橡胶Mooney_Rivlin模型中材料常数的确定_王伟

工程应力 σ的关系为 t = σλ。
2.1 2 参数的 Mooney-Rivlin 模型材料常数的确定
对 2 参数的 M ooney-Rivlin 模型 , 即方程(5),
假定材料为不可压缩的 , 可得到 I3 =(λ1 λ2 λ3)2
=1 。在单轴拉伸的特殊情况下, 利用关系式
(9), 则 M ooney-Rivlin 材料模型的应力 -应变方
程可表示为 :
σ 2(λ-λ-2)
=
C10
+Cλ01
(12)
这个方程可用 σ/[ 2(λ-λ-2)] 对 1/ λ作图 。
在 1/ λ=1 时 , 相应值为 C 10 +C01 并且直线的斜
率为 C01 。初始剪切模量与材料常数的关系是 G
=2(C 10 +C01)。如果材料被假定为不可压缩的 ,
那么初始拉伸模量是 E =6(C10 +C 01)或对 1 个
参考文献 : [ 1] Yeoh O H.Some forms of the strain energy for rubber[ J].
Rubber Chemi cal and Technology , 1993 , 66(5):754 ～ 771. [ 2] Yeoh O H.C haracterization of elast ic propert ies of carbon blak
对橡胶 类 物 理 非 线 性材 料 , 常用 M ooney-
Rivlin 模型来描述 。
∑n
W (I1 , I2)= Cij(I 1 -3)i (I2 -3)j (1) i , j =0
式中 :W 为应变能密度 , Cij 为 Rivlin 系数 , I 1 , I 2
为第 1 , 第 2 Green 应变不变量 。
6C30(I 1 -3)2
(13)
式中 :λ为主伸长率 , I 1 = λ2 +2λ-1 -3 。
3 次方程适于描述非线性材料的应力 -应变
ห้องสมุดไป่ตู้
1 0
特种橡胶制品
第 25 卷 第 4 期
关系 。 在非 线性有 限元 分析 模型 中 , 采用 Herrmann 不可压缩单 元来描述 橡胶的 不可压 缩行 为 , 这 些单 元 包 含 压力 自 由 度 及 位移 自 由 度 。 M ARC 大 型 有 限 元 通 用 程 序 中 提 供 M ooneyRivlin 模型和 Ogden 模型 , 根据材料试验的应力 -应变曲线或应力 -应变值 , 利用最小二乘法可 很容易地计算模型中的材料常数 , 并很方便地定 义材料模型 。 同时 , 用户还可以用子程序或表格 的形式灵活地定义材料应力 -应变关系 。
随着计算机性能价格比的提高以及大型非线 性有限元软件的发展 , 为橡胶制品的工程模拟提 供了广阔的发展前景 。利用大型非线性有限元软 件 , 从事轮胎 、空气弹簧及密封件等的研究越来越 多 , 但由于橡胶本构关系的非线性化 , 以及橡胶制 品在应用时的大变形 、接触非线性边界条件 , 使其 工程模拟变得非常困难 。 模拟结果的准确性 , 与 对所研究问题的简化程度 , 采用的橡胶本构关系 模型以及该模型中材料常数测试的准确性有密切 关系 。为此 , 本文以橡胶中常用的 M ooney-Rivlin 模型为例 , 对其材料常数(Rivlin 系数)的确定做 了探讨 。
析表 明 W I2
W I1
, 且 接近 于零(但 绝不 等于
2004 年
王 伟等 橡胶 Moo ney-Rivlin 模型中材料常数的确定
9
零), 采用不变量 I1 -3 作为应变能密度 W 的一
种 3 次方程 , 能够很好地描述炭黑填充胶料的弹
性力学行为 。如下式所述 :
W = C10(I 1 -3)+C 20(I1 -3)2 +
I1 = λ21 +λ22 +λ23
(2)
I2 =(λ1 λ2)2 +(λ2 λ3)2 +(λ3 λ1)2
(3)
若仅用 1 个参数描述 M ooney-Rivlin 模型 , 则称为 neo-Hookean M ooney-Rivlin 模型[ 1] , 方程 (1)变
成:
W = C10(I 1 -3)
3 结论
本文探讨了利用单向拉伸试验 , 获得 2 参数 M ooney-Rivlin 模型和 Yoeh 3 次方程材料常数的 方法 , 另外还提出其他几种简单易行的方法 。
随着人们对橡胶类材料本构关系的深入研究
分析 , 必将推动非线性有限元模拟分析在橡胶制 品设计中的应用 , 为进一步优化产品设计 , 提高产 品质量打下坚实的基础 。
±22 %。
2.1.2 利用剪切试验的应力 -应变曲线
利用一个单片或双片剪切试验得到的简单剪
切的应力 -应变曲线 , 在橡胶件的使用范围内从
曲线上选取一点就可得到剪切模量 , 则剪切模量
除以 2 就可以得到 C10 , 并取 C01 =0 则可定义一 个 neo-Hookean M ooney-Rivlin 材料模型 。
20 世纪 70 年代早期 , 随着大型商业有限元 分析软件 , 像 MARC 的出现 , 使得工程设计人员 对弹性 体构件的有限 元分析变成现 实 。 从那时 起 , 其 他 的 有 限 元 分 析 软 件 , 橡 ANSYS 和 ABAQ US 也加入一些用于分析弹性体类材料的 程序 。有限元分析法的可靠性已经被许多有限元 软件的开发者所证实 。
若采用 2 参数的 Mooney-Rivlin 模型 , 则(1)
式变成 :
W = C10(I 1 -3)+C 01(I2 -3)
(5)
式中 , C10 和 C01 为 Riv lin 系数 , 均为正定常数 。 对于大多数橡胶而言 , 在应变为 150 %以内时可
得到合理的近似 。 另外 , Yeoh[ 2] 对炭黑填充胶料的试验数据分
f illed rubber vulcanizat ion[ J] .Rubber Chemical and Technology , 1990 , 63(5):792 ～ 805. [ 3] Charlton D J , Yang J.A review of methods t o charact erize rubber elastic behavior for use in finite element analysis[ J] .Rubber Chemical and Technology , 1994 , 67(3):481 ～ 503. [ 4] Farhad Tabaddor.Elastic stability of rubber product s[ J] .Rubber Chemical and Technology , 1987 , 60(5):957 ～ 965. [ 5] G ent A N.Engineer w it h Rubber-How to Design Rubber Component s[ M ] .2000.259 ～ 275.
212利用剪切试验的应力应变曲线利用一个单片或双片剪切试验得到的简单剪切的应力应变曲线在橡胶件的使用范围内从曲线上选取一点就可得到剪切模量则剪切模量除以2就可以得到c10并取c010则可定义一个neohookeanmooneyrivlin材料模型
DO I :10.16574/j .cnki .issn1005 -4030.2004.04.003
2.1.1 利用橡胶的硬度
利用硬度计测得橡胶试 样的硬度 HA , 将其
代
入
E
(M
Pa)=1
5
.75 10
+2 .15 0 -HA
HA
和
C
10
=E6
,指
定 C 01 = 0 则 可 获 得 1 个 neo-Hookean
Mooney-Rivlin 材料模型 。如果 1 个典型弹性体的
可接受硬度范围是 70 ±5 邵 A(HA), 则杨氏模量 E 是 5 .76 ±1 .28MP a , 也就是材料模量的变化是
(8)
t1
-t2
=
2(λ21
-
λ22)(
W I1
+λ23
WI 2) (9)
t2
-t3
=
2(λ22
-
λ23)(
W I1
+λ21
WI 2)(10)
t3
-t1
=
2(λ23
-
λ21)(
W I1
+λ22
WI 2)(11)
式中 ,
W I1
,
W I2
分别为应变能
W
对 I 1 、I 2
的偏微
分 , t 为真实应力(与变形后尺寸有关的应力), 与
2.1.3 利用单轴拉伸试验得到的数据曲线
用一个标准 AST M412 单轴拉伸试验得到的
数据曲线 , 估计拉伸模量 E , 再按照前面提到第 1
种方法计算 C10 。 2.1.4 利用经验公式
如果分析人员仅仅有一个 C10 值 , 并想在模 型中包含一个非零的 C 01 , 则可用下面的方法 , 作 一个最佳猜测 。假定 C 01 = 0 .25C10 则求解下面 的方程就可得到 C 10 。
(4)
在 neo-Hookean Mooney-Rivlin 模型中 , 第 1
个系数等于剪切模量的一半 , 而第 2 个系数等于
0 , 这个材料模型中显示出剪切模量是一个常数 。
在单轴拉伸试验中 , 当应变不超过 40 %及在简单
剪切试验中应变不超过 90 %, 此模型与试验数据
具有很好的一致性 。
tij =
W I1
I1 γij
+
W I2
I2 γij
+
W I3
I3 γij
(7)
对于橡胶类 近似不可压缩材 料 , I3 = 1 , 因此由
(7)式可得橡胶材料主应力 t i 与其主伸长比 λi 之
间的关系为 :
ti =2(λ2i
W I1
+λ12i
WI 2)+P
式中 , P 为任意流体静水压力 。
由(8)式可得 3 个主应力差 :
1 Mooney-Rivlin 模型
确定弹性体材料的非线性特性是困难的 , 但 基于应变能密度用于大弹性变形的几种本构理论 已经发展起来 , 并已用于超弹性材料 。 这些本构 方程主要有 2 类 :第 1 类认为应变能密度是主应 变不变量的一个多项式函数 。 当材料是不可压缩
收稿日期 :2004 -04 -21 作者简介 :王 伟(1971 -), 男 , 工 程师 , 毕 业于青 岛科技 大学 ,
硕士 , 主要从事轮胎和橡胶制品有限元分析及应用研究。 联 系 人 :赵树高
时 , 这个材料模型通常被称作 Rivlin 材料 。 如果 仅仅一次项被采用 , 模型被称为 Mooney-Rivlin 材 料 。 第 2 类认为应变能密度是 3 个主伸长率的独 立函数 。 如 Ogden , Peng 和 Peng-Landel 材料模 型。
可压缩材料 , E
=
9K G 3K +G
。
另外 , 还 有几种快速 有效的方 法来获取
Mooney-Rivlin 常数 , 而不必进行昂贵的测试或曲 线拟合试验数据[ 5] 。 在许多情况下 , 这些方法中
的某 一个应用是很好的 。 这些方 法都基于 2 个
Mooney-Rivlin 材料系数的 2 倍 , 即 G =2(C10 + C01)和杨氏模量的值近似等于 3 倍的剪切模量 。
6(C10 +C01)=E , 因此 6(C 10 +0 .25 C10)=
E ,则
C 10
=6
E ×1
.25
。
2.2 Yeoh 3 次方程材料常数的确定
对仅用第 1 应变不变量表示的 Yeoh 3 次方
程 , 单轴拉伸试验的应力 -应变关系如下 :
σ λ-λ-2
= C10
+4C20(I 1 -3)+
C30(I 1 -3)3
(6)
式中 , C 10 , C 20 , C 30 均为 Rivlin 系数 , 可由单轴拉
伸试验来确定 。
2 材料常数的试验测试与确定
在弹 性 体 非 线 性 有 限 元 分 析 中 , M ooneyRivlin 应变能函数是广泛应用的本构关系[ 3, 4] 。
由 K irchof f 应力张 量 tij 和 G reen 应变张量 γij 之间的关系 , 可得到 :
第 25 卷 第 4 期
特种橡胶制品
2004 年 8 月
Special Purpose Rubber P roducts
Vol .25 No .4 August 2004
橡胶 Mooney-Rivlin 模型中材料常数的确定
王 伟 , 邓 涛 , 赵树高
(青岛科技大学 高分子科学与工程学院 , 青岛 266042)
摘 要 :介绍了在用非线性有限元对橡胶制品进行分析时 , 橡胶类材料常用 M ooney-Rivlin 模型中材料常 数确 定的几种方法 。 关键词 :橡胶 ;Moo ney-Rivlin 模型 ;非线性有限元 ;材料常数 中图分类号 :T Q 330.1 文献标识码 :A 文章编号 :1005-4030(2004)04 -0008 -02