广西壮族自治区南宁市第十四中学2021-2022学年高二数学理月考试题含解析

广西壮族自治区南宁市第十四中学2021-2022学年高二数学理月考试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 下列变量关系是相关关系的是
①学生的学习态度与学习成绩之间的关系；
②老师的执教水平与学生的学习成绩之间的关系；
③学生的身高与学生的学习成绩的关系；
④家庭的经济条件与学生的学习成绩之间的关系．
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
参考答案：
A
略
2. 已知直线的点斜式方程是，那么此直线的斜率为( )
A．B．C．D．1
参考答案：
D
3. 设a > b > c，n∈N，且+≥恒成立，则n的最大值为（）
（A）2（B）3 （C）4（D）5
参考答案：
C
4. 一个体积为12的正三棱柱的三视图如图所示，则这个三棱柱的侧视图的面积为（）A．6B．8 C．8D．12
参考答案：
A
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题．
【分析】此几何体是一个正三棱柱，正视图即内侧面，底面正三角形的高是，由正三角形的性质可以求出其边长，由于本题中体积已知，故可设出棱柱的高，利用体积公式建立起关于高的方程求高，再由正方形的面积公式求侧视图的面积即可．
【解答】解：设棱柱的高为h，
由左视图知，底面正三角形的高是，由正三角形的性质知，其边长是4，
故底面三角形的面积是=4
由于其体积为，故有h×=，得h=3
由三视图的定义知，侧视图的宽即此三棱柱的高，故侧视图的宽是3，其面积为3×=
故选A
【点评】本题考点是简单空间图形的三视图，考查根据作三视图的规则几何体的直观图的能力以及利用体积公式建立方程求参数的能力，三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．
5. 已知i为虚数单位，复数z满足，则z=（）
A．－i B．C．i D．
参考答案：
A
由题意，复数，则，故选A.
6. 直线（t为参数）的倾斜角为（）
A.30°
B. 60°
C. 120°
D. 150°
参考答案：
B
直线参数方程方程（t为参数）的斜率，
则题中直线的斜率，
则直线的倾斜角为60°.
7. 设A，B互为对立事件，且P（A）=0.3，则P（B）为（）
A．0.2 B．0.3 C．小于0.7 D．0.7
参考答案：
D
【考点】互斥事件与对立事件．
【分析】利用对立事件概率计算公式求解．
【解答】解：∵A，B互为对立事件，且P（A）=0.3，
∴P（B）=1﹣P（A）=1﹣0.3=0.7．
故选：D．
8. 从椭圆上一点向轴作垂线,垂足恰为右焦点,是椭圆与轴负半轴的交点,是椭圆与轴正半轴的交点,且(是坐标原点),则该椭圆的离心率是
A．B．C．D．参考答案：
D
9. 设S n为数列{a n}的前n项和，a3=6且S n+1=3S n，则a1+a5等于（）
A．12 B．C．55 D．
参考答案：
C
【考点】数列递推式．
【分析】S n+1=3S n，可得数列{S n}为等比数列，公比为3．可得．利用递推关系即可得出．
【解答】解：∵S n+1=3S n，∴数列{S n}为等比数列，公比为3．
∴．
∴a3=S3﹣S2==6，解得S1=1=a1．
∴S n=3n﹣1．
∴a5=S5﹣S4=34﹣33=54．
∴a1+a5=55．
故选：C．
10. 点()在圆x+y－2y－4=0的内部，则的取值范围是（）
A．－1<<1 B． 0<<1 C．–1<< D．－<<1
参考答案：
D
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 已知直线与双曲线的两条渐近线分别交于A、B两点，若（O 为坐标原点）的面积为，且双曲线C的离心率为，则m=__________．
±1 【分析】
由双曲线的渐近线方程是，联立方程组，求得的坐标，求得，
再由双曲线的离心率为，得，求得，再利用面积公式，即可求解.
【详解】由双曲线，可得渐近线方程是，
联立，得；联立，得，故，
又由双曲线的离心率为，所以，得，
所以，故，解得.
【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记双曲线的几何性质，准确运算求得
是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.
12. 过双曲线x 2
－的右焦点作直线交双曲线于A 、B 两点，且，则这样的直线有
___________条。

参考答案：
3
13. 已知，则的最大值是
.
参考答案：
略
14. 已知函数
,若都是从区间任取的一个数，则成立的概率
是_______________． 参考答案：
15. 若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2003+a 2004＞0，a 2003?a 2004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是 ．
参考答案：
4006
【分析】由已知条件推导出a 20140，S 4006=
，
＜0，由
此能求出使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n=4006．
【解答】解：∵数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2003+a 2004＞0，a 2003?a 2004＜0， ∴a 20140，
∴a 1+a 4005=2a 2013＞0， a 1+a 4007=2a 2014＜0，
∴a 1+a 4006=a 2003+a 2004＞0， ∴S 4006=
， ＜0，
使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n=4006． 故答案为：4006．
【点评】本题考查使得等差数列的前n 项和取得最大值的项数n 的值的求法，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用．
16. 若圆x 2+y 2=4 与圆x 2+y 2﹣2mx+m 2﹣1=0相外切，则实数m= ．
参考答案：
±3
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】先求出圆的圆心和半径，根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，求得m 的值． 【解答】解：圆x 2+y 2=4 的圆心为（0，0）、半径为2；圆x 2+y 2﹣2mx+m 2﹣1=0，即（x ﹣m ）2+y 2=1，
表示圆心为（m ，0）、半径等于1的圆．
根据两圆相外切，可得圆心距等于半径之和，即|m|=2+1=3，求得m=±3， 故答案为：±3．
17. 正四面体相邻两个面所成二面角的平面角的余弦值等于____________。

略
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知公差大于零的等差数列的前n项和为，且满足：，．（1）求数列的通项公式；
（2）若数列是等差数列，且，求非零常数c；
（3）在（2）的条件下，设，已知数列为递增数列，求实数的取值范围.参考答案：
（1）（2）（3）
(1)由得，解得或19. 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为18000cm2,四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm，怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？
参考答案：
略
20. 计算，写出算法的程序.参考答案：
s=1
n=2
i=1
WHILE i＜=63
s=s+n∧i
i=i+1
WEND
PRINT “1+2+2∧2+2∧3+…+2∧63=”；s
END
无
21. 如图，A，B是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于A点北偏东，B 点北偏西的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西且与B点相距海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？
参考答案：
由题意知海里，
在中，由正弦定理得
=（海里），
又海里，
在中，由余弦定理得
22. 设M、N为抛物线C：上的两个动点，过M、N分别作抛物线C的切线，与x轴分别交于
A、B两点，且相交于点P，若|AB|＝1.
(1)求点P的轨迹方程；
(2)求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值．
参考答案：
略。