C ，D 都在这些小正方形上，AB 与CD 相交于点O ，则tan AOD ∠等于( )
A ．12
B ．2
C ．1
D ．2
【解答】解：如图，连接BE ，与CD 交于点F ，
四边形BCEH 是正方形，
12HF CF CH ∴==，12
BF EF BE ==，CH BE =，BE CH ⊥， BF CF ∴=，
//AC BH ，
ACO BHO ∴∆∆∽，
::1:3HO CO BH AC ∴==，
CF HF =， :1:2HO HF ∴=，
1122HO OF CF BF ∴===， 在Rt OBF ∆中，tan 2BF BOF OF
∠== AOD BOF ∠=∠，
tan 2AOD ∴∠=．
故选：B ．
11．（3分）如图，在反比例函数2y x
=-的图象上有一动点A ，连接AO 并延长交图象的另一支于点B ，在第一象限内有一点C ，满足AC BC =，当点A 运动时，点C 始终在函数k y x
=的图象上运动．若tan 2CAB ∠=，则k 的值为( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
【解答】解：连接OC ，过点A 作AE y ⊥轴于点E ，过点C 作CF x ⊥轴于点F ，如图所示．
由直线AB 与反比例函数2y x
=-的对称性可知A 、B 点关于O 点对称， AO BO ∴=．
又AC BC =，
CO AB ∴⊥．
90AOE EOC ∠+∠=︒，90EOC COF ∠+∠=︒，
AOE COF ∴∠=∠，
又90AEO ∠=︒，90CFO ∠=︒，
AOE COF ∴∆∆∽， ∴AE OE AO CF OF CO
==． tan 2OC CAB AO
∠==， 2CF AE ∴=，2OF OE =．
又
|2|2AE OE =-=，||CF OF k =，
8k ∴=±．
点C 在第一象限，
8k ∴=．
故选：D ．
12．（3分）如图，二次函数2(1)y a x =-的图象经过点(1,4)A -，与y 轴交于点B ，C 、D 分
别为x 轴、直线1x =上的动点，当四边形ABCD 的周长最小时，CD 所在直线对应的函数表达式是( )
A ．332y x =-
B ．31y x =-
C ．8455y x =-
D ．513
y x =- 【解答】解：作点A 关于对称轴1x =的对称点E ，则(3,4)E ，作点B 关于x 轴的对称点F ， 连接EF 交x 轴于点C ，交对称轴于点D ，此时四边形ABCD 的周长取得最小值，
将点(1,4)A -代入2(1)y a x =-得44a =，
解得1a =，
∴抛物线解析式为22(1)21y x x x =-=-+，
∴点B 坐标为(0,1)，
则点(0,1)F -，
设CD 所在直线解析式为y mx n =+，
将(3,4)E ，(0,1)F -代入得341m n n +=⎧⎨=-⎩
， 解得531m
n ⎧=⎪
⎨⎪=-⎩，
所以CD 所在直线解析式为513
y x =-． 故选：D ．
二、填空题（每题3分，共12分）
13．（3分）如图，校园内有一棵与地面垂直的树，数学兴趣小组两次测量它在地面上的影
子，第一次是阳光与地面成60︒角时，第二次是阳光与地面成30︒角时，两次测量的影长相差8米，则树高 43 米．（结果保留根号）
【解答】解：如图，
在Rt ABC ∆中，tan AB ACB BC ∠=
， tan tan 60AB x BC ACB ∴==∠︒
， 同理：tan30x BD =
︒， 两次测量的影长相差8米，
∴8tan30tan 60x x -=︒︒
， 43x ∴=故答案为3
14．（3分）已知二次函数222y x mx =++，当2x >时，y 的值随x 值的增大而增大，则实
数m 的取值范围是 2m - ．
【解答】解：抛物线的对称轴为直线221
m x m =-=-⨯， 当2x >时，y 的值随x 值的增大而增大，
2m ∴-，
解得2m -．
故答案为：2m -．
15．（3分）如图，抛物线23y ax bx =+-，顶点为E ，该抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与
y 轴交于点C ，且3OB OC OA ==，直线113
y x =-+与y 轴交于点D ．求DBC CBE ∠-∠= 45︒ ．
【解答】
解：由题意得：3OC = 则：以下各点的坐标分别为：(1,0)A -、(3,0)B 、(0,3)C -，
直线113
y x =-+与y 轴交于点D ，知D 坐标为(0,1)， 易证()ACO DBO SAS ∆≅∆，
DBO ACO ∴∠=∠，而45ABC ACB ∠=∠=︒，
DBC ACB ∴∠=∠，
则二次函数的表达式为223y x x =--，则顶点E 的坐标为(1,4)-，
由点B 、E 坐标可知，BE 所在的直线的2BE k =，
过点C 作//OF BE ，则FCB CBE ∠=∠，
DBC CBE ACF ∴∠-∠=∠，
则直线CF 所在的方程的2BE k k ==，方程为23y x =-， ∴点F 的坐标为3(2，0)， 在ACF ∆中，由A 、
C 、F 的坐标可求出：
则10AC =，35CF =，52
AF =， 过点A 作AH CF ⊥，设：CH x =，
则根据22222AH AC CH AF FH =-=-，
解得：45x =，
则2cos CH ACH AC ∠=
=，45ACH ∴∠=︒， 45DBC CBE ACH ∴∠-∠=∠=︒，
故答案为45︒．
16．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，与反比例函数(k y k x
=为常数，且0)k >在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM y ⊥轴于M ，过点F 作FN x ⊥轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若
1(BE m BF m =为大于l 的常数）．记CEF ∆的面积为1S ，OEF ∆的面积为2S ，则
12S S = 11
m m -+ ．（用含m 的代数式表示）
【解答】解：方法一：过点F 作FG y ⊥轴于点G ， 2MEO OEF OEF MEFO k S S S S ∆∆∆=+=+四边形，
又2FGO MEFO MEFG MEFG k S S S S ∆=+=+
四边形梯形梯形，
2OEF MEFG S S S ∆∴==梯形， 则1212
1()2CE CF S S ME FG MG =+， 又CF MG =， ∴12S CE S ME FG
=+， 由
1BE BF m =，得：11BE EF m =-， //OB NC ， ∴11
ME BE EC EF m ==-， 则11
ME GF m EC m ++=-， ∴1211
S m S m -=+．
方法二：如图2，过点F 作FD BO ⊥于点D ，EW AO ⊥于点W ， 1BE BF m
=， ∴1ME DF m
=， ME EW FN DF =， ∴
ME FN DF EW =， ∴1FN EW m
=， 设E 点坐标为：(,)x my ，则F 点坐标为：(,)mx y ，
CEF ∴∆的面积为：2111()()(1)22
S mx x my y m xy =--=-， OEF ∆的面积为：21MEO FON CNOM S S S S S ∆∆=---矩形，
2111(1)222MC CN m xy ME MO FN NO =----， 2111(1)222
mx my m xy x my y mx =----，
221(1)2m xy m xy mxy
=-
--， 21(1)2
m xy =-， 1(1)(1)2
m m xy =+-， ∴2121(1)1211(1)(1)2
m xy S m S m m m xy --==+-+． 故答案为：
11m m -+．
三、解答题（共52分）
17．（5分）计算：22cos604sin60tan306cos 45︒+︒︒-︒．
【解答】解：原式21332246(2=⨯+-⨯ 123=+-
0=．
18．（6分）已知：12y y y =+，并且1y 与(1)x -成正比例，2y 与x 成反比例．当2x =时，5y =；当2x =-时，9y =-．
（1）求y 关于x 的函数解析式；
（2）求当8x =时的函数值．
【解答】解：（1）1y 与(1)x -成正比例，2y 与x 成反比例， ∴设11(1)y k x =-，22k y x =
， 12y y y =+，
21(1)k y k x x
∴=-+， 当2x =时，5y =；当2x =-时，9y =-．
∴212
152932
k k k k ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=--⎪⎩， 解得：12
26k k =⎧⎨=⎩， y ∴关于x 的函数解析式为62(1)y x x =-+
（2）当8x =时，原式33271444
=⨯+=． 19．（5分）已知：抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为1x =-，与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中(3,0)A -、(0C ．2)-．求这条抛物线的函数表达式．
【解答】解：根据题意得，
1
2930002b a a b c c ⎧-=-⎪⎪-+=⎨⎪++=-⎪⎩
，
解得，23432a b c ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩
， ∴这条抛物线的函数表达式：224233
y x x =+-． 20．（7分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本，且不高于100元．
（1）求每天的销售利润y （元)与销售单价x （元)之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）(50)[505(100)]y x x =-+-
(50)(5550)x x =--+
2580027500x x =-+-
所以2580027500(50100)y x x x =-+-；
（2）2580027500y x x =-+-
25(80)4500x =--+
50a =-<，
∴抛物线开口向下．
50100x ，对称轴是直线80x =，
∴当80x =时，4500y =最大值；
即销售单价为80元时，每天的销售利润最大，最大利润是4500元．
21．（8分）如图1，(0,8)A 、(2,)B a 在直线2y x b =-+上，反比例函数(0)k y x x
=>的图象经过点B ．
（1）求a 和k 的值；
（2）将线段AB 向右平移3个单位长度，得到对应线段CD ，连接AC 、BD ．如图2，过点D 作DE x ⊥轴于点F ，交反比例函数图象与点E ，求
DE EF
的值．
【解答】解：（1）点(0,8)A 在直线2y x b =-+上，
208b ∴-⨯+=，
8b ∴=，
∴直线AB 的解析式为28y x =-+，
将点(2,)B a 代入直线AB 的解析式28y x =-+中，得228a -⨯+=， 4a ∴=，
(2,4)B ∴，
将(2,4)B 在反比例函数解析式(0)k y x x
=>中，得248k xy ==⨯=；
（2）由（1）知，(2,4)B ，8k =，
∴反比例函数解析式为8y x
=， 将线段AB 向右平移3个单位长度，得到对应线段CD ，
(23,4)D ∴+，
即：(5,4)D ，
DF x ⊥轴于点F ，交反比例函数8y x
=
的图象于点E ， 8(5,)5
E ∴， 812455DE ∴=-=，85E
F =， ∴12
35825
DE EF
==． 22．（10分）抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点B ，
C 的坐标分别为(4,0)和(0,4)，
抛物线的对称轴为1x =，直线AD 交抛物线于点(2,)D m ． （1）求抛物线和直线AD 的解析式；
（2）如图Ⅰ，点Q 是线段AB 上一动点，过点Q 作//QE AD ，交BD 于点E ，连接DQ ，
求QED ∆面积的最大值；
（3）如图Ⅱ，直线AD 交y 轴于点F ，点M ，N 分别是抛物线对称轴和抛物线上的点，若
以C ，F ，M ，N 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．
【解答】解：（1）根据题意得，1644012a b b a
++=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得：121a b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴抛物线的解析式为：21
42
y x x =-++； (4,0)B ，对称轴为1x =，
(2,0)A ∴-，
(2,)D m 在抛物线的解析式2142
y x x =-++上， (2,4)D ∴，
设直线AD 的解析式为y kx b =+，
∴2024k b k b -+=⎧⎨+=⎩
， 解得12k b =⎧⎨=⎩
， ∴直线AD 的解析式为2y x =+；
（2）如图1，作EG x ⊥轴，设(,0)Q m ，
//QE AD ，
BEQ BDA ∴∆∆∽，
∴4
BQ EG BA =， 即464
m EG -=， 解得：823m EG -=
， 182(4)23
BEQ m S m ∆-∴=⨯-⨯， 2211821281(4)4(4)(1)32233333
QDE BDQ BEQ m S S S m m m m m ∆∆∆-∴=-=⨯-⨯-⨯-⨯=-++=--+，
QED ∴∆面积的最大值是3；
（3）直线AD 交y 轴于点F ，
(0,2)F ∴， 抛物线的顶点坐标9(1,)2
， ①如图2，若CF 为平行四边形的一边，则点N 于抛物线的顶点重合，此时，2MN CF ==， ∴点M 的坐标5
(1,)2，13(1,)2
； ②如图3，若CF 为平行四边形的一条对角线，则CF 与MN 互相平分， 过点M ，N 分别向x 轴作垂线，垂足分别为H ，K ，MN 与HK 交于点P ， 易得MHP NKP ∆≅∆，
∴点M ，N 的横坐标分别是1，1-，
5(1,)2
N ∴-， 12PK HP ∴=
=， 72
HO ∴=， 7(1,)2
M ∴， 综上所述，点M 的坐标为：5(1,)2或13(1,)2或7(1,)2
．
23．（11分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)
A，与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为(1,0)
-．
（1）求二次函数的解析式；
（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；
（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使PNC
∆的面积是
矩形MNHG面积的
9
16
？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）二次函数表达式为：2(1)4y a x =-+， 将点B 的坐标代入上式得：044a =+，解得：1a =-， 故函数表达式为：223y x x =-++⋯①；
（2）设点M 的坐标为2(,23)x x x -++，则点2(2,23)N x x x --++， 则222MN x x x =-+=-，223GM x x =-++， 矩形MNHG 的周长22222(22)2(23)282C MN GM x x x x x =+=-+-++=-++， 20-<，故当22b x a =-=，C 有最大值，最大值为10， 此时2x =，点(0,3)N 与点D 重合；
（3）PNC ∆的面积是矩形MNHG 面积的
916， 则99272316168
PNC S MN GM ∆=⨯⨯=⨯⨯=， 连接DC ，在CD 的上下方等距离处作CD 的平行线m 、n ， 过点P 作y 轴的平行线交CD 、直线n 于点H 、G ，即PH GH =， 过点P 作PK CD ⊥于点K ，
将(3,0)C 、(0,3)D 坐标代入一次函数表达式并解得： 直线CD 的表达式为：3y x =-+，
OC OD =，
45OCD ODC PHK ∴∠=∠=︒=∠，CD = 设点2(,23)P x x x -++，则点(,3)H x x -+， 2711
sin 45822
PNC S PK CD PH ∆==⨯⨯=⨯⨯︒⨯， 解得：94
PH HG ==， 则292334PH x x x =-+++-=
， 解得：32
x =， 故点3(2P ，15)4
， 直线n 的表达式为：93344y x x =-+-
=-+⋯②，
联立①②并解得：32
x ±=，
即点P '、P ''；
故点P 横坐标为：32或．。