2020届人教版中职对口升学考试数学总复习考点知识点总结完美汇编

2020届人教版中职对口升学考试数学总复习考点知识点总结完美汇编
2020届中职对口升学考试数学考点
知识点完美总结汇编
目录
第一章集合 (1)
第二章不等式 (3)
第三章函数 (7)
第四章指数函数与对数函数 (10)
第五章三角函数（含三角计算及应用） (14)
第六章数列 (20)
第七章向量 (21)
第八章解析几何（直线、圆的方程及圆锥曲线） (23)
第九章立体几何 (28)
第十章排列组合二项式定理(拓展模块) (33)
第十一章概率、统计 (34)
第十二章逻辑代数与数据表格（职业模块） (35)
中等职业学校毕业生对口升学考试数学考试大纲 (36)
中等职业学校毕业生对口升学数学考试说明 (40)
第一章 集合
1.1元素与集合的关系：∈、∉；
1.2 集合中元素的三大特性：确定性、互异性、无序性
1.3常用数集 R(实数集)、Q(有理数集)、Z(整数集)、N(自然数集)、N + (N*)正整数集 1.4 集合的表示法
①列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合.
②描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ③图示法：用韦恩图来表示集合.
1.5集合的分类
①有限集.②无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集，记作φ
1.6集合之间的关系(区分∈、∉、⊆、⊇、≠
⊂
、
≠
⊃
、
=）；子集与真子集的区别；
1.7 区分0、｛0｝、φ、}{φ； 1.8 集合的子集个数：
个。

真子集个数为个子集个数为个的子集个数为集合12;2;2},,,,{321-⋅⋅⋅⋅⋅n n n n a a a a
个。

有关系的集合满足m n n m A a a a a A a a a a -⋅⋅⋅⊆⊆⋅⋅⋅2},,,,{},,,,{321321
1.9集合的运算(交集、并集、补集)：
B {x
A A
=
∅=∅
B A
⊆
B B
⊆
B {x
A A
=
A
∅=
B A
⊇
B B
⊇
A U {|x x
φ
=
⋂A
C
U
C
B
A=
⋃)
(
C
B
A=
⋂)
(
1.10 充分条件与必要条件
q
p⇒p是q的充分条件，q是p的必要条件；
q
p⇐q是p的充分条件，p是q的必要条件
q
p⇔p是q的充要条件
小技巧：1.“大范围≠小范围，小范围=大范围”
2.)}
(
|
{
)},
(
|
{x
q
x
B
x
p
x
A=
=,B
A
x
q
x
p⊆
⇔
⇒)
(
)
((子集与推出的关系)
第二章 不等式
2.1不等式的性质(解决不等式问题的依据)
(1) a b b a <⇔>(对称性) (2) c a c b b a >⇒>>,(传递性) (3) c b c a b a +>+⇔> （加法法则）
(4) d b c a d c b a +>+⇒>>且（同向可加）；d b c a d c b a ->-⇒<>且（异向可减） （5）bc ac b a >⇒>>0c 且；bc ac b a <⇒<>0c 且 (乘法法则) (6) bd ac d c b a >⇒>>>>00且
(7) n n b a b a >⇒>>0 (N n ∈ n>0) (成方法则)
(8) n n b a b a >⇒>>0 （N n ∈ 1>n ）（开方法则） (9) b a
b a b a 1
1
0<⇒>>⋅且
2.2 区间
（倒数法则）
2.3 一元一次不等式的解法（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）
)
0()0({
>-><-<⇒>+a b c
x a b
c
x c b ax
)
0()0({
>-<<->⇒<+a b c
x a b
c
x c b ax
2.4 一元一次不等式组的解法：
(同大取大、同小取小，大小小大取中间，大大小小没有解)
2.5 一元二次不等式的解法：
0)
2.6 一元二次不等式解集为R 或解集为φ的情形
⎩⎨
⎧<∆<⇔<++⎩⎨
⎧<∆<⇔>++⎩⎨
⎧<∆>⇔<++⎩⎨
⎧<∆>⇔>++0
0000
000
000
02
222
a R c bx ax a c bx ax a c bx ax a R c bx ax 解集为解集为解集为解集为φφ 2.7 二元一次不等式组的解法：关键是“消元”（代入消元法、加减消元法等） 2.8 含有绝对值的不等式的解法：
b a b a >⇔>22；
2.9 分式不等式的解法 （关键：转化整式不等式来解）
0))((0>++⇔>++d cx b ax d cx b ax ；00))((0≠+≤++⇔≤++d cx d cx b ax d cx b
ax 且
2.10 高次不等式的解法 (穿根法) (选讲)
第三章 函数
3.1函数的定义域的求法：
①()f x 是整式时，定义域是全体实数．如y=kx+b 、c bx ax y ++=2
、3
x y =等 ②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．
③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．
④对数函数的真数大于零，当对数或指数型函数的底数中含变量时，底数须大于0且不等于1． ⑤tan y x =中，()2
x k k Z π
π≠+
∈．
⑥由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义
3.2 求函数值 如根据函数解析式求f(1)、f(0)、f(a)、f(2x)等。

（会求基本初等函数值域） 3.3 函数的单调性（注意：说单调性时指明单调区间）
增(减)函数：函数值y 随自变量x 的增大而增大(减小)，减小而减小(增大)。

证明函数单调性的方法： S1 计算x ∆和y ∆； S2 计算k=
x
y
∆∆,通过化简变形等得出k 的正负; S3 根据k 的正负得出结论.k>0时，函数在给定区间上是增函数，k<0为减函数。

3.4 函数的奇偶性
①定义及判定方法
函数性质
定义
图象
判定方法 函数的
奇偶性
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．
．
（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称）
如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．
． （1）利用定义（要
先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）
②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．
③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．
3.5 一次函数的图像和性质
解析式：b kx y +=其中k ，b 为常数，且0≠k 。

（图像为一条直线）
当b=0时，kx y =为正比例函数，图像经过原点，图像关于原点对称，函数是奇函数； 当0≠b 时，y=kx+b 图像不过原点，函数没有奇偶性。

当k>0时，图像主要经过一三象限，函数在R 上是增函数； 当k<0时，图像主要经过二四象限，函数在R 上是减函数 重点：一次函数主要掌握一次函数解析式的求法。

3.6反比例函数
定义: x
k
y =
叫做反比例函数 1、 定义域：｛x ｜0≠x ｝；值域：｛y ｜0≠y ｝； 2、 是奇函数，图像关于原点对称
3、 当k>0时，函数在区间（-∞，0）与区间（0，+∞）内是减函数
当k<0时，函数在区间（-∞，0）与区间（0，+∞）内是增函数
3.7 求二次函数解析式(c bx ax y ++=2 0≠a )
待定系数法求二次函数解析
)
)(()(2122x x x x a y k h x a y c
bx ax y --=+-=++=
一般式
顶点式 两根式
3.8二次函数的图象及性质
)0(2≠++=a c bx ax y
a>0
a<0
图象
开口 向上 向下 对称轴
直线x=a
b 2-
直线x=a
b
2-
顶点坐标
)44,2(2a
b a
c a b -- 最值
x=a b 2-时，y 有最小值a b ac 442- x=a
b
2-时，y 有最大值a b ac 442-
单调性
]2,(a
b
x -
-∞∈时 单调递减 单调递增 ),2[+∞-
∈a
b
x 时 单调递增
单调递减
奇偶性 b=0时
偶函数，图像关于y 轴对称 (02=-
a
b
) 0≠b 时
没有奇偶性
y
x
o
y
o
x
第四章 指数函数与对数函数
4.1 有理指数幂的含义
正整数指数幂 a a a a n ⋅⋅⋅⋅= （n 个a 相乘） 负整数指数幂 n
n a a 1=
- 零指数幂 10=a )0(≠a (0的0次幂无意义) 分数指数幂 n
m
n
m a a = (+∈N m n ，) ； n
m
n
m a a
1
=
-
； 特别地：n n
a a =1
4.2根式及其性质：
若a b n =，则b 叫a 的n 次方根
当n 为奇数时，实数a 的n 次方根只有一个，记作n a ，正数的奇次方根是正
数，负数的奇次方根是负数；当n 为偶数时，正数的偶次方根有两个，它们互为相反数，记作n a ±，期中n a 叫算术根；0的n 次方根是0。

（n +∈N ）
1. a a n n =)(;
2.⎪⎩⎪
⎨⎧==a a a a n n n n
4.3 有理指数幂的运算法则：
)
0(1,1)(,)()(,)(,0≠========÷=⋅--+a a a
a a a a a
b a b b a ab a a a a a a a a m m
m
n n m n m
m m
m m
m m mn n m n m n m n m n m
当n 为奇数时； 当n 为偶数时；
4.4 幂函数的图像与性质
形如n x y = (n 是常数)的函数统称为幂函数 性质：1.都通过固定点(1,1)
2.在),0(+∞上，当0>n 时，函数是增函数；n<0时是减函数。

4.5指数函数的图象及性质：
函数名称 指数函数
定义
叫做指数函数且函数)10.(≠=a a a y x
图象
a>1 0<a<1
定义域 R
值域 ()+∞,0
过定点 图象过定点（0，1），即当x=0时，y=1
奇偶性 非奇非偶函数
单调性 在R 上是增函数
在R 上是减函数
函数值的 变化情况 )
0(1)0(1)0(1<<==>>x a x a x a n n n )
0(1)0(1)0(1<>==><x a x a x a n n n a 变化对图象的影响
在第一象限内，a 越大图象越高，在第二象限内，a 越大图象越低。

4.6 指数式与对数式的互化
b N N a a b =⇔=log （1,0≠>a a ，N>0）
（注意a 、b 、N 在指数式和对数式中时的名称）
y=1
(0,1)
y
o
x
y=1
(0,1)
y
o x
4.7对数及其性质
1.
定义：如果N a b =（a >0且1≠a ），那么b 叫做以a 为底的N 的对数，记作
b N a =log （N>0）,这里a 叫做底数，N 叫做真数。

特别地，以10为底的对
数叫做常用对数，通常记N 10log 为lgN ；以e 为底的对数叫做自然对数，e ≈2.7182818，通常记作N ln 。

2. 两个恒等式：b a N a b N
a
==10log log ，
3. 几个性质：
➢ b N a =log ，N>0，零和负数没有对数 ➢ 1log =a a ，当底数和真数相同时等于1 ➢ 01log =a ，当真数等于1的对数等于0
4.8对数的运算法则
（1）
N M MN a a a log log )(log +=
（2）N M N
M
a a a
log log log -= （3）
M n M a n a log log =（真数的次数n 可以移到前面来）
（4）
M
n M a a n log 1
log =（底数的次数n 变成
n
1
可以移到前面来） （5）
M a
b
M N b
N a
log log =
4.9 换底公式 b
a
b c c a log log log =
4.10 对数函数的图象及性质：
4.11 指数不等式、对数不等式 1、⎩⎨
⎧<<<>>⇒>1
0)()(1)
()()()(x x g x f a x g x f a a x g x f
2、⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧<<⎪⎩⎪⎨⎧<>>>⎪
⎩⎪
⎨⎧>>>⇒>时时10)
()(0)(0)(1)()(0
)(0)()(log )(log a x g x f x g x f a x g x f x g x f x g x f a a
第五章 三角函数（含三角计算及应用）
5.1角的推广：角分为正角(逆时针旋转)、负角(顺时针旋转)、零角(没有旋转的角) 5.2角的“标准位置”：角的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合 5.3象限角（角的终边落在象限内）与轴限角（角的终边落在坐标轴上） 5.4 终边相同的角
与角α终边相同的角的集合：},360|{Z k k x x ∈︒⋅+=α 终边在x 轴上的角的集合：},180|{Z k k x x ∈︒⋅= 终边在y 轴上的角的集合：},18090|{Z k k x x ∈︒⋅+︒=
5.5 弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角是1弧度的角(1 rad)； r
l
=α 5.6弧度制与角度制的互化 180
π
⋅=︒n n ； ︒⋅
=)180
(π
αα；
5.7弧长与面积计算公式
弧长：l R α=⨯；面积：211
22
S l R R α=
⨯=⨯，注意：这里的α均为弧度制 5.8常用角的三角函数值：
5.9任意角的三角函数定义
5.10三角函数值在各象限的符合及轴限角的三角函数值
口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦.（简记为“全s t c ”）
5.11同角的三角函数的关系式 平方关系：
商数关系： 倒数关系：
5.12 诱导公式
诱导公式一： 诱导公式二：
诱导公式三： 诱导公式四： 诱导公式五：
y
r
x r y x x y
r x r y =
===
==ααααααcsc ,sec ,cot tan ,cos ,sin 2
2y x r +=α
ααα
ααα
ααα
ααcot sin cos sin cos cot tan cos sin cos sin tan =⇒==⇒=1
sec cos sec 1
cos 1
csc sin csc 1
sin 1cot tan cot 1
tan =⇒==⇒==⇒=
ααααααααααααα
απααπααπααπcot )2cot(tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=+=+=+=+k k k k α
απ
ααπααπααπcot )cot(tan )tan(cos )cos(sin )sin(=+
=+-=+-=+ααααααtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=-=--=-ααπααπααπtan )tan(cos )cos(sin )sin(-=--=-=-ααπααπααπtan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(=-=--=-α
ααααα222222csc cot 1sec tan 11cos sin =+=+=+
公式小结：“函数名不变，符号看象限”
5.13 余角公式
余角公式一： 余角公式二： 余角公式三： 余角公式四： 公式总结：“奇变偶不变，符号看象限” 5.14 三角函数的图象及性质
α
απα
απα
απα
απ
tan )2
cot(cot )2
tan(sin )2
cos(cos )2sin(=-=-=-=-α
απ
α
απ
α
απ
α
απ
tan )2
cot(cot )2tan(sin )2cos(cos )2sin(-=+-=+-=+=+α
απ
α
απ
α
απ
ααπ
tan )2
3cot(cot )23tan(sin )23cos(cos )23sin(
=-=--=--=-α
απ
α
απ
α
απ
ααπ
tan )2
3cot(cot )23tan(sin )23cos(cos )23sin(
-=+-=+=+-=+
三角函数的图像与性质表格
sin y x =
cos y x = tan y x =
图像
定义域 R R
,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭
值域
[]1,1-
[]1,1-
R
最
值
当22
x k π
π=+
()k Z ∈时，
max 1y =；
当22
x k π
π=-
()k Z ∈时，
min 1y =-．
当()2x k k Z π=∈时，
max 1y =；当2x k ππ=+
()k Z ∈时，min 1y =-．
既无最大值也无最小值
周期性 2π 2π
π
奇偶性
奇函数 偶函数 奇函数
单调性
在2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦
()k Z ∈上是增函数；
在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢
⎥⎣⎦
()k Z ∈上是减函数．
在[]()
2,2k k k Z πππ-+∈上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k Z ∈
上是减函数．
在,2
2k k π
πππ⎛
⎫
-
+
⎪⎝
⎭
()k Z ∈上是增函数．
对
称性
对称中心()(),0k k Z π∈ 对称轴()2
x k k Z π
π=+
∈
对称中心
(),02k k Z ππ⎛⎫+∈
⎪⎝
⎭ 对称轴()x k k Z π=∈
对称中心(),02k k Z π⎛⎫
∈
⎪⎝⎭
无对称轴
函
数 性 质
5.15 三角函数图象的变换
5.16两角和与差的三角函数 5.17 二倍角公式
5.18降幂公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=±βαβαβαsin sin cos cos )cos( =±)tan tan 1)(tan(tan tan tan tan 1tan tan )tan(βαβαβαβ
αβ
αβα ±=±⇒±=
±αααα
αα2sin 2
1
cos sin cos sin 22sin =⇒=α
αααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=αα
α
α
αα2tan 2
1
tan 1tan tan 1tan 22tan 2
2=-⇒-=α
αα
α22sin 22cos 12
2cos 1sin =-⇒-=ααα
α22cos 22cos 12
2cos 1cos =+⇒+=
5.19. 升幂公式
（1）2
cos 2cos 12
α
α=+ （2）2
sin
2cos 12
α
α=-
（3）2)2
cos 2(sin sin 1α
α
α±=± （4）αα22cos sin 1+= （5）2
cos
2
sin
2sin α
α
α=
5.20 半角公式
5.21. 万能公式:
（1）2
tan 12tan
2sin 2
α
α
α+=
, （2）2
tan 12tan 1cos 2
2α
αα+-=
, （3）.2
tan 12tan
2tan 2
α
α
α-=
5.22 正弦定理、余弦定理 正弦定理：
余弦定理：C ab b a c B
ac c a b A
bc c b a cos 2cos 2cos 22
22
222-+=-+=-+= ab
c b a C ac b c a B bc a c b A 2cos 2cos 2cos 2222222
22-+=
-+=-+=
5.23 三角形面积公式：
5.24正弦型函数)sin(ϕω+=x A y (A>0为例)
定义或为R ；值域[-A ，+A] 周期ω
π
2=T ;
5.25 三角变形
函数ααcos sin b a y ±=最大值为22b a +;y=Asinx+h 最大值h A +，最小值h
A +-R C
c
B b A a 2sin sin sin ===111
sinA sinB sin 222
S bc ac ab C
∆===ααα
cos 2
1212cos 12
sin
-±=-±
=ααα
cos 2
1
212cos 12
cos
+±=+±
=α
α
αααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12tan +=-=+-±=
6.1通项公式：n a 与n 之前的函数关系式 )(n f a n =
6.2递推公式：给出数列第1项(或前几项)以及后一项与前1项(或前几项)的关系式 6.3等差数列：一个数列从第二项开始后项减前项为一个常数就是等差数列。

d a a n n =-+1(1≥n ) 6.4等差通项公式 d m n a d n a a m n )()1(1-+=-+=；b kn a n +=（k=d,b=a 1-d) m
n a a d m
n --= 6.5等差中项：2
后
前中＝
a a a +
6.6等差数列求和公式：d
n n na a a n s n n )1(2)(11-+=+= Bn An s n +=2
2,21d
a B d A -== 6.7 等差数列性质应用： 1.若m+n=s+t,则
t
s n m a a a a +=+
2. 项数(下标)成等差数列则对应项也成等差数列
3.
n
n n n n S S S S S 23,2,--成等差数列
6.8等比数列：一个数列从第二项开始，后项与前项的比为一个不为0的常数就是等比数列。

q a a n
n =+1
(0,0≠≠q a n ) 6.9等比数列通项公式：n m n m n n q q
a q a q a a )(111===-- 2
1+=n n na s (n 为奇数)，
6.10等比中项：后前中＝a a a ±
6.11等比数列求和公式：q q
a a q q a S n n n --=-=
11)1(11－
6.12等比数列性质： 1.若m+n=s+t,则 t
s n m a a a a ⋅=⋅ 2. 项数(下标)成等差数列则对应项也成等比数列
3.
n
n n n n S S S S S 23,2,--成等差数列
6.13已知数列的前n 项和公式如何求通项公式1
111)1()2({
==≥-=-n S a n S S a n n n
7.1 概念(向量、共线向量(平行向量)、零向量、相等向量、相反向量)
向量：既有大小，又有方向的量如：→
a 数量：只有大小，没有方向的量． 零向量：长度为0的向量，记作：→
单位向量：长度等于1个单位的向量． 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 相等向量：长度相等且方向相同的向量． 相反向量：长度相等且方向相反的向量．
7.2 向量加法运算
⑴三角形法则的特点：首尾相连．
⑵平行四边形法则的特点：共起点． (3)运算性质：①交换律：a b b a +=+；
②结合律：()()
a b c a b c ++=++；③00a a a +=+=．
7.3 向量减法运算
三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量．
7.4 向量数乘运算
⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①
a a λλ=；
②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()
a b a b λλλ+=+．
7.5 向量共线定理：向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=．
7.6 平面向量基本定理：如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，
有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+．（不共线的向量1e 、2e 作为这一平面内所有向量的一组基底）
7.7 向量的坐标表示与坐标运算
1.),(),,(2211y x b y x a ==→
→若 则：向量的模：|a |=2
121y x +
2.向量相加：
3.向量相减：
4.实数与向量相乘：
5.平面向量的模的公式： 2
121||y x a +=→
6.平面向量的相等公式：2121,,y y x x b a ===→
→
则若 7.平面向量平行公式:0,//1221=-→→
y x y x b a 则若 8.平面向量垂直公式:0,2121=+⊥→
→
y y x x b a 则若 7.8 内积公式及其变形公式:
2121|
||
,cos ,cos ||||y y x x b b
a b a b a b a b a +=>=
<>⇒<=→
→→
→→
→→→→→→
→
7.9 平面向量的运算法则：
7.10 两个公式
1. 两点的距离公式：已知),(),,(222111y x P y x P 两点，其距离：
22122121)()(y y x x P P -+-=
2. 中点公式：已知),(),,(222111y x P y x P 两点，线段21P P 的中点的O 的坐标为),(y x ，则：
2,22
1
21y y y x x x +=+=
|
|||,cos b a b a b a =
>=<
b a b a b a b a b b a b a a b a a a a b b a a
⊥⇒=⇒-=++><±=±===⋅0||||)5(||,cos |||2||||)4(||)3()2(00)1(22
2)
,(2121y y x x b a ++=+
)
,(2121y y x x b a --=- )
,(11y x a λλλ=
第八章 解析几何（直线、圆的方程及圆锥曲线）
8.1 直线的倾斜角、斜率
1.倾斜角),0[πα∈ (直线向上的方向与x 轴正方向的所夹形成的最小正角)
2.斜率：（1）倾斜角的正切值 k=tan α（2）坐标公式： (3)B
A k -= 8.2 直线的方程
1.点斜式：
2.斜截式：
3.两点式：
4.截距式：
5.一般式： (a,b 不能同时为0） 特殊地：与x 轴垂直的直线方程：x=a;与y 轴垂直的直线方程：y=b; 8.3距离公式
两点之间的距离公式： 点到直线的距离公式： 两平行直线的距离公式： 8.4 两直线的位置关系（相交、平行、重合）
两直线相交；两直线平行；
⇒==212121)2(c c b b a a
两直线重合 直线平行或垂直时斜率的关系
1
//21212121-=⇒⊥=⇒k k L L k k L L 直线直线
8.5 直线的方向向量(1,k)与直线平行 ,法向量(A,B)与直线垂直 8.6待定系数法求直线方程
与已知直线Ax+By+C=0平行的直线可设为 Ax+By+D=0(只需确定D 的值)；
2121
y y k x x -=-00(x x )y y k -=-y kx b
=+0
ax by c ++
=
d =
11
2121
y y x x y y x x --=--1212(,)
x x y y ≠≠1x y a b
+=(0,b 0)
a ≠≠||AB =d =11
22(1)
a b a b ≠⇒
111
222
(3)
a b c a b c ==⇒
与已知直线Ax+By+C=0垂直的直线可设为 Bx -Ay+E=0(只需确定E 的值)； 8.7圆的标准方程、一般方程
(熟练掌握圆的一般方程转化为标准方程并找出半径和圆心坐标方法)
圆心坐标：（a,b ）半径：r
圆心坐标：)2
,2(E D
--半径：F E D r 421
22-+=
8.8 直线和圆的位置关系
1.相离d>r, 相切 d=4, 相交d<r, d 为圆心到直线的距离，r 为圆的半径；
2.直线和圆的方程组成方程组，也可利用方程组的解的个数来判断直线与圆的位置关系，两解为相交，一解为相毁，无解为相离
8.9 椭圆（平面内到两个定点距离的和是常数的点的轨迹）
定义 平面内到两定点的距离的和等于常数的点的轨迹：a PF PF 221=+
焦点的位
置 焦点在X 轴上
焦点在Y 轴上
标准方程
12
2
22=+b y a x 12
2
22=+b x a y 图形
性质 长轴长是a 2，短轴长是b 2，焦距2
1F F =2c ，222c b a +=（a 最大）
顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) B 1(0,－b),B 2(0，b)
A 1(0,－a),A 2(0，a)
B 1(－b,0)，B 2(b,0)
焦点坐标 F 1(c,o) F 2(-c,o)
F 1(o,c) F 2(o,-c)
离心率
a
c
e =
（0<e<1） 222
(x a)(y b)r -+-=y P
x
y
P
O x
O 220
x y Dx Ey F ++++=
8.10 双曲线（平面内到两个定点距离的差的绝对值是常数的点的轨迹）
a,b,c 三者之间的关系：
离心率：
实轴长2a, 虚轴长2b ，焦距为2c 等轴双曲线的离心率为2 相交弦长公式
222c a b =+c
e a
=
]
4))[(1(1||212212212x x x x k x x k AB -++=-+=
8.11 抛物线标准方程、焦点坐标、准线方程
（平面内到一个定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹）
P的含义:焦点到准线的距离
P · α
L
β
D C
B A α 第九章 立体几何
9.1空间点、直线、平面之间的位置关系
1 平面含义：平面是无限延展的
2 平面的画法及表示
（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450
，且横边画成邻边的2倍长（如图） （2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。

3 三个公理：
（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为 A ∈L
B ∈L => L α A ∈α
B ∈α
公理1作用：判断直线是否在平面内
（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α，
使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L
公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 9.2直观图：斜二测画法
斜二测画法的步骤：
（1）.平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；
（2）.平行于y 轴的线长度变半，平行于x ，z 轴的线长度不变； （3）.画法要写好。

9.3 空间中直线与直线之间的位置关系
1 空间的两条直线有如下三种关系：
相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；
异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。

2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线
a ∥
b
c ∥b
强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。

公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补
4 注意点：
① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一
L A ·
α C ·
B
· A · α 共面直线
=>a ∥c
条上；
② 两条异面直线所成的角θ∈(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；
⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

9.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系
1、直线与平面有三种位置关系：
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
（2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点
指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示
a α a ∩α=A a ∥α
9.5 直线、平面平行的判定及其性质 9.6 直线与平面平行的判定
1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：
a α
b β => a ∥α a ∥b
9.7 平面与平面平行的判定
1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：
a β
b β
a ∩
b = P β∥α a ∥α b ∥α
2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理；
（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

9.8 直线与平面、平面与平面平行的性质
2
1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：
a∥α
a β a∥b
α∩β= b
作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：
α∥β
α∩γ= a a∥b
β∩γ= b
作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行
9.9 直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。

如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

L
p
α
2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。

9.10平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

9.11 直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

9.12柱、锥、台、球的结构特征
（1）棱柱：定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这
些面所围成的几何体。

分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各顶点字母，如五棱柱'
'
'
'
'
E D C B A ABCDE -或用对角线的端点字母，如五棱柱'
AD
几何特征：两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱平行且相等；平行于底面的截
面是与底面全等的多边形。

（2）棱锥
定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等
表示：用各顶点字母，如五棱锥''
'
'
'
E D C B A P -
几何特征：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平
方。

（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等
表示：用各顶点字母，如五棱台'
'
'
'
'
E D C B A P -
几何特征：①上下底面是相似的平行多边形 ②侧面是梯形 ③侧棱交于原棱锥的顶点
（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体
几何特征：①底面是全等的圆；②母线与轴平行；③轴与底面圆的半径垂直；④侧面展开图是一个矩形。

（5）圆锥：定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特征：①底面是一个圆；②母线交于圆锥的顶点；③侧面展开图是一个扇形。

（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面和底面之间的部分
几何特征：①上下底面是两个圆；②侧面母线交于原圆锥的顶点；③侧面展开图是一个弓形。

（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体 几何特征：①球的截面是圆；②球面上任意一点到球心的距离等于半径。

9.13空间几何体的表面积与体积
（一 ）空间几何体的表面积
1棱柱、棱锥的表面积： 各个面面积之和
2 圆柱的表面积
3 圆锥的表面积2
r rl S ππ+= 2
22r rl
S ππ+=
4 圆台的表面积22R Rl r rl S ππππ+++=
5 球的表面积2
4R S π= （二）空间几何体的体积
1柱体的体积 h S V ⨯=底 2锥体的体积 h S V ⨯=底3
1
3台体的体积 h S S S S V ⨯++=)3
1下下上上（ 4球体的体积
33
4R V π=
第十章 排列组合二项式定理(拓展模块)
10.1分类计数法和分步计数法
分类计数法(加法法则)：完成一件事有两类办法，第一类办法由m 种方法，第二类办法有n 种方法，无论用哪一类办法中的哪种方法，都能完成这件事，则完成这件事总共有m+n 种方法。

分步计数法(乘法法则)：完成一件事有两个步骤，第一个步骤有m 种方法，第二个步骤有n 种方法，连续完成这两个步骤这件事才完成，那么完成这件事总共有m ×n 种方法。

10.2 排列数、组合数公式
排列（有顺序），公式：m
n A =)1()1(+--m n n n =
！
！
)(m n n -；
例：56737⨯⨯=A 452
5⨯=A
组合（没有顺序），公式：m
n C =
!
)1()1(m m n n n +-- =！！！)(m n m n -⋅；
m n C =m n n C - m n C +1-m n C =m
n C 1+
例：35123567!33
73
7
=⨯⨯⨯⨯==
A C
3544
7==C
10.3 组合数的性质
(1)= ;(2) +=.注:规定.
10.4 排列组合问题常见解题方法：(1)两个计数原理(2)特殊位置法(3)捆绑法(4)插空法
10.5 二项式定理 ;
二项展开式的通项公式
.
10.6 区分系数、二项式系数 10.7 二式项式系数的性质
(1).(2).
m m
n n A m C =⋅！m
n C m
n n
C -m n C 1
-m n
C m n C 1+10
=n C n n n r r n r n n n n n
n n n b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)(r
r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =n n n r n n n n C C C C C 2210=++++++ 14205312-+++=+++n n n n n n n C C C C C C
第十一章 概率、统计
考点：1.随机现象与概率的统计定义
2.必然事件和不可能事件
3.随机事件和样本空间。

4.古典概率的定义、应用。

5.N 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率及简单应用。

6.总体和样本的概念以及抽样方法.
7.计算样本平均数和样本方差。

8.离散随机变量及分布。

11.1 频率、频数与样本容量的公式: 样本容量
频数
频率＝
11.2 平均数:n
a a a a n
+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++=21
11.3 标准差
:=
S 11.4 方差公式:]
)()()[(2
22212
-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-+-=x x x x x x n S n
11.5 分层抽样
11.6 古典概率 n
m
A P =
)( (n 为基本事件个数，m 为随机事件A 包含的基本事件个数) 11.7独立重复试验
定义：如果在一次实验中事件A 发生的概率为P ，那么A 在n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为：
k n k k
n n P P C k P --=)1()(
11.8 离散随机变量及分布列（表示随机试验的结果的变量叫随机变量，随机变量可能的值可以
一一列举出来的叫离散型随机变量）（拓展模块P79）
第十二章 逻辑代数与数据表格（职业模块）
考点：1.数制的概念，进行简单的转换。

2.逻辑代数的基本概念与基本运算
3.数据表格的概念.
4.数组运算及数据表格的应用。

12.1 十进制数化二进制数：整数部分“除2取余，逆序排列”;小数部分“乘2取整，顺序排列”(职业模块P151) 12.2 二进制数化十进制数：按权展开，逐项相加。

12.3 逻辑代数 只有“0”和“1”两个逻辑常量；逻辑变量的取值只有两个：0和1 12.4 逻辑运算 (职业模块P164)
1.与运算 “有0出0，全1出1”：000=⋅ 010=⋅ 001=⋅ 111=⋅
2.或运算 “有1出1，全0出0”:0+0=0 ；0+1=1；1+0=1；1+1=1
3.非运算 “进0出1，进1出0”：01,10== 12.5 数据表格（职业模块P99） 12.6 数组运算（职业模块P112）
(1) ),,,(),,,(),,,(22112121n n n n b a b a b a b b b a a a b a ±⋅⋅⋅±±=⋅⋅⋅±⋅⋅⋅=± (2) ),,(),,,(2121n n a a a a a a λλλλ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅ 例题与练习：P114。