黑龙江省佳木斯市第一中学2021-2022学年高一下学期期中数学试题

佳木斯一中2021—2022学年度第二学期期中考试
高一数学试题
（时间：120分钟总分：150分）
I 卷（共60分）
一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选中，只有一项是符合要求的）
1．北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎，现工厂决定从20只“冰墩墩”，15只“雪容融”和10个北京2022年冬奥会会徽中，采用比例分配分层随机抽样的方法，抽取一个容量为n 的样本进行质量检测，若“冰墩墩”抽取了4只，则n 为（）
A ．3
B ．2
C ．5
D ．9
2．如图，在△ABC 中，3AB AD =，CE ED =，设AB a = ，AC b = ，则AE = （
）A ．1132a b + B ．1142a b
+ C ．1152a b + D ．1162
a b + 3．已知向()2,1a = ，()4,3b =- ，若a 与a b l +
垂直，则实数λ的值为（
）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
4．不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色小球各2个，一次任意摸出2个小球，则与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件有（）
A ．2个小球不全为红色
B ．2个小球恰有一个红色
C ．2个小球至少有一个红色
D ．2个小球不全为绿色
5．
第四届数字中国建设峰会将于2021年4月25日至26日在福州举办，福州市以此为契机，加快推进“5G +光网”双千兆城市建设.如图，某县区域地面有四个5G 基站A ，B ，C ，D .
已知C ，D 两个基站建在江的南岸，距离为；基站A ，B 在江的北岸，测得
75ACB ∠=︒，120ACD ∠=︒，30ADC ∠=︒，45ADB ∠=︒，则A ，B 两个基站的距离为（）
A ．
B ．
C ．15km
D ．
6．已知复数z 满足|2|1-+=z i ，则||z 的最小值为（）
A 1
B 1
C 1
-D 1
7．四名同学各掷骰子4次，记录每次骰子出现的点数并分别对每位同学掷得的点数进行统计处理，在四名同学以下的统计结果中，可以判断该同学掷出的骰子一定没有出现点数1的是（
）
A ．平均数为3，众数为4
B ．平均数为4，中位数为3
C ．中位数为3，方差为2.5
D ．平均数为3，方差为2.5
8．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且AO AB AC +=，AO AC = ，则向量BA
在向量BC 上
的投影向量为（）A ．14
BC B ．12
BC C ．14
BC - D ．12
BC - 二．选择题（共4小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，有多项是符合要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错的得0分）
9．新中国成立至今，我国一共进行了7次全国人口普查，历次普查得到的全国人口总数如图1所示，城镇人口比重如图2所示．下列结论正确的有（
）
A ．与前一次全国人口普查对比，第五次总人数增长量高于第四次总人数增长量
B ．对比这7次全国人口普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增
C ．第三次全国人口普查城镇人口数量低于2亿
D ．第六次全国人口普查城镇人口数量超过第二次全国人口普查总人口数
10．有一组样本数据12,,,n x x x 的平均数为x ，方差为2s ，则下列说法正确的是（）
A ．设a ∈R ，则样本数据1ax ，2ax ，…，n ax 的平均数为ax
B ．设a ，b ∈R ，则样本数据1ax b +，2ax b +，…，n ax b +的标准差为22a s
C ．样本数据21x ，22x ，…，2n x 的平均数为2
x D ．2
22
1
1n i i s x x
n ==-∑11
．已知复数1i 22
z =-（i 为虚数单位）
，则下列说法正确的是（）
A ．31z =
B ．2
z z =C ．210
z z ++=D ．2202110
z z z ++++= 12．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且π
3
C ∠=，c =2．则下列结论正确（
）
A ．△ABC
B ．A
C AB ⋅
的最大值为2C
．cos cos b A a B +=D ．cos cos B
A
的取值范围为)
∞∞
⎛-⋃+ ⎝⎭
Ⅱ卷（共90分）
三、填空题（共4道题，每题5分，共20分）
13．若随机事件A 、B 互斥，A ，B 发生的概率均不等于0，且()2P A a =-，()45P B a =-，则实数a 的取值范围是______．
14
．已知向量(2,1),10,a a b a b =⋅=+=
b = ________.
15．已知某班男女同学人数之比为5：4，该班所有同学进行踢毽子比赛，比赛规则如下：每个同学用脚踢起毽子，在毽子落地前用脚接住并踢起，脚没有接到毽子则比赛结束．现记录了每个同学用脚踢起毽子开始到毽子落地，脚踢到毽子的次数，已知男同学用脚踢到毽子次数的平均数为21，方差为17，女同学用脚踢到毽子次数的平均数为12，方差为17，那么全班同学用脚踢到毽子次数的平均数为______，方差为______.
16．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 23cos 10B B --=．若角B 的角平分线交线段AC 于点D ，且BD =3，AD =3DC ，则AC 长为______.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．已知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，其中i 为虚数单位．(1)求,p q 的值；
(2)记复数i z p q =+，求复数
1i
z
+的模．18．袋中有9个大小相同颜色不全相同的小球，分别为黑球、黄球、绿球，从中任意取一球，得到黑球或黄球的概率是59
，得到黄球或绿球的概率是2
3，试求：
(1)从中任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？
(2)若从其中的黑球和黄球中有放回的任取两个球，得到的两个球颜色不相同的概率是多少？
19．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，sin sin 2
B C
b a B +=，3BC =，如图所示，点D 在线段AC 上，满足AB AD =.
（1）求A 的值；
（2）若2BD CD =，求AB CB ⋅
的值.
20．某超市有甲、乙两家分店，为调查疫情期间两家分店的销售情况，现随机抽查了上个年度两家店20天的日销售额（单位：万元），分别得到甲、乙两家分店日销售额的频率分布直方图如下：
(1)比较甲乙两店日销售额的平均数的大小（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：(2)若规定分店一年（按360天计算）中日销售额不低于55万的天数不少于120天为运转良好，请结合上图，分析甲店上个年度运转是否良好？
(3)如果你是投资决策者，你更愿意在哪家店投资，请你根据所学的统计知识，说明你的理由．（不需要计算，只需要说清楚理由）
21．2021年起，部分省实行“3+1+2”高考新模式，为让学生适应新高考赋分模式，某校在一次模拟考试中，使用赋分制对选考化学的学生的化学成绩进行赋分，赋分的方案如下：先按照学生的原始分数从高到低排位，按比例划分A 、B 、C 、D 、E 共五个等级，然后在相应的区间内，利用转换公式进行赋分．等级排名占比与赋分区间如下表：
等级A B C D E 等级排名占比15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间
[]86,100[]71,85[]56,70[]41,55[]
30,40现从全年级选考化学的学生中随机抽取100名学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布表为：分组[)
40,50[)
50,60[)
60,70[)
70,80[)
80,90[]
90,100频率
0.10
0.15
0.15
a
0.25
0.05
（1）求表中a 的值；
（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次化学成绩原始不少于多少分才能达到赋分后的C 等级以上（含C 等级）？（结果保留整数）
（3）若采用样本量比例分配的分层随机抽样，从原始成绩在[)40,50与[)50,60内学生中抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰好有1人原始成绩在[)40,50内的概率．
22．在①2
sin sin 1sin sin B C a C B cb
+-=
，②cos (2)cos 0a B b c A +-=cos sin 2B C a C +=．这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且______.
(1)求角A 的值；
(2)若2c =，5b =．AB ，AC 边上的两条中线CM ，BN 相交于点P ，求cos MPN ∠．注：若选择多个条件分别作答，按第一个解答计分
1．D 【分析】
利用分层抽样中的比例列出方程，求出答案.【详解】
4
20151020
n =++，解得：9
n =故选：D 2．D 【分析】
根据向量的加法法则，即可求解.【详解】
解：由题意得：11111112223262
AE AD AC AB AC a b =+=⨯+=+
，
故选：D.3．A 【分析】
应用向量线性运算的坐标表示a b l +
，再由向量垂直的坐标表示有550λ+=，即可求λ值.
【详解】
由题设，(24,13)a λb λλ+=+-
，
a 与a
b l + 垂直，则2(24)(13)550λλλ++-=+=，可得1λ=-.
故选：A 4．B 【分析】
对于A 两个事件是对立的事件，故A 错误；对于B ，两个事件是互斥而不对立的，故B 正确；对于C ，两个事件不是互斥事件，故C 错误；对于D ，两个事件可以同时发生，不互斥，故D 也错误.【详解】
一个口袋内装有大小、形状相同的红色、绿色和蓝色小球各2个，一次任意取出2个小球，对于A ，2个小球不全为红球与事件“2个小球都为红色”是对立的事件，故A 错误；对于B ，2个小球恰有1个红球与事件“2个小球都为红色”互斥而不对立的事件，故B 正确；对于C ，2个小球至少有1个红球与事件“2个小球都为红色”能同时发生，不是互斥事件，
故C 错误；
对于D ，2个小球不全为绿球与事件“2个小球都为红色”是可以同时发生的事件，不是互斥事件，故D 错误．故选：B ．5．D 【分析】
ACD 中求出AD ，BCD △中由正弦定理求得BD ，ABD △中，由余弦定理求得AB ．
【详解】
ACD 中，120ACD ∠=︒，30ADC ∠=︒，则30CAD ∠=︒，AC CD ==
2cos3030AD CD =︒=，
BCD △中，1207545BCD ∠=︒-︒=︒，180********CBD ∠=︒-︒-︒-︒=︒，
由正弦定理
sin sin CD BD CBD BCD =∠∠sin 45BD =︒
，BD =ABD △中，由余弦定理得22230230cos 45500AB =+-⨯⨯︒=，
AB =故选：D ．6．A 【分析】
设z a bi =+，由题意求出,a b 的关系式，由圆的性质可求出||z 的最小值.【详解】
解：设z a bi =+，则()2211a bi i a b i +-+=-++=
，
由()()22
211x y -++=，表示为以()2,1-为圆心，1为半径的圆，
1-，
因为z =1，
故选:A.【点睛】
本题考查了复数模的求解，考查了转化的思想.本题的关键是将模的最值转化为圆上点到原定距离的最值问题.
7．B 【分析】
依据数字特征的定义，依次对选项验证即可．【详解】
对于选项A ，1，3，4，4符合条件，故A 错，
对于选项B ，平均数为4,中位数为3,则中间两数的和为6，所以第一个数和最后一个数的和为10，而最大数为6，所以第一个数为4，显然不可能出现1，故B 对；对于选项C ，1，2，4，5,中位数
2432
+=，平均数为()1
124534+++=，方差
()()()()2222
113234353 2.54
⎡⎤-+-+-+-=⎣⎦，为符合条件，故C 错；对于选项D ，1，2，4，5，由C 知，符合条件，故D 错.故选：B 8．B 【分析】
由题意作出符合题意的图形，判断出OBAC 为菱形,直接得到向量BA
在向量BC 上的投影向
量.【详解】如图示：
因为△ABC 的外接圆圆心为O ，AO AB AC
+=，AO AC = ，
所以AO AC CO ==
,所以△AOC 为等边三角形，所以OBAC 为菱形，
所以OA BC ⊥.
所以向量BA 在向量BC 上的投影向量为12
BC .故选：B 9．AB
【分析】
从图1和图2数据出发，计算出相应的量，判断四个选项.【详解】
从图1可以看出，第五次总人数增长量为126583-113368=13215（万人），第四次总人数增长量为113368-100818=12550（万人），故A 正确；
从图2可以看出这7次全国人口普查的结果，我国城镇人口数量逐次递增，B 正确；从图1和图2可以得到，第三次全国人口普查城镇人口数约为010081820.91200000⨯>（万人），C 错误；
从图1和图2可以得到，第六次全国人口普查城镇人口数约为013397249.68694580⨯<（万人），D 错误故选：AB 10．AD 【分析】
A 选项，利用平均数计算公式进行元素；
B 选项，利用求方差公式求解公差，进而求出标准差；
C 选项，举出反例；
D 选项，利用求解方差公式推导出答案.【详解】
A 选项，由题意得：12n x x x x n +++= ，则
12n
ax ax ax ax n
+++= ，A 正确；
B 选项，数据1ax b +，2ax b +，…，n ax b +的平均数为ax b +，
所以
()()()222
12n ax b ax b ax b ax b ax b ax b n
+--++--+++-- ()()()
2
2
2
21222n a x x x x x x a s n
-+-++-=
= ，则标准差为as ，B 错误；
C 选项，可以举出反例，比如1,2,3的平均数为2，而1,4,9的平均数为
143
，显然样本数据2
1x ，22x ，…，2n x 的平均数不一定是x ，故C 错误；
D 选项，()()
22
2221111
11122n n n n i i i i i i i i i x s x x x x x x x x x
n n n n =====-=-+=-+∑∑∑∑222
2211
112n n i i i i x x x x x n n ===-+=-∑，D 正确.故选：AD
11．ACD
【分析】
根据复数的运算法则直接运算即可．【详解】
1
22z =-+，2
21122z z ⎛⎫=-+=--≠ ⎪ ⎪⎝⎭
，故B 错误；
3211i 122z z z ⎛⎫⎛⎫=⋅=--= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，
故A 正确；
21111022z z ++=---++=，故C 正确；()6732021322z z z z =⋅=，210z z ++=，
()345322110z z z z z z z z ++=++=++=，
()
220212167410z z z z z +++⋅⋅⋅+=++=，故D 正确．故选：ACD ．
12．AB
【分析】
A 选项，利用余弦定理和基本不等式求解面积的最大值；
B 选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得22
42
b a AC AB +-⋅= ，利用正弦定理和三角恒等变换得到
22π26b a B ⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭，结合B 的取值范围求出最大值；C 选项，利用正弦定理进行求
解；D 选项，用()cos cos B A C =-+进行变换得到
cos 1cos 2B A A =-，结合A 的取值范围得到cos cos B A
的取值范围.【详解】由余弦定理得：2241cos 22
a b C ab +-==，解得：224a b ab +=+，由基本不等式得：2242a b ab ab +=+≥，当且仅当a b =时，等号成立，
所以4ab ≤
，故1sin 2
ABC S ab C =≤ A 正确；22222
4cos 22
b c a b a AC AB AC AB A bc bc +-+-⋅=⋅=⋅= ，
其中由正弦定理得：2πsin sin sin 3
a b A B ===所以()
22222216162πsin sin sin sin 333b a B A B B ⎡⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦4π1cos 2161cos 2π323226B B B ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥-⎛⎫⎝⎭⎢⎥-=-- ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，因为2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ7π2,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，
故22π26b a B ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭
最大值为3，222224cos 22b c a b a AC AB AC AB A bc bc +-+-⋅=⋅=⋅=
的最大值为2B
正确；
)(
)cos cos sin cos sin cos 2b A a B B A A B A B C +=+=+==，故C
错误；
π1cos cos cos 1322tan cos cos cos 22
A A A
B A A A A ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭===-，因为2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，所以(()tan ,0,A ∞∞∈-⋃+，
()11,2,22A ∞∞⎛⎫-∈--⋃-+ ⎪⎝⎭
，D 错误.故选：AB
【点睛】
三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解.
13．54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦
【分析】
由互斥事件的性质，列不等式组求a 的范围.
【详解】
由题意，()()()()01011P A P B P A P B ⎧<<⎪<<⎨⎪+≤⎩
，即021*******a a a <-<⎧⎪<-<⎨⎪-≤⎩，解得5443a <≤．故答案为：54,43⎛⎤ ⎥⎝⎦
14．5
【分析】
由a b += 22250a a b b +⋅+= ，结合题意，即可求解.
【详解】
由题意，向量(),2,110a a b =⋅= ，可得25a = ，
又由a b += ，则22222521050a b a a b b b +=+⋅+=+⨯+= ，可得225b = ，所以5b = .
故答案为：5
15．1737
【分析】
设男女生分别有5,4a a 人，利用平均数的求法求全班的()E X ，再由22()()()E X E X D X -=求出男女生对应2()E X 值，进而求全班的方差.
【详解】
设男女生分别有5,4a a 人，则全班同学用脚踢到毽子次数的平均数为
21512415317549
a a a a ⨯+⨯==+，对于男生，5221
121175a i i x a =-=∑；对于女生，4221112174a i i y a =-=∑；所以5214585a i i x a ==⨯∑，4211614a
i i y a ==⨯∑，而全班同学用脚踢到毽子次数的方差为5422211
1()17379a a i i i i x y a ==+-=∑∑.故答案为：17，37
16
．【分析】
利用余弦的二倍角公式，得到(2cos 1)(cos 2)0B B +-=，求出23
B π=，进而利用正弦定理和余弦定理，列出含有,,a b c 的方程，进而解方程即可求出A
C 的长度
【详解】
有已知得，cos 23cos 10B B --=，化简得22cos 3cos 20B B --=，
则(2cos 1)(cos 2)0B B +-=，因为0B π<<，所以cos 2B =（舍去），1cos 2
B =-，23
B π=，BD Q 为角B 的角平分线，23B ABD CBD π∴∠=∠==，3BD = ，334AD D
C b ==，又因为sin sin A
D AB ABD BDA =∠∠，且sin sin DC BC CBD CDB
=∠∠，得3c a =，又222
1cos 22a c b ABC ac
+-∠=-=，得2213b a =
，则b =，又22
9116cos 26b a CBD a +-∠==，得223916b a a =+-
，代入b =，得23481440a a -+=，化简可得，(12)(312)0a a --=，得12a =或4a =，
因为在BCD △中，BDC ∠为钝角，则4
b a >
，当且仅当4a =时成立，
所以，b ==
故答案为：17．(1)2,5
p q =-=
2【分析】
（1）由题知()()2
12i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=，再根据复数相等求解即可；
（2）由（1）得25i z =-+，故
37i 1i 2
z +=+，再求模即可.(1)解：知12i +是关于x 的方程20(,)x px q p q R ++=∈的一个根，
所以()()2
12i 12i 0p q ++++=，即()()342i 0p q p +-++=，所以30420p q p +-=⎧⎨+=⎩
，解得2,5p q =-=.所以2,5
p q =-=(2)
解：由（1）得复数25i z =-+，所以()()()()
25i 1i 25i 37i 1i 1i 1i 1i 2z -+--++===+++-所以复数
1i z +
=18．(1)13，29，49(2)13
25
【分析】
（1）根据互斥事件求概率公式列出方程组，求出黑球、黄球、绿球的概率分别是13，29，49
；（2）列举法求解古典概型的概率.
(1)
从中任取一球，分别记得到黑球、黄球、绿球为事件A ，B ，C ，由于A ，B ，C 为互斥事件，
根据已知，得()()()()()()()()()()59231P A B P A P B P B C P B P C P A B C P A P B P C ⎧+=+=⎪⎪⎪+=+=⎨⎪++=++=⎪⎪⎩，解得1()32(),94()9P A P B P C ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩所以，任取一球，得到黑球、黄球、绿球的概率分别是13，29，49
．(2)
由（1）知黑球、黄球个数分别为3，2，用1，2，3表示黑球，用a ，b 表示黄球，m 表示
第一次取出的球，n 表示第二次取出的球，(,)m n 表示试验的样本点，则样本空间{}{}
Ω(,),1,2,3,,m n m n a b =∈，所以()25n Ω=，每个样本点出现的可能性相同，因此这个试验是古典概型，设A =“取出两球颜色相
同”{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3),(,),(,),(,),(,)}A a a a b b a b b =，
所以()13n A =，所以()13()()25n A P A n =
=Ω19．（1）
3π；（2）97
.【分析】
（1）利用正弦定理边化角，结合诱导公式和二倍角公式可求得sin 2A ，进而得到A ；（2）在ABC 中利用余弦定理可求得DC ，从而求得cos B ，由平面向量数量积的定义可计算求得结果.
【详解】
（1）由正弦定理得：sin sin sin sin 2
B C B A B +=，B C A π+=- ，sin sin cos 2222B C A A π+⎛⎫=-= ⎪⎝⎭
，又()0,B π∈，sin 0B ∴≠，cos
sin 2sin cos 222A A A A ∴==，0,22A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ，cos 02A ∴≠，1sin 22
A ∴=，26
A π∴=，解得：3A π=.（2）A
B AD = ，3A π
=，ABD ∴ 为等边三角形，
设DC x =，则2BD AB AD x ===，
在ABC 中，由余弦定理得：2222222cos 4969BC AB AC AB AC A x x x =+-⋅=+-=，解得：
x =
AB ∴==AC 222cos 2AB BC AC B AB BC +-∴=⋅，9
cos 37
AB CB AB BC B ∴⋅=⋅=⨯ .【点睛】
关键点点睛：本题第二问考查平面几何中的平面向量数量积的求解问题，解题关键是能够灵活应用余弦定理求得三角形的边长，进而根据边长求得所求向量夹角的余弦值.
20．(1)x x >甲乙
(2)甲店运转良好
(3)我选乙店，理由见解析
【详解】
（1）解：估计算甲店的日销售额平均数为
100.1300.1500.6700.15900.0549
x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=甲估计算乙店的日销售额平均数为
100.2300.25500.25700.1900.247x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=乙．
x x >甲乙．
（2）解：日销售额超过55万的天数占比不少于12013603
=，甲日销售额不低于55万的概率约为(6055)0.03200.0075200.00250.35-⨯+⨯+⨯=，甲店运转良好．
（3）解：答案一：甲店日销售额平均值略高于乙店，由频率分布直方图可知．甲店的销售额方差明显低于乙店，故甲店销售情况比乙店要稳定，所以我选甲店；
答案二：虽然甲店日销售额平均值略高于乙店，但乙店日销售额在80万-100万出现的概率比甲店高，故我认为乙店更有潜力，所以我选乙店．
21．（1）0.30a =；（2）54分；（3）35
．【分析】
（1）频率分布表中，频率之和等于1即可求解；
（2）先计算等级达到C 级及以上的频率，设原始分数不少于x 分可达到，再列方程即可求解；
（3）原始得分在[)40,50和(]50,60内频率分别为0.10和0.15，抽取的5人中，得分在[)40,50内的有2人，得分在[)50,60内的有3人，再由古典概型的概率公式即可求解.
【详解】
（1）∵0.100.150.150.250.051a +++++=，∴0.30a =．
（2）由已知等级达到C 级及以上所占排名等级占比为15%35%35%85%
++=设原始分数不少于x 分可达到赋分后的C 级及以上，易知5060
x <<
所以()()0.0050.0250.0300.01510600.0150.85x +++⨯+-⨯=解得：53.33
x ≈所以估计该校本次化学成绩原始分不少于54分才能达到赋分后的C 等级以上（含C 等级）
（3）设A =“抽取2人中恰好有1人原始成绩在[)50,60内”
由题设可知，原始得分在[)40,50和(]50,60内频率分别为0.10和0.15，则抽取的5人中，得分在[)40,50内的有2人，得分在[)50,60内的有3人．记得分在[)40,50内2位同学为a ，b ，得分在[)50,60的三位同学位B ，C ，D ．则从5人中任取2人，
样本空间为()()()()()()()()()(){}=,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a B a C a D b B b C b D B C B D C D Ω，共包含10个样本点
()()()()()(){},,,,,,,,,,,M a B a C a D b B b C b D =，共包含6个样本点．
所以()63105
P M ==，故这2个人中恰好有1人原始成绩在[)40,50内的概率35
．22．(1)3
A π=(2)11
14-【分析】
(1)根据正弦定理，边角互化，即可逐一求解.
(2)建立适当坐标系，即可求解.
(1)
（1）选择条件①，由2
sin sin 1sin sin B C a C B cb
+-=及正弦定理，可得21b c c b cb a +-=，则222b c a bc +-=，由余弦定理，得2221cos 222
b c a bc A bc bc +-===，因为0A π<<，所以3A π=
．
选择条件②，
由cos (2)cos 0a B b c A +-=及正弦定理，可得sin cos (sin 2sin )cos 0A B B C A +-=，即sin cos sin cos 2sin cos A B B A C A +=．
即sin()2sin cos A B C A +=．
在ABC ∆中，A B C π++=，
所以sin()sin()sin A B C C π+=-=，即sin sin cos C C A =，因为0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =
．因为0A π<<，所以3A π=
．选择条件③，
cos sin 2B C a C +=
cos sin sin 2B C C A C +=，因为sin 0C ≠
sin 2
B C A +=．在ABC 中，A B C π++=，可得cos
sin 22B C A +=，
2sin cos 222
A A A =．因为0A π<<，所以sin
02A ≠
，则cos 22A =，故3A π=．(2)
以A 为坐标原点，AC 所在直线为x 轴，过A 点且垂直于AC 的直线为y 轴，建立直角坐标
系，
则(5,0)C
，B
，122M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，5,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭
所以92CM ⎛=- ⎝⎭
，3,2BN ⎛= ⎝ ，所以11cos 14||||
CM BN MPN CM BN ⋅==-⋅。