椭圆教案(含基础题)

第二章 圆锥曲线与方程 知识体系总览
§2.1椭圆 知识梳理
1、椭圆及其标准方程
（1）.椭圆的定义：椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .
（2）.椭圆的标准方程：1
2
22
2=+
b
y a
x
1
2
22
2=+
b
x a
y
（a ＞b ＞0）
（3）.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2
x 项的分母大于
2
y
项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上.
2、椭圆的简单几何性质（a ＞b ＞0）.
（1）．椭圆的几何性质：设椭圆方程1
2
22
2=+
b
y a x
, 线段
1A 2
A 、
1B 2
B 分别叫做椭圆的长轴
和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ，
(2).离心率： a c e
=
=
0＜e ＜1.e 越接近于1时，椭圆越扁；反之，e 越接近于0
时，椭圆就越接近于圆. (3)椭圆的焦半径：
ex
a MF +=1，ex a MF -=2.2a =2
b +2
c
(4).椭圆的的内外部点
00(,)
P x y 在椭圆222
2
1(0)x
y a b a
b
+
=>>的内部
22
002
2
1
x y a
b
⇔
+
< (5).焦点三角形21F PF ∆经常利用余弦定理、三角形面积公式将有关线段
1
PF 、
2
PF 、2c ，
有关角21PF F ∠结合起来，建立12PF PF +、12
PF PF ⋅等关系．面积公式：1
2
F PF
S ∆=2
tan
2b θ
§2.1.1椭圆及其标准方程
典例剖析
题型一 椭圆的定义应用 例1：
例2：已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（2,0）且过点53(,)
2
2-，求椭圆的标准方程
备选题
例3：设点P 是圆
2
2
4
x y +=上的任一点，定点D 的坐标为（8，0），若点M 满足
2P M M D =
．当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹方程．
点击双基
1、．中心在原点，焦点在横轴上，长轴长为4，短轴长为２，则椭圆方程是（ ）
A. 2
2
1
4
3
x
y
+
= B. 2
2
1
3
4
x
y
+
= C. 2
2
1
4
x
y += D.
2
2
1
4
y
x +
=
2 若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，一个焦点的坐标是（3，0），则椭
圆的标准方程为（ ）
A 1
16
9
2
2
=+
y
x
B 1
16
25
2
2
=+
y
x
C 1
25
16
2
2
=+
y
x
D 1
9
16
2
2
=+
y
x
３.与椭圆9x2+4y2=36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是( )
A 1
85
80
145
20
125
20
120
252
2
2
2
2
2
2
2
=+
=+
=+
=+
y
x
D
y
x
C
y
x
B
y
x
翰林汇
4、椭圆
5
52
2=+ky
x 的一个焦点坐标是)2,0(，那么=k ________
5、椭圆的焦点为12(0,5),(0,5)
F F -，点(3,4)P 是椭圆上的一个点，则椭圆的方程为
课外作业 一、选择题
1．已知椭圆1
16
25
2
2
=+
y
x
上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一焦点距离为
（） A 2
B 3
C 5
D 7
2．若椭圆的两焦点为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点
)
2
3,2
5(
-
，则椭圆方程是 （ ）
A ．
1
4
8
2
2
=+
x
y
B ．
1
6
10
2
2
=+
x
y
C ．
1
8
4
2
2
=+
x
y
D ．1
6
10
2
2
=+
y
x
3．若方程x2+ky2=2表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围为 （ ） A ．（0，+∞） B ．（0，2）
C ．（1，+∞）
D ．（0，1）
4．若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6，则椭圆的方程为（）
A ．1
16
9
2
2
=+
y
x
B ．1
16
25
2
2
=+
y
x
C ．1
16
25
2
2
=+
y
x
或1
25
16
2
2
=+
y
x
D ．以上都不
对
5．椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P 为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（ ）。

A 16x
2
＋9y
2
＝1 B 16x
2
＋12y
2
＝1 C 4x
2
＋3y
2
＝1 D 3x
2
＋4y
2
＝1 6、椭圆
)
0(02
2
<<=++n m mn ny
mx
的焦点坐标为（）
A 、()n m -±,0
B 、()n m -±,0
C 、()m n -±,0
D 、()
m n -±,0
7．已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆x 2
3
＋y2＝1上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另
外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 ( )
（A ）2 3 （B ）6 （C ）4 3 （D ）12 8．设定点F1（0，－3）、F2（0，3），动点P 满足条件)
0(921>+
=+a a
a PF PF ，则点P 的
轨迹是（）
A ．椭圆
B ．线段
C ．不存在
D ．椭圆或线段 二 、填空题
9方程2
2
1
||1
2
x
y
m +
=-表示焦点在y 轴的椭圆时，实数m 的取值范围是______
10．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为________ 11、如果M(x,y)在运动过程中，总满足关系式10
)
3()
3(2
22
2=-++++y x y x ，则
M 的轨迹方程是 三、解答题 12．将圆22
4
x y +=上的点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的一半，求所得曲线的方
程，并说明它是什么曲线．
13．
14．
思悟小结
要灵活运用椭圆的定义来解决问题，一般情况下涉及焦点问题则应首先考虑定义。

要求椭圆的标准方程包括“定位”和“定量”两个方面。

“定位”是指确定椭圆与坐标系的相对位置，在中心是原点的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；“定量”是指的 2
a 与2
b 具体数值，常用待定系数法.当椭圆的焦点位置不明确时，可设方程为2
2
1(0,0)
x
y
m n m
n
+
=>>，也可以设方程为
22
1(0,0)
Ax By A B +=>>，避免讨论和繁
杂的计算
§2.1.2椭圆的简单的几何性质（第一课时）
典例剖析
题型一 求椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标等．
例1 已知椭圆22
(3)(0)x m y m m ++=>的离心率2e =
，求m 的值及椭圆的长轴和短
轴的长、焦点坐标、顶点坐标．
题型二 椭圆的几何性质简单应用
例2 设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是( )
A
．2 B
．12
C
．2- D
1-
备选题
例3： 椭圆1
2
22
2=+
b
y a
x
(a>b>0)的左焦点F 到过顶点A(-a, 0), B(0,b)的直线的距离等于7b
，
求该椭圆的离心率.
点击双基
1 中心在原点，焦点在x 轴上，焦距等于6，离心率等于53
，则椭圆的方程是（ ）
A.1
36
100
2
2
=+
y
x
B.1
64
100
2
2
=+
y
x
C.1
16
25
2
2
=+
y
x
D.1
9
25
2
2
=+
y
x
3
1
F 、
2
F 是椭圆1
7
9
2
2
=+
y
x
的两个焦点，A 为椭圆上一点，且∠0
2145=F AF ，则
Δ
12
AF F 的面积（ ）
A 7
B 47
C 27
D
2
5
7
4．．椭圆2
2
1
25
9
x
y
+
=上的点M 到焦点F1的距离是2，N 是MF1的中点，则|ON|为
5、若方程m
a
x y a x y
=-∙
+(a>0，y ≠0)表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是
课外作业 一、选择题
1.已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为31
，则椭圆的方程是( )
A.1442
x
+1282
y
=1 B.362
x
+202
y
=1 C.322
x
+362
y
=1 D.362
x
+322
y
=1
2
3．椭圆
1
2
22
2=+
b
y a
x
和
k
b
y a
x
=+
2
22
2()0>k
具有 （ ）
A ．相同的离心率
B ．相同的焦点
C ．相同的顶点
D ．相同的长、短轴
4．若椭圆短轴上的两顶点与一焦点的连线互相垂直，则离心率等于( )
A. 1
2
B. 2
C.
D. 2
5. 椭圆1
24
49
2
2
=+y
x
上一点P 与椭圆的两个焦点1F 、2F 的连线互相垂直，则△21F PF 的面
积为 （） A 21 B 22 C 23 D 24
6．椭圆1
4
162
2
=+
y
x
上的点到直线0
22=-
+y x 的最大距离是 （ ）
A ．3
B ．
11
C ．2
2
D ．10
7．椭圆两焦点为
1(4,0)F -，
2(4,0)
F ，P 在椭圆上，若 △
12
P F F 的面积的最大值为12，
则椭圆方程为（ ）
A. 2
2
1
16
9
x
y
+
= B . 2
2
1
25
9
x
y
+
= C . 2
2
1
25
16
x
y
+
= D . 2
2
1
25
4
x
y
+
=
8．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆1
2
2
2
=+y
x
交于P1，P2，线段P1P2的中点为P ，设
直线m 的斜率为k1（
1≠k ），直线OP 的斜率为k2，则k1k2的值为
（ ）
A ．2
B ．－2
C ．21
D ．－21
二 、填空题
9．已知点（0, 1)在椭圆x25 + y2
m
= 1 内，则m 的取值范围是
10．椭圆2
2
1
8
9x
y
k +
=+的离心率为1
2，则k 的值为___________． 11．设A B 是椭圆2
22
2
1
x
y a b
+=的不垂直于对称轴的弦，M 为A B 的中点，O 为坐标原点，
则
AB O M k k ⋅=
____．
三解答题
12.
13已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32
=
e ，短轴长为58，求椭圆的方程．
14椭圆
1
2
22
2=+
b
y a
x
(a ＞b ＞)0与直线1=+
y x 交于P 、Q 两点，且OQ OP ⊥，其中O
为坐标原点.（1）求2
2
1
1
b a +
的值；（2）若椭圆的离心率e 满足33
≤e ≤22
，求椭圆长
轴的取值范围.
思悟小结
1.要准确把握椭圆的标准方程的结构特征以及“标准”的含义，能从椭圆的标准方程读出几
何性质，更要能够利用标准方程解决问题，在解题时要深刻理解椭圆中的几何量2
,,,,
a
a b c e c
等之间的关系及每个量的本质含义，并能熟练地应用于解题。

2.要能熟练地应用几何性质来分析问题，特别是离心率作为几何性质之一，必须重点突破。

§2.1.2椭圆的简单的几何性质（第二课时） 典例剖析
题型一 直线与椭圆
例1 已知椭圆C 的焦点F1（－22，0）和F2（22，0），长轴长6，设直线2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标．
题型二 求椭圆弦长、中点、垂直、最值等问题
例2
备选题
例3．在ABC ∆中，BC=24，AC 、AB 边上的中线长之和等于39，求ABC ∆的重心的轨迹方程。

点击双基 1
3．点P 是椭圆1
5
92
2
=+
y
x
上的点，1F 、2F 是椭圆的左、右焦点，则△21F PF 的周长是（ ）
（A ）12
（B ）10
（C ）8
（D ）6
4．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于_________
5．已知()y x P ,是椭圆1
251442
2
=+y
x
上的点，则y x +的取值范围是____________
课外作业
一、选择题
2．椭圆
2
2
1
x m y +=的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m 的值为（ ）
A ．1
4 B ．1
2 C ． 2 D ．4
3、若椭圆经过点P （2，3），且焦点为F1(－2,0),F2(2,0)，则这个椭圆的离心率等于（ ） A.
22 B. 13 C. 12 D.3
2
4．已知椭圆方程为x28 + y2m2= 1 ，焦点在x 轴上，则其焦距等于
（ ）
（A ）28–m2 （B ）222–|m| （C ）2m2–8 （D ）2|m|–2 2
5．若椭圆x216 + y2m = 1的离心率为1
3, 则m 的值等于
（ ）
（A ）18或
124
9
（B ）18或1289 （C ）16或1249 （D ）16或128
9
6．已知F 是椭圆1
2
22
2=+
b
y a
x
(a>b>0)的左焦点, P 是椭圆上的一点, PF ⊥x 轴, OP 原点), 则该椭圆的离心率是 （ ）
（A ）22
（B ）42
（C ）21
(D) 23
7．若P 是椭圆2
219
4x y +=上一点,F1、F2为其焦点，则cos ∠F1PF2的最小值是（ ） A ．12 B ．－1 C ．19 D ．1
9-
8设11229(,),(4,),(,)5A x y B C x y 是右焦点为F 的椭圆221259x y +=上三个不同的点，则“,,AF BF CF 成等差数列”是“128x x +=”的（ ）.
A.充要条件
B.必要不充分条件
C.充分不必要条件
D.既非充分也非必要
二 、填空题
9．椭圆x2m + y24
= 1 的焦距为2,则m 的值为 10．椭圆的焦点在y 轴上，一个焦点到长轴的两端点的距离之比是1∶4, 短轴长为8, 则椭圆的标准方程是
11、长为3的线段AB 的端点A 、B 分别在x 、y 轴上移动，动点C （x ，y ）满足CB AC 2=，则动点C 的轨迹方程是
.
三、解答题
12已知椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个等边三角形，焦点到同侧顶点的距离为3，求椭圆的方程。

13
．直线
y kx =+2
213x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅= （其中O 为坐标原点），求k 的值．
14已知椭圆G 的中心在坐标原点，长轴在x 轴上，离心率为23
，两个焦点分别为1F 和2F ,
椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12，圆k C :021422
2=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A .
（1） 求椭圆G 的方程；（2）求
21F F A k ∆的面积；（3）问是否存在圆k C 包围椭圆G? 请
说明理由.
思悟小结
1,在直线与椭圆的位置关系问题中，要注意弦长问题，垂直问题、中点弦问题等，解决的一般思路是联立直线与椭圆的方程组，消去一个未知量，通过题意找到根与系数的关系，利用韦达定理列式求解。

2把椭圆方程2
2221(0)x y a b a
b +=>>与直线方程y kx b =+联立消去y ，整理成形如20Ax Bx C ++=的形式，对此一元二次方程有：
（1）0∆>，直线与椭圆有两个公共点,P Q ，此时的弦长的求法：①求两点,P Q 的坐标，
利用两点间的距离公式；②由韦达定理得到弦长公式
p q PQ x =-，涉及弦长问
题，常用“韦达定理”设而不求计算弦长。

（2）0,∆=直线与椭圆有一个公共点，相切
（3）0,∆<直线与椭圆有无公共点，相离。