浙江省名校协作体2022-2023学年高二下学期联考数学试题含解析

2022学年第二学期浙江省名校协作体试题
高二年级数学学科（答案在最后）
考生须知：
1．本卷满分150分，考试时间120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号．3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷．
选择题部分
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1.已知()
1,2,3A -，则点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是（
）
A.
()1,2,3-- B.()
1,2,3 C.
()1,2,3- D.
()
1,2,3--【答案】B 【解析】
【分析】根据坐标平面的对称性求解．
【详解】点A 关于xOy 平面的对称点的坐标是(1,2,3)，故选：B ．
2.与双曲线2
214x y -=有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（
）
A.221
94x y += B.22
1
49x y +=C.22
1
96
x y += D.221
69
x y +=【答案】A 【解析】
【分析】根据双曲线方程可得焦点坐标，结合椭圆长轴长和,,a b c 的关系可得椭圆方程.
【详解】由双曲线方程可得焦点坐标为：()
，∴椭圆焦点在x 轴上，且c =，
又长轴长为6，即26a =，3a ∴=，2224b a c ∴=-=，
∴椭圆方程为：22194
x y +=.故选：A.
3.在数列{}n a 中，425a =2=，则6a =（
）
A.121
B.100
C.81
D.64
【答案】C 【解析】
【分析】根据题意，由条件可得数列是公差为2的等差数列，即可得到结果.
2=
2=，故数列是公差为2的等差数列，
因为425a =22449=⨯=+=，则681a =.
故选：C
4.直线10x y +-=与圆()2
224x y -+=的位置关系是（
）
A.相离
B.相交
C.相切
D.无法确定
【答案】B 【解析】
【分析】利用圆心到直线的距离判断即可.
【详解】由()2
224x y -+=可知圆心为(2,0)，半径为2，
则圆心到直线的距离
22
d ==
<，故直线与圆相交.故选：B
5.正项等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，则“1q >”是“2021202320222S S S +>”的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】
【分析】根据给定条件，利用数列前n 项和的意义，正项等比数列的意义，结合充分条件、必要条件的定义判断作答.
【详解】依题意，2021202320222023202220222022201232022S S S S S S S a a +⇔>>->⇔-，而{}n a 是公比为q 的正项等比数列，因此20232022202220221a a a q a q >⇔>⇔>，所以“1q >”是“2021202320222S S S +>”的充要条件.故选：C
6.已知抛物线22y px =，点()1,2A 在抛物线上，斜率为1的直线交抛物线于B 、C 两点．直线AB 、AC 的斜率分别记为1k ，2k ，则12
11
k k +的值为（）A.1 B.2
C.3
D.4
【答案】B 【解析】
【分析】由点坐标求得p ，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 方程为y x m =+，直线方程与抛物线方程联
立方程组消元后应用韦达定理，此结论代入12
11
k k +后化简可得．
【详解】由题意2221p =⨯，2p =，抛物线方程为24y x =，设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 方程为y x m =+，
由24y x y x m
⎧=⎨=+⎩得2440y y m -+=，16160m ∆=->，1m <，124y y +=，124y y m =，
1212242x x y y m m +=+-=-，2212121212()()()x x y m y m y y m y y m m =--=-++=，所以
12122112121211(1)(2)(1)(2)11
22(2)(2)x x x y x y k k y y y y ----+--+=+=----211212121212()2()42()4x y x y y y x x y y y y +-+-++=
-++2112()()2(42)
44
x m x x m m m x +++--=
-12122()8444x x m x x m m ++-+=-22(42)8444
m m m m m +--+=
-88
244m m -==-．故选：B ．
7.已知长方体1111ABCD A B C D -，
其中1AA =
，AB AD ==P 为底面ABCD 上的动点，
1PE A C ⊥
于E 且PA PE =，设1A P 与平面ABCD 所成的角为θ，则θ的最大值为（）A.
π4
B.
π2
C.
π6 D.
π3
【答案】D 【解析】
【分析】确定1A PA ∠是1A P 与平面ABCD 所成的角，不妨设PA PE x ==，求出PC ，利用PA PC AC +≥求得x 的最小值，再由1
tan AA AP
θ=
得θ的最大值．【详解】1AA ⊥平面ABCD ，PA ⊂平面ABCD ，所以1AA PA ⊥，又1PE A C ⊥，PA PE =，
所以1PAA 1PEA ≅!，11A E AA ==
1AC ==11EC AC A E =-=
所以P 点轨迹是对角线1AC 的中垂面与底面ABCD 的交线，为一条线段．由1AA ⊥平面ABCD 知1A PA ∠是1A P 与平面ABCD 所成的角，
不妨设PA PE x ==，
则
1A P =，
PC =，
PA PC x AC +=≥=得
3
x ≥
，
2
tan x
θ=
≤π3θ≤，即θ的最大值为π3，
故选：D ．
8.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案，
图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等分，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边，反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的面积为1，把图①，图②，图③，图④，……的面积依次记为1234,,,,S S S S ⋅⋅⋅，则满足()*3
N 2
n S n ≥
∈的n 最小值为（）
A.2
B.3
C.4
D.5
【答案】C 【解析】
【分析】记第n 个图形为n P ，三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ，由图形归纳出11
3
n n a a -=
，14n n b b -=，2
1134
n n n n S S b a --=+⨯
．由累加法结合等比数列前n 项和公式得求得n S 的表达式，从而得出结论．【详解】记第n 个图形为n P ，三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ．由图形作法可知113n n a a -=
，14n n b b -=，21134
n n n n S S b a --=+⨯．即2221112122121333,,,444
n n n n n n n n S S a b S S a b S S a b -------=
⋅-=⨯⋅⋅⋅⋅-=⨯⋅利用累加法可得()2
2211122134
n n n n n S S a b a b a b ----=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅因为数列{}n a 是以
1
3为公比的等比数列，数列{}n b 是以4为公比的等比数列，所以{}2
1n n a b -⋅是以49
为公比的等比数列．
因为11S =，即
21314a =，此时2133a =，2
24327
a =
，13b =，所以11
2
2122211221
44131994519
n n n n n n a b a b a b a b -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅-- ⎪ ⎪
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅==-，所以1
834559n n S -⎛⎫
=-⨯ ⎪
⎝⎭．
由1
8343
5592
n n S -⎛⎫
=-⨯≥
⎪
⎝⎭
，得4n ≥．所以n 的最小值是4.
故选：C ．
【点睛】方法点睛：记第n 个图形为n P ，相应量用一个数列表示，如本题中三角形边长为n a ，边数n b ，面积为n S ，然后由前后两个图形根据归纳推理得出数列的递推关系，再结合数列知识求解．
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的或不选的得0分
9.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，10a >，50a =则（）
A.
370a a += B.280
a a <C.100S = D.当且仅当4n =时，n S 取最大值
【答案】AB 【解析】
【分析】由等差数列的性质可判断A ，B ，D ；由等差数列的前n 项和公式可判断C .【详解】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37520a a a +==，故A 正确；
因为10a >，50a =，()()2
2
2
2855533990a a a d a d a d d =-+=-=-<，故B 正确；
因为10a >，50a =，所以0d <，故60a <，
()
()11010566105502
a a S a a a +=
=+=<，故C 错误；
由10a >，50a =可知，1234,,,0a a a a >，50a =，67,,0a a < ，故4,5n =时，n S 取最大值，故D 错误.故选：AB .
10.已知直线l ：10mx y m +--=，m ∈R 和圆O ：224x y +=，下列说法正确的是（）
A.直线l 与圆O 可能相切
B.直线l 与圆O 一定相交
C.当1m =时，圆O 上存在2个点到直线l 的距离为1
D.直线l 被圆O 截得的弦长存在最小值，且最小值为2【答案】BC 【解析】
【分析】由直线方程得出直线l 过定点(1,1)P ，它在圆内，由此易得直线与圆的位置关系，可判断AB ，由
PO =利用到直线l 的距离为1的直线与圆的位置关系判断C ，由直线l 与PO 垂直时，弦长最小判断
D ．
【详解】由直线l 方程知直线l 过定点(1,1)P ，又221124+=<，因此P 在圆O 内部，所以直线l 一定与圆O 相交，A 错，B 正确；
1m =时，圆心(0,0)O 到直线l
的距离为2d =
=<
12>，因此与直线l 距离为1的
两条直线，一条与圆O 相交，一条与圆O 相离，所以圆O 上存在2个点到直线l 的距离为1，C 正确；
又PO =
l 与PO
垂直时，弦长为=l 被圆O 所截得的弦长的最
小值为，D 错．故选：BC ．
11.设M 为双曲线C ：22
13
x y -=上一动点，1F ，2F 为上、
下焦点，O 为原点，则下列结论正确的是（）
A.若点()0,8N ，则MN 最小值为7
B.若过点O 的直线交C 于,A B 两点（,A B 与M 均不重合），则1
3
MA MB k k =
C.若点()8,1Q ，M 在双曲线C 的上支，则2MF MQ +
最小值为2D.过1F 的直线l 交C 于G 、H 不同两点，若7GH =，则l 有4条【答案】BCD 【解析】
【分析】结合双曲线的图象与性质，逐项判断，即可确定本题答案.
【详解】由双曲线C ：2
2
13
x y -=，得12(0,2),(0,2)F F -，设()00,M x y ，
则
MN =
，当且仅当02y =
时取等号，所以MN 最小值为
，故A 错误；
设,A B 两点坐标分别为11(,)x y ，11(,)x y --，所以22
01010122
010101MA MB
y y y y y y K K x x x x x x +--=⋅=+--，又因为22220
1
1
33,33x y x y =-=-，所以222201012222
0101133(33)3
MA MB
y y y y K K x x y y --===----，故B 正确；
211222MF MQ MF MQ QF +=++≥+=+，故C 正确；
由双曲线C ：22
13x y -=，可得通径长为2
267b a
=<，且实轴长227a =<，所以这样的直线l 有4条，
故D 正确.
故选：BCD
12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为边AB ，CD ，DA 的中点，P ，
Q 分别为线段1BB ，1C D 上的动点，下列结论正确的是（
）
A.BD 与1D F 所夹角的余弦值为10
B.二面角11A BD A --的大小为
3
π
C.四面体11A D PF 的体积的最大值为
43
D.直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹长度为2
【答案】ABC 【解析】
【分析】由11//BD B D 得出异面直线所成的角，由余弦定理计算后判断A ，设1A D ，1AD 交于K ，证明1A K ⊥
平面1ABD ，根据定义作出二面角的平面角，计算后判断B ，利用平行线性进行体积转换后，
111111*********
333
F A D P E A D P D A EP A EP A EP A EB V V V A D S S S ---===⋅⋅=≤!!!，从而求得体积的最大值判断C ，作出
直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹线段MN （如图）由余弦定理计算出线段长判断D ．
【详解】A ．因为1BB 与1DD 平行且相等，所以11BB D D 是平行四边形，所以11//BD B D ，从而11B D F ∠是异面直线BD 与1D F 所成的角或其补角，在正方体中
，
1D F =
，11D B =，13B F =
，
1110
cos 10
B D F ∠=
=
．A
正确；B ．设1A D ，1AD 交于K ，则11A K AD ⊥，由AB ⊥平面11ADD A ，1A K ⊂平面11ADD A ，得1AB A K ⊥，而1,AB AD ⊂平面1ABD 且1AB AD A = ，所以1A K ⊥平面1ABD ，
1BD ⊂平面1ABD ，则11A K BD ⊥，作11A L BD ⊥，同理1A K KL ⊥，垂足为L ，连接KL ，因为11,A K A L ⊂
平面1A KL 且111A K A L A = ，所以1BD ⊥平面1A KL ，又KL ⊂平面1A KL ，所以1BD KL ⊥，所以1A LK ∠是二面角11A BD A --的平面角，
正方体中，1A K =
，111113A D A B A L BD ⋅=
==，
直角1A KL !
中，
1113sin 23
A K A LK A L ∠=
=，1
π
3
A LK ∠=，
B 正确；
C ．由已知11//EF A
D A D ∥，EF ⊄平面11A D P ，11A D ⊂平面11A D P ，则//EF 面11A D P ，
1111111111111224
3333
212232F A D P E A D P D A EP A EP A EP A EB V V V A D S S S ---===⋅⋅=≤==⨯⨯⨯!!!，当P 与1B 重合时
达到最大值．C 正确；
D ．由已知11////EG BD B D ，1B ，1D ，G ，
E 四点共面，设11A C 与11D B 交于M ，1A D 与1D G 交于N ，则MN 即为直线1AQ 与平面1D EG 的交点的轨迹．1112A N A D ND DG ==，11242
33
A N A D ==，12A M =，又
11
A DC △为正三角形，所
以
160MA N ∠=︒
，由余弦定理，
22211111262cos 9MN A M A N A MA N MA N =+-∠=
，263
MN =．D 错．
故选：ABC ．
【点睛】求空间角一般有两种方法，一是,空间向量法，二是定义法，本题图形是在正方体中，我们用定义法求异面直线所成的角和二面角，主要是正方体中平行线与垂线较多，容易作出异面直线所成的角和二面角的平面角，从而再解三角形可得．三棱锥的体积问题，常常利用换顶点（换底）法进行转化，目的是使得棱锥的高与底面积易求解．
非选择题部分
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中相应的横线上．
13.两条直线1l ：20x y -=；2l ：240x y -+=．则1l 与2l 之间的距离为___________．【答案】455
【解析】
【分析】根据两平行线间的距离公式，即可求得本题答案.【详解】因为两条直线1l ：20x y -=；2l ：240x y -+=，所以两平行线间的距离1222
22
4045
5
1(2)C C d A B --=
=
=
++-.故答案为：
55
14.若圆1C ：224x y +=与圆2C ：()()2
216x a y a -+=∈R 相交于A 、B 两点，且两圆在A 点处的切线互相垂直，则线段AB 的长是___________．【答案】855##855
【解析】
【分析】画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时，满足过对方的圆心，再利用
直角三角形进行求解.【详解】如图，
由两圆在A 点处的切线互相垂直可知，两条切线分别过两圆的圆心，由相交圆公共弦的性质可知1AB OO ⊥，
由切线性质可知1OA AO ⊥，在1Rt OAO 中，1||2,||4OA AO ==，
所以1||OO ==
又1Rt OAO 斜边上的高为1
||2
AB ，
由等面积法可知，11111
||||||||222
AO AO AB OO ⋅=⨯，
即124||2AB ⨯=
⨯，解得||5
AB =.故答案为：
855
15.已知F 1(－c,0)，F 2(c,0)为椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的两个焦点，P 为椭圆上一点，且212PF PF c ⋅= ，
则此椭圆离心率的取值范围是________．
【答案】,32⎢⎣⎦
【解析】【分析】
设(,)P x y ，由数量积的坐标表示得出222212PF PF x c y c ⋅=-+= ，再由点P 在椭圆上得出222
22b y b x a
=-，
联立两个方程得出()2
222
2
3c a a x c -=
，再由220,x a ⎡⎤∈⎣⎦化简得出22223c a c ≤≤，结合离心率的公式即可
求解.
【详解】设(,)P x y ，则222212(,)(,)PF PF c x y c x y x c y c ⋅=---⋅--=-+=
①将22
2
2
2b y b x a
=-代入①式解得
()()2
222
222
2
2
23c b a c a a x c c --=
=
又2
2
0,x a ⎡⎤∈⎣⎦
，即(
)2
2222
30c
a a a c -≤≤222
23c a c
∴≤≤32,32c e a ∴=∈⎣⎦.
故答案为：,32⎢⎣⎦
【点睛】本题主要考查了求椭圆离心率的取值范围，属于中档题.
16.如图，在三棱锥-P ABC 中，底面ABC 是正三角形，2BA BP ==，90CBP ∠=︒，120ABP ∠=︒，
E ，
F 分别是棱AB ，BC 上的动点，且AE BF =，当三棱锥P BEF -的体积取得最大值时，三棱锥
P BEF -的外接球表面积为___________．
【答案】19π2
【解析】
【分析】利用均值不等式求出体积最大时,E F 的位置，建立空间直角坐标系，建立方程组求出球心坐标，得球半径即可.
【详解】要使三棱锥P ―BEF 的体积最大，则底面△BEF 的面积最大，设BF =a ，则2BE a =-，2
3323
(2)4424BEF
x x S x x +-⎛⎫=-≤= ⎪
⎝⎭
△，当且仅当2x x =-，即1x =时取得最大值，即E ，F 分别为棱的中点．此时，FA BC ⊥，三棱锥P BEF -的体积取得最大值．
如图，以BC 中点O 为原点，OA ，OB 分别为x ，y
轴建立空间直角坐标系，
则()0,0,0F
，)
A
，()0,1,0B ，()0,1,0C -
，1,,0)22
E ．
设(),,P x y z ，由28PC =，24PB =，212PA =，
解得x =1y =
，z =．设外接球球心(,,)O m n t '，由O B O E O F O P ''''===，
则222
222222222
22222231(1)()()22(1)2326((1)()33m n t m n t m n t m n t m n t m n t ⎧+-+=-+-+⎪
⎪⎪+-+=++⎨⎪
⎪++=++-+-⎪⎩
，
解得1,,6212
m n t =
==
即1,62O ⎛⎫'
⎝，故三棱锥P BEF -的外接球半径2
2
2
198
R O F O O ''===．所以，三棱锥P BEF -的外接球表面积为
19π2
．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.圆M 经过点()1,2A ，()9,2B -，且圆心M 在直线5y x =-上．（1）求圆M 的方程．
（2）过点A 作直线l ，直线l 与圆M 的另一个交点是D ，当4AD =时，求直线l 的方程．
【答案】（1）()2
2520x y -+=（2）1x =或3450
x y -+=
【解析】
【分析】（1）根据圆的性质，结合两点间距离公式进行求解即可；（2）根据垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可.【小问1详解】
圆心M 在直线5y x =-上，不妨设圆心M 为(),5a a -，则()()()()2
2
2
2
152952a a a a -+--=-+-+，得5a =，故圆M 的方程为()2
2520x y -+=；【小问2详解】
①当直线l 斜率不存在时，l 方程为1x =,
()
2
215202y y -+=⇒=±，显然满足4AD =，
②当l 斜率存在时，设l ：()21y k x -=-即20kx y k -+-=，由（1）可知：圆M
的半径为4AD =，
所以点M 到l
距离
344d k =
=
=⇒=．
综上，l 的方程为1x =或3450x y -+=．
18.已知数列{}n b 是公比大于0的等比数列，1212b b +=，其前4项的和为120．（1）求数列{}n b 通项公式；（2）记21n n n
c b b =+
，*N n ∈，求数列{}2
2n n c c -前n 项和．【答案】（1）3n
n b =（2）133n +-【解析】
【分析】（1）根据等比数列的通项公式，前n 项和公式进行求解即可；（2）根据等比数列前n 项和公式进行求解即可【小问1详解】
设数列{}n b 的公比为q ，通项公式为1
1n n b b q
-=⋅，
若公比1q =，由1211266n b b b b +=⇒=⇒=，所以前4项的和为24，不符合题意，故1
q ≠()21121121b q b b q
-+=
=-，
前4项和为
()4111201b q q
-=-，
于是相除得2110q +=，即29q =，又因为0q >，
故3q =，13b =，3n
n b =；
【小问2详解】
221133
n n n n n c b b =+
=+，2
2
244422221111333233233333n n n n
n n
n n n n
n n
c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=+⋅+-+=⋅ ⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
前n 项和为()
()21333233323313
n n n +-⋅++⋅⋅⋅+=⋅
=--．
19.已知椭圆C ：2
212
x y +=．
（1）直线l ：y x =交椭圆C 于P ，Q 两点，求线段PQ 的长；
（2）A 为椭圆C 的左顶点，记直线AP ，AQ ，l 的斜率分别为1k ，2k ，k ，若121
k k k
+=-，试问直线PQ 是否过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
【答案】（1）
3
（2）直线PQ 过定点()0,0【解析】
【分析】（1）将l 与椭圆联立得到2
P x 、2
Q x 、2P y 和2
Q y ，进而得到||PQ ；
（2）设直线l ：y kx m =+，联立椭圆与直线得到韦达定理以及∆，利用1
k =
进而得到2k ，由
121
k k k
+=-得到m 的值，最后舍去不符合题意的m 即可.
【小问1
详解】
将直线l 与椭圆方程联立，即22
12
y x x y =⎧⎪
⎨+=⎪⎩，得2
2
23p Q x x ==，即22
23
p
Q y y ==，
故||3
PQ =
=
；【小问2详解】
设直线l ：y kx m =+，()11,P x y ，()22,Q x y ，
由()
22222
,
21422022
y kx m k x kmx m x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩得，1222
1224212221km x x k m x x k -⎧
+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩
，()()()
222222
1642122821k m k m k m ∆=-+-=+-，
又1k =
=
，2k =
故12k k +=
++++=
=
，
由121
k k k
+=-
，得20
m =，故()
0m m m -=⇒=
或0m =，
①当m =
时，直线l ：(y kx k x =+=+，过定点()
A ，与已知不符，舍去；
②当0m =时，直线l ：y kx =，过定点()0,0，
()2228211680k m k ∆=+-=+>，符合题意．
20.已知数列{}n a ，{}n b 满足11a =，243a =，()1121239n n n a a a n +-=-≥，13
n n n b a -=，()*
N n ∈．（1）求出数列{}n a ，{}n b 的通项公式．
（2）证明：对任意的2n >，1234n a a a a a +>++⋅⋅⋅+．【答案】（1）1
32
3n n n a --=，32n b n =-（2）证明见解析【解析】
【分析】（1）由题意可得()1122n n n b b b n +-+=≥，即{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列，可求出{}n b ，进而求出{}n a ；
（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，由错位相减法求出n S ，只要证明2n >时，()1220n S a a -+<即可.【小问1详解】因为11a =，24
3a =
，13
n n n b a -=，∴11b =，24b =，
又∵()1121
239n n n a a a n +-=
-≥，1
3n n n b a -=，∴()11
1221233393
n n n n n n b b b n +---=⋅-⋅≥∴()1122n n n b b b n +-+=≥．
∴{}n b 是首项为1，公差为3的等差数列．∴32n b n =-，1
32
3
n n n a --=．【小问2详解】
设数列{}n a 的前n 项和为n S ，∵2147321333
n n n S --=+
++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+①2311473233333
n n n S -=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+②
②得：
21233332133333
n n n n S --=+++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-，所以12111121113232331313133333313n n n n n
n n S --⎡⎤
⎛⎫- ⎪⎢⎥--⎛⎫⎝⎭⎢⎥=+⨯+++-=+⨯- ⎪⎝⎭⎢⎥
-⎢⎥⎣⎦ ，1231325651
113233223n n n n
n n S --+⎛⎫⎛⎫=+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则11565
443
n n n S -+=
-⋅，当2n >时，()1211156541165221044331243n n n n n S a a --++⎛⎫-+=--+=--< ⎪⋅⋅⎝⎭
∴1234n a a a a a +>++⋅⋅⋅+．
21.如图所示，已知四棱锥P ABCD -，满足E 为BD 中点90BAD BCD ∠=∠=︒
，AD =
，
PA PB PD ==
．
（1）求证PE ⊥平面ABCD （2）若PA 与BD
夹角的余弦值为4
，且CE AB ∥，求PC 与平面PAD 夹角的正弦值【答案】（1）证明见解析（2
）
10
【解析】
【分析】（1）取AD 中点为F ，连接AE ，FE ，FP ，EP ，易证AD ⊥平面PEF ，得到PE AD ⊥，从而PE ⊥平面ABCD ；
（2）以A 为坐标原点如图建立空间直角坐标系，设面APD 的法向量为(),,n x y z =
，
则sin cos ,PC n
PC n PC n
θ⋅==⋅
.【小问1
详解】
取AD 中点为F ，连接AE ，FE ，FP ，EP ，∵PB PD =，E 为BD 中点，∴PE BD ⊥∵PA PD =，F 为AD 中点，∴PF AD ⊥，又因为EF AD ⊥，EF PF F = ，
,EF PF ⊂ 平面PEF ，AD ∴⊥平面PEF ，∴PE AD ⊥．PE BD ⊥ ，AD BD D = ，,AD BD ⊂ 平面ABCD PE ∴⊥平面ABCD ．
【小问2
详解】
解：以A 为坐标原点如图建立空间直角坐标系，设1AB =
，AD ∴=
，设PE h =，
,//CE AB EF AB ∥Q ，所以,,C E F 三点共线，
在ABD △
中，AD =
，90BAD ∠=︒，
πtan ,(,π),DAB DAB DAB ∴∠=∠∈∴∠=303
πBEC FED ABD ∴∠=∠=∠=
3
，在Rt BCD 中，E 为BD 中点，BE EE BD ∴==
12
得(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，33(,,0)22
C ，(0,3,0)
D ，13(,,0)22
E ，13,,22P h ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
，
有13,,22AP h ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭
，()
1,3,0BD =-
，
∴221|cos ,|421BD AP BD AP BD AP h ⋅===+
得1h =．
所以(,,),(,
,),(,,)PC AP AD =-==13
101103022
设面APD 的法向量为(),,n x y z = ，∴0
n AD n AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，30
13
02
2y x y z ⎧=⎪
∴⎨++=⎪⎩，令1z =有()2,0,1n =- ，设PC 与面PAD 的夹角为θ，则3310
sin cos ,10
25
PC n
PC n PC n
θ⋅====⋅
．22.已知双曲线E ：221x y -=，双曲线C 与E 共渐近线且经过点()
5,1
-（1）求双曲线C 的标准方程．
（2）如图所示，点P 是曲线C 上任意一动点（第一象限），直线PA x ⊥轴于点A ，PB y ⊥轴于点B ，直
线AB 交曲线E 于点Q （第一象限），过点Q 作曲线E 的切线交PB 于点K ，交y 轴于点J ，求
KQA BQJ S S +△△的最小值．
【答案】（1）224x y -=（2）2【解析】
【分析】（1）由题意设C ：22x y m -=，将()
代入解方程即可得出答案.
（2）设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，设AQ QB λ=
，表示出Q 点坐标，代入E ：221x y -=方程，即可求得,22m n Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，进一步求出,K J 的坐标，而KQA BQJ BKJ S S S += ，而12BKJ S KB JB =⋅ ，代入化简
结合基本不等式即可得出答案.【小问1详解】
由题意设C ：22x y m -=，
将()
代入得到4m =，∴曲线C ：224x y -=．【小问2详解】
设(),P m n ，(),0A m ，()0,B n ，(),Q x y ，则224m n -=（*）
设AQ QB λ=
，则()(),,AQ x m y QB x n y λλ=-==-- ，
解得：,,,1111m n m n x y Q λλλλλλ⎛⎫=
= ⎪++++⎝⎭
，代入E ：221x y -=方程，得()()2
2
21m n λλ-=+，结合（*）式可知()()2
1130
n λλλ⎡⎤-+++=⎣⎦由于0λ>，则()2
130n λλ+++>，所以1λ=．
所以Q 是A 、B 的中点，,22m n Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭
．
因为四边形OAPB 是矩形，(),0A m ，,22m n Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
，所以Q 为四边形OAPB 的中心，所以AQ BQ =，
在AQK 与BQK △中，AQ BQ =，分别以,AQ BQ 为底时，高相同，所以KQA KQB S S = ，
则KQA BQJ KQB BQJ BKJ S S S S S +=+=△△△△△，因为过双曲线221x y -=上一点,22m n Q ⎛⎫
⎪⎝⎭
的切线方程为122m n x y -=，
所以直线KJ 的方程为：
122
m n
x y -=即2mx ny -=，因为K B y y n ==，所以22,n K n m ⎛⎫+
⎪⎝⎭，令0x =，所以20,J n ⎛
⎫- ⎪⎝⎭，()
2
2
2
211221222BKJ
n n S KB JB n m n mn
++=⋅=⋅+==
=
，，
令222t n =+>
，
BKJ
S ==△，令2
40s t =-
>，
2BKJ S
==
≥△．当且仅当16
s s
=
，即4s =
，28t =，22n =-时，取得最小值．。