高中数学1.2简单的逻辑联结词不作要求1.3.1量词1.3.2含有一个量词的命题的否定课件苏教版选修2_1

(2)写出下列命题的否定，并判断其真假： ①p：∀x∈R，x2－x＋14≥0； ②p：所有的正方形都是菱形； ③p：至少有一个实数 x，使 x3＋1＝0. [思路探究] 先判定命题是全称命题还是存在性命题，再针对不 同的形式加以否定．
(1)D [原命Fra Baidu bibliotek的否定为∃x∈R，x2＝x，故选 D.] (2)[解] ①綈 p：∃x∈R，x2－x＋14<0，假命题． 因为∀x∈R，x2－x＋14＝x－122≥0 恒成立． ②綈 p：至少存在一个正方形不是菱形，假命题．
[提示] (1)是存在性命题，可改写为“∃x∈R，使 ax2＋2x＋1＝ 0”
(2)是全称命题，可改写成：“∀x∈R，(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m －1)<0”．
3．全称命题和存在性命题的否定
1．下列命题中为全称命题的是( ) A．至少有一个自然数是 2 的倍数 B．存在小于零的整数 C．方程 3x＝2 有实数根 D．无理数是小数 D [D 中“ 无理数” 指的是所有的无理数．]
2．(1)命题“∃x∈(0，＋∞)，ln x＝x－1”的否定是( ) A．∀x∈(0，＋∞)，ln x≠x－1 B．∀x∉(0，＋∞)，ln x＝x－1 C．∃x∈(0，＋∞)，ln x0≠x0－1 D．∃x∉(0，＋∞)，ln x0＝x0－1 A [存在性命题的否定是全称命题，故原命题的否定是∀x∈(0， ＋∞)，ln x≠x－1.]
1．判断命题是全称命题还是存在性命题的方法 (1)分析命题中是否含有量词； (2)分析量词是全称量词还是存在量词； (3)若命题中不含量词，要根据命题的意义去判断．
2．全称命题与存在性命题真假的判断方法 (1)要判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合 M 中 每个元素 x，证明 p(x)都成立；如果在集合 M 中找到一个元素 x，使 得 p(x)不成立，那么这个全称命题就是假命题． (2)要判定存在性命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只需在集合 M 中找到一个元素 x，使 p(x)成立即可；如果在集合 M 中，使 p(x)成立 的元素 x 不存在，那么这个存在性命题就是假命题．
4．对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题： (1)确定命题类型，是全称命题还是存在性命题． (2)改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为 恰当的全称量词． (3)否定结论：原命题中的“是”“有”“存在”“成立”等分别 改为“不是”“没有”“不存在”“不成立”等． (4)无量词的全称命题要先补回量词再否定．
2．下列语句是存在性命题的是( ) A．整数 n 是 2 和 7 的倍数 B．存在整数 n，使 n 能被 11 整除 C．x＞7 D．∀x∈M，p(x)成立 B [B 选项中有存在量词“ 存在” ，故 B 项是存在性命题，A 和 C 不是命题，D 是全称命题．]
3．下列四个命题中的真命题为( ) A．∃x∈Z,1<4x<3 B．∃x∈Z,5x＋1＝0 C．∀x∈R，x2－1＝0 D．∀x∈R，x2＋x＋2>0 D [当 x∈R 时，x2＋x＋2＝x＋122＋74>0，故选 D.]
注意到当 Δ＝1＋4m＜0 时，即 m＜－14时，一元二次方程没有实 数根，所以綈 p 是真命题．
②这一命题的否定形式是綈 q：“对所有的实数 x，都有 x2＋x＋ 1＞0”，利用配方法可以证得綈 q 是真命题．
③这一命题的否定形式是綈 r：“存在一对等圆，其面积不相等 或周长不相等”，由平面几何知识知綈 r 是假命题．
2.能判定全称命题和存在性命题的真假．(难点) 2.借助含量词的命
3.了解对含有一个量词的命题的否定的意义，能 题的真假求参数问
正确地对含有一个量词的命题进行否定．(易错 题，提升数学运算
点)
素养.
自主预习 探新知
1．全称量词和全称命题
“_所__有__”、“_任__意__”、“_每__一__个__”等表示全体的 全称量词
对于选项 C，x2＋x＋1＝x＋122＋34>0，∴x2＋x＝－1 对任意实数 x 都不成立，∴此命题不成立；
对于选项 D，当 x∈π2，π时，tan x<0，sin x>0，命题显然不成立．故 选 B.]
含有一个量词的命题的否定
【例 2】 (1)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是( ) A．∀x∉R，x2≠x B．∀x∈R，x2＝x C．∃x∉R，x2≠x D．∃x∈R，x2＝x
1．(1)以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是( ) A．锐角三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数 x，使 x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 D．存在一个负数 x，使1x>2
B [A 中锐角三角形的内角是锐角或钝角是全称命题；B 中 x＝0 时，x2＝0，所以 B 既是存在性命题又是真命题；C 中因为 3＋(－ 3) ＝0，所以 C 是假命题；D 中对于任一个负数 x，都有1x<0，所以 D 是 假命题．]
当 t＝12时，f(t)min＝－14， 则函数 f(t)的值域是－14，＋∞， 所以实数 a 的取值范围是－14，＋∞.
母题探究：1.若将本例题(2)条件“∃x∈R”，改为“ ∃x∈ [0,1]”，其他不变，试求实数 a 的取值范围．
[解] 设 3x＝t，x∈[0,1]，∴t∈[1,3]． a＝t2－t， ∵t2－t＝t－122－14，∴a＝t2－t 在 t∈[1,3]上单调递增． ∴t2－t∈0，6. 即 a 的取值范围是0，6.
4．已知命题 p：∀x∈R，sin x≤1，则命题 p 的否定是________． ∃x∈R，sin x＞1 [命题 p 是全称命题，其否定应为存在性命题， 即綈 p：∃x∈R，sin x＞1.]
合作探究 提素养
两种命题的概念及真假判断 【例 1】 指出下列命题是全称命题还是存在性命题，并判断它 们的真假． (1)∀x∈N,2x＋1 是奇数； (2)存在一个 x∈R，使x－1 1＝0； (3)能被 5 整除的整数末位数是 0； (4)有一个角 α，使 sin α>1
(2)写出下列命题的否定，并判断其真假． ①p：不论 m 取何实数，方程 x2＋x－m＝0 必有实数根； ②q: 存在一个实数 x，使得 x2＋x＋1≤0； ③r：等圆的面积相等，周长相等； ④s：对任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
[解] ①这一命题可以表述为 p：“对所有的实数 m，方程 x2＋x －m＝0 有实数根”，其否定形式是綈 p：“存在实数 m，使得 x2＋x －m＝0 没有实数根”．
1．判断命题是全称命题还是存在性命题，主要是看命题中是否 含有全称量词或存在量词，有些全称命题不含全称量词，可以根据命 题涉及的意义去判断．
2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素 都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．
3．要确定一个存在性命题是真命题，举出一个例子说明该命题 成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该存 在性命题是假命题．
应用两种命题求参数范围的两类题型 1．全称命题的常见题型是“恒成立”问题，全称命题为真时， 意味着命题对应的集合中的每一个元素都具有某种性质，所以可以利 用代入体现集合中相应元素的具体性质中求解；也可以根据函数等数 学知识来解决．
2．存在性命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存 在”“不存在”“是否存在”等语句表述．解答这类问题，一般要先 对结论作出肯定存在的假设，然后从肯定的假设出发，结合已知条件 进行推理证明，若推出合理的结论，则存在性随之解决；若导致矛盾， 则否定了假设．
[解] (1)是全称命题，因为∀x∈N,2x＋1 都是奇数，所以该命题 是真命题．
(2)是存在性命题．因为不存在 x∈R，使x－1 1＝0 成立，所以该命 题是假命题．
(3)是全称命题．因为 25 能被 5 整除，但末位数不是 0，因此该 命题是假命题．
(4)是存在性命题，因为∀α∈R，sin α∈[－1,1]，所以该命题是假 命题．
③綈 p：∀x∈R，x3＋1≠0，假命题． 因为 x＝－1 时，x3＋1＝0.
对全称命题和存在性命题进行否定的步骤与方法 1．确定类型：是存在性命题还是全称命题． 2．改变量词：把全称量词换为恰当的存在量词；把存在量词换 为恰当的全称量词． 3．否定结论：原命题中“是”“有”“存在”“成立”等改为 “不是”“没有”“不存在”“不成立”等． 提醒：无量词的全称命题要先补回量词再否定．
【例 3】 (1)若命题 p“∃x∈R,2x2－3ax＋9<0”为假命题，则实 数 a 的取值范围是________．
(2)已知命题 p：∃x∈R,9x－3x－a＝0，若命题 p 是真命题，求实 数 a 的取值范围．
[思路探究] (1)先求綈 p，再求参数的取值范围．
(2)令 3x＝t，看作一元二次方程有解问题．
符号表示
_∃___
存在性命题
含有_存__在__量__词___的命题称为存在性命题
符号表示
_∃__x_∈__M__，__p_(_x)___
思考：(1)“一元二次方程 ax2＋2x＋1＝0 有实数解”是存在性命 题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
(2)“不等式(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)<0 对任意实数 x 恒成 立”是存在性命题还是全称命题？请改写成相应命题的形式．
第1章 常用逻辑用语
1.2 简单的逻辑联结词(不作要求) 1.3 全称量词与存在量词 1.3.1 量 词
1.3.2 含有一个量词的命题的否定
学习目标
核心素养
1.理解全称量词与存在量词的意义，能准确地利 1.通过对含有量词
用全称量词和存在量词叙述简单的数学内
的命题的否定，培
容．(重点)
养逻辑推理素养．
④这一命题的否定形式是綈 s：“存在 α∈R，sin2α＋cos2α≠1”， 由于命题 s 是真命题，所以綈 s 是假命题.
由命题的真假确定参数的范围 [探究问题] 1．若含参数的命题 p 是假命题，如何求参数的取值范围？ 提示：先求綈 p，再求参数的取值范围． 2．全称命题和存在性命题与恒成立问题和存在性问题有怎样的 对应关系？ 提示：全称命题与恒成立问题对应，存在性命题与存在性问题对 应．
量词在逻辑中称为全称量词
符号表示
_∀___
全称命题
含有_全__称__量__词__的命题称为全称命题
符号表示
_∀__x_∈__M__，__p_(x_)__
2．存在量词和存在性命题 “_有__一__个___”、“_有__些__”、“_存__在__一__个___”等
存在量词 表示部分的量词在逻辑中称为存在量词
(1) [－2 2，2 2] [綈 p：∀x∈R,2x2－3ax＋9≥0 为真命题．
则 Δ＝9a2－72≤0，解得－2 2≤a≤2 2] (2)解：设 3x＝t，由于 x∈R，则 t∈(0，＋∞)， 则 9x－3x－a＝0⇔a＝(3x)2－3x⇔a＝t2－t，t∈(0，＋∞)， 设 f(t)＝t2－t，t∈(0，＋∞)， 则 f(t)＝t－122－14，
2．将本例题(2)换为“∀x∈0，π4，tan x≤m 是真命题”，试求 m 的最小值．
[ 解 ] 由 已 知 可 得 m≥tan x x∈0，π4 恒 成 立 ． 设 f(x) ＝ tan
xx∈0，π4，显然该函数为增函数，故 f(x)的最大值为 fπ4＝tan π4＝1， 由不等式恒成立可得 m≥1，即实数 m 的最小值为 1.
(2)下列命题中，真命题是( ) A．∃x∈0，π2，sin x＋cos x≥2 B．∀x∈(3，＋∞)，x2>2x＋1 C．∃x∈R，x2＋x＝－1 D．∀x∈π2，π，tan x>sin x
B [(1)对于选项 A， sin x＋cos x＝ 2sinx＋4π≤ 2，∴此命题不成立； 对于选项 B，x2－2x－1＝(x－1)2－2，当 x>3 时，(x－1)2－2>0， ∴此命题成立；