玉田县2018-2019学年度第二学期期末考试高二文数学试题及答案

玉田县2018-2019学年度第二学期期末考试
高二数学文科
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中， 1．下面结论正确的是
①“所有2的倍数都是4的倍数，某数是2的倍数，则一定是4的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的.
②在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适. ③由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理.
④一个数列的前三项是1,2,3，那么这个数列的通项公式必为
.
A ．①③
B ．②③
C ．③④
D ．②④
2．如图是《选修1－2》第二章“推理与证明”的知识结构图，不是证明方法的是
A ．综合法
B ．类比
C ．反证法
D ．分析法
3．下面关于复数2
1i
z =
--的四个命题： 1:2
p z =
2:p z 的共轭复数z 在复平面内对应的点的坐标为()1,1--
3:p z 的虚部为-1 24:2i
p z =- 其中的真命题是
A ．23,p p
B ．12,p p
C ．24,p p
D ．34,p p
4．请考生在第（1），（2）两题中任选一题作答，
(1)圆半径是1，圆心的极坐标是(1,)π，则这个圆的极坐标方程是 A ．αρcos -= B ．αρcos 2-=
C ．αρsin =
D ．αρsin 2=
(2)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立,则a 的取值范围是 A ．}8|{≥a a B ． }8|{<a a
C ．}8|{>a a
D ． }8|{≤a a
5．若cos isin (i z θθ=+为虚数单位），则21z =-的θ值可能是
A ．
6π B ．4
π
C.
2
π
D ．
3
π 6．函数3()3f x x ax a =++在)1,0(内有极小值，则
A ．01a <<
B ．10a -<<
C ．0a <
D ．1a <-
7．直线45
325x t y t
⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
(t 为参数)被曲线52cos 32sin x θy θ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)所截得的弦长为
A ．2
B ．4
C
D
．8．函数x x x f cos )(=的导函数)(x f '在区间],[ππ-上的图像大致是（ ）
A B C D 9．已知复数,(,)z x yi x y R =+∈, 满足15z += , 那么z 的最大值是
A ．1
B ．4
C ．5
D ． 6
10．已知直线y kx =与曲线ln y x =相切，则k 的值为
A ．e
B ．e -
C ．
1e D ．1e
- 11. 某程序框图如图所示，执行该程序，若输入的p 的值为64，则该算法的功能是
A ．求34563++++的值
B ．求34564+++
+的值
C ．求数列{3}n 的前6项和
D ．求数列{3}n 的前7项和
12．已知函数2
()sin cos f x x x x x =++，则不等式1(ln )(ln )2(1)0f x f f x
+-<的解
集为 A ．1(,)e e
B ．(,)e +∞
C ．(0,)e
D ．1(0,)
(1,)e e
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．函数32()26(f x x x m m =-+为常数） 在[22]-，上有最大值3，那么此函数在[22]-，
上的最小值为 14．观察下列式子，1
11111
ln 2,ln 3,ln 4,335357
>>
+>++……，根据上述规律，第n 个不等式应该为 ．
15．在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为⎩⎨
⎧=+=θ
θ
θ2sin cos sin y x （θ为参数），
若以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的
极坐标方程为：sin 42πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭
（其中t 为常数）.若曲线N 与曲线M 有两个不同的公共点，求t 的取值范围 .
16．一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果为5
6
，则判断框中的条件中的整数m 的值是_______________.
三、解答题：（本题满分90分，要求写出必要的步骤和过程） 17．（10分）
某公司经营一种二手机械，对该型号机械的使用年数x 与再销售价格y （单位：百万元/
（1）求y 关于x 的回归直线方程y ˆ＝b ˆx ＋a ˆ；
（2）该机械每台的收购价格为p ＝0.05x 2－1.8x ＋17.5（百万元），根据（1）中所求
的回归方程，预测x 为何值时，此公司销售一台该型号二手机械所获得的利润Q 最大？
附：参考公式：b ˆ＝n
i ＝1∑x i y i －n ·x -y -n i ＝1∑x 2i －nx
-2，a ˆ＝y -－b ˆx -．参考数据 5i ＝1∑x 2i ＝220，5i ＝1∑x i y i ＝247 18．选考题：请考生在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

(本小题满分12分)。

一、选修4—4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋2t ，
y ＝2t
(t 为参数)，以坐标原
点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝4
1＋sin 2θ
.
(Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(Ⅱ)设P 为曲线C 上的点，PQ ⊥l ，垂足为Q ，若||PQ 的最小值为2，求m 的值． 二、[选修4-5：不等式选讲]
设函数f (x )＝|x ＋1|－|x |的最大值为m ． （Ⅰ）求m 的值；
（Ⅱ）若正实数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求a 2b ＋1＋b 2
a ＋1
的最小值．
19．某市调研考试后，某校对甲、乙两个文科班的
数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分
为优秀，120分以下为非优秀．统计成绩后，得到
如下的列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110
人中随机抽取1人为优秀的概率为
3
11
． （I ）请完成上面的列联表；
（II ）根据列联表的数据，若按99.9%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”； （III ）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人；把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号．试求抽到9号或10号的概率． 附：，其中n a b c d =+++.
20．（本题满分12分）
已知椭圆1cos :3sin x m C y m θθ
⎧
=⎪⎨⎪=⎩其中(0,m θ＞为参数), 直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． (Ⅰ) 当1k =时，求椭圆C 的离心率。

（Ⅱ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； 21. （本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足3
(,,0)2
n n S a b n N b R b *=+∈∈≠.
（I ）求证：{}n a 是等比数列； （II ）用反证法证明：{}1n a +不是等比数列. 22．（本小题满分12分）已知函数2
()(1+)1x
f x ax e
=-．
（1）当0a ≥时，讨论函数()f x 的单调性；（2）求函数()f x 在区间[0,1]上零点的个数．
2018--2019学年度第二学期期末考试
高二文科数学参考答案
一、选择题：ABCBC BDADC DA
二、填空题：13. 37
-
14.
1111
ln(1),
35721
n
n
+>++++
+
15.
5
,1
4
t
⎛⎤
∈-
⎥
⎝⎦
.
16.第一次循环：；第二
次循环：
；第三次循环：；第四次循环：；
第五次循环：，输出，不满足判断框中的条件，判断框中的条件，故答案为.
三、解答题：
17.
解：(1)由所给数据可得：
13981012
10.4
5
x
++++
==，
3223182428
25
5
y
++++
==，5
1
52
2
2
1
5
1343510.425
2.5
558510.4
5
i i
i
i
i
x y x y
b
x x
=
=
-
-⨯⨯
===
-⨯
-
∑
∑
，25 2.510.41
a y bx
=-=-⨯=-，
则y关于x的线性回归方程为 2.51
y x
=-. ---------5分
(2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15
x=时，36.5
y=，即预计需要原材料36.5袋，因为
40020,036,
380,36,
t t t N
C
t t t N
-<<∈
⎧
=⎨
≥∈
⎩
，所以当36
t<时，
利润()
7004002030020
L t t t
=--=+，当35
t=时，
max
300352010480
L=⨯-=；
当36t ≥时，利润70036.5380L t =⨯+，当36t =时，max 70036.53803611870L =⨯-⨯=. 综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11870元. ---------10分
18．一、 (Ⅰ)因为曲线C 的极坐标方程为ρ2＝4
1＋sin 2θ
，
即ρ2＋ρ2sin 2θ＝4，
将ρ2＝x 2＋y 2
，ρsin θ＝y 代入上式并化简得x 24＋y 22
＝1，---------3分
所以曲线C 的直角坐标方程为x 24＋y
22
＝1，
直线l 的普通方程为x －2y －m ＝0. ---------6分
(Ⅱ)设P(2cos θ，2sin θ)，由点到直线的距离公式得
||PQ ＝||2cos θ－2sin θ－m 3＝⎪⎪⎪⎪
22cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π4－m 3
，----8分
由题意知m≠0，
当m>0时，||PQ min ＝||
22－m 3
＝2，得m ＝23＋22；
当m<0时，||PQ min ＝||
－22－m 3
＝2，得m ＝－23－22；
所以m ＝23＋22或m ＝－23－2 2.---------12分 二、解：
（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，
2x ＋1，－1＜x ＜1，1，
x ≥1，
由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )取得最大值1． 所以m ＝1． …6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1， a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝
1
3(a 2b ＋1＋b 2
a ＋1
)
[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝ 1
3[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2
(b ＋1)a ＋1
]
≥
1
3(
a 2＋
b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)
a ＋1
)
＝ 1
3(a ＋b )2 ＝ 1
3
． 当且仅当a ＝b ＝
1
2
时取等号．
即a 2b ＋1＋b 2a ＋1
的最小值为
1
3． …12分
19.解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下；
…4分
（Ⅱ）根据列联表中的数据，计算
K 2=
≈7.487＜10.828，…8分
因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”；…
（Ⅲ）设“抽到9或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x ，y ），所有的基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），…，（6，6）共36个；…
事件A 包含的基本事件有（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），（5，5），（4，6），（6，4）共7个；…
∴P （A ）=
，即抽到9号或10号的概率为
．…12分
20.(Ⅰ)消去参数得椭圆C 的直角坐标方程：2
2
91x y +=……… 3 分
∴11,3
a b ==
c ==，c e a ==分
（Ⅱ）证明：消去参数得椭圆C 的直角坐标方程2
2
2
9x y m +=
设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将y kx b =+代入2
2
2
9x y m +=得2
2
2
2
(9)20k x kbx b m +++-=，……… 10分 故122
29M x x kb x k +=
=-+， ∴ 299
M M b y kx b k =+=+ ……… 11分
于是直线OM 的斜率9
M OM M y k x k
=
=- ，即9OM k k ⋅=- 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；……… 12分 21. 证明：（I ）当n=1时，113
2
a a
b =+ 所以12a b =-，由0b ≠可知10a ≠ 因为32n n S a b =
+，所以当2n ≥时113
2
n n S a b --=+， ---------3分 两式相减得113
3()()2
2
n n n n S S a b a b ---=+-+，
即133
22
n n n a a a -=
-，所以13n n a a -= ，由10a ≠，得0n a ≠ 因此
1
3n
n a a -=，故{}n a 是公比为3q =的等比数列。

---------6分 （II ）(方法一)假设{}1n a +是等比数列，则有2
11(1)(1)(1)n n n a a a -++=++，
即2
1111211n n n n n n a a a a a a -+-+++=+++. ---------9分
由（I ）知{}n a 是等比数列，所以2
11n n n a a a -+=，
于是112n n n a a a -+=+，即11169n n n a a a ---=+，解得10n a -=，
这与{}n a 是等比数列相矛盾， --------11分 故假设错误，即{}1n a +不是等比数列. ---------12分
(方法二) 由（I ）知 1
23n n a b -=-⋅.---------8分
于是123112,116,1118a b a b a b +=-+=-+=-
假设{}1n a +是等比数列，则有2
213(1)(1)(1)a a a +=++， ---------10分
即2
(16)(12)(118)b b b -=--，解得0b =， 这与0b ≠相矛盾， ---------11分
故假设错误，即{}1n a +不是等比数列. ---------12分 22．解：（1）
2'()(21)x f x ax ax e =++
……………1分
当0a =时，'()0x
f x e =≥，此时()f x 在R 单调递增；
……………2分
当0a >时，2
=44a a ∆-
①当01a <≤时，0∆≤，2
210ax ax ++≥恒成立，'()0f x ∴≥，此时()f x 在R 单
调递增；……3分
②当1a >时，令12'()011f x x x =⇒=--=-+
即()f x 在(,1-∞-和(1)-+∞上单调递增；在(11--上单调递
减；
……5分
综上：当01a ≤≤时，()f x 在R 单调递增；
当1a >时，()f x 在(,1-∞-和(1)-+∞上单调递增；在
(11--上单调递减；
…………………6分
（2）由（1）知，
当01a ≤≤时，()f x 在[0,1]单调递增，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；
当1a >时，10-且10-<，()f x ∴在[0,1]单调递增；(0)=0f ，此时
()f x 在区间[0,1]上有一个零点；
当0a <时，令'()010f x x =⇒=-（负值舍去）
①当11-即1
03
a -
≤<时，()f x 在[0,1]单调递增，(0)=0f ，
此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；
②当11-即13
a <-时
若(1)0f >即1113a e -<<-时，()f x 在[0,1-单调递增，在[1-+单调递减，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；
若(1)0f ≤即11a e ≤
-时，()f x 在[0,1-单调递增，在[1-+单调
递减，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有零点0x =和在区间[1-有一个零点共两个零点；
综上：当11a e ≤-时，()f x 在区间[0,1]上有2个零点；
当1
1a e
>-时，()f x 在区间[0,1]上有1个零点. …………12分
2018--2019学年度第二学期期末考试
高二文科数学参考答案
一、选择题：ABCBC BDADC DA
二、填空题：13. -37; 14.
1111
ln(1),
35721 n
n
+>++++
+
15.
5
,1
4
t
⎛⎤
∈-
⎥
⎝⎦
. 16. 6．
三、解答题：
17. 17．解：
（1）x－＝
1
5(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
y－＝
1
5(16＋13＋9.5＋7＋5)＝10.1，…2分5
i＝1
∑x2
i
＝220，
5
i＝1
∑x i y i＝247．
bˆ＝
5
i＝1
∑x i y i－5·x-y-
5
i＝1
∑x2
i
－5x-2
＝－1.4，…6分
aˆ＝y-－bˆx-＝18.5．
所求回归直线方程为：yˆ＝－1.4x＋18.5．…6分（2）（1）由题可知，
Q＝－1.4x＋18.5－(0.05x2－1.8x＋17.5)
＝－0.05x2＋0.4x＋1
＝－0.05(x－4)2＋1.8，
故预测当x＝4时，销售利润Q取得最大值．…10分18．一、(Ⅰ)因为曲线C的极坐标方程为ρ2＝
4
1＋sin2θ
，
即ρ2＋ρ2sin2θ＝4，
将ρ2＝x2＋y2，ρsin θ＝y代入上式并化简得
x2
4＋
y2
2＝1，---------3分所以曲线C的直角坐标方程为
x2
4＋
y2
2＝1，
直线l的普通方程为x－2y－m＝0. ---------6分
(Ⅱ)设P(2cos θ，2sin θ)，由点到直线的距离公式得
||
PQ＝
||
2cos θ－2sin θ－m
3
＝
⎪
⎪
⎪
⎪
22cos⎝⎛⎭⎫
θ＋
π
4－m
3
，----8分
由题意知m≠0，
当m>0时，||
PQ
min
＝
||
22－m
3
＝2，得m＝23＋22；
当m<0时，||
PQ min ＝||
－22－m 3
＝2，得m ＝－23－22； 所以m ＝23＋22或m ＝－23－2 2.---------12分 二、解：
（Ⅰ）f (x )＝|x ＋1|－|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，x ≤－1，
2x ＋1，－1＜x ＜1，1，
x ≥1，
由f (x )的单调性可知，当x ≥1时，f (x )取得最大值1． 所以m ＝1． …6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，a ＋b ＝1， a 2b ＋1＋b 2a ＋1＝
1
3(a 2b ＋1＋b 2
a ＋1
)
[(b ＋1)＋(a ＋1)] ＝ 1
3[a 2＋b 2＋a 2(a ＋1)b ＋1＋b 2
(b ＋1)a ＋1
]
≥
1
3(
a 2＋
b 2＋2a 2(a ＋1)b ＋1·b 2(b ＋1)
a ＋1
)
＝ 1
3(a ＋b )2 ＝ 1
3
． 当且仅当a ＝b ＝
1
2
时取等号．
即a 2b ＋1＋b 2a ＋1
的最小值为
1
3． …12分
19.解：（Ⅰ）根据题意，填写列联表如下；
…4分
（Ⅱ）根据列联表中的数据，计算
K 2=
≈7.486＜10.828，…8分
因此按99.9%的可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”；…
（Ⅲ）设“抽到9或10号”为事件A ，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x ，y ），所有的基本事件有（1，1），（1，2），（1，3），…，（6，6）
共36个；…
事件A 包含的基本事件有（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），（5，5），（4，6），（6，4）共7个；… ∴P （A ）
=
，即抽到9号或10
号的概率为
．…12分
20.(Ⅰ)消去参数得椭圆C 的直角坐标方程：2291x y +=……… 3 分
∴11,3
a b ==
c ==
，c e a ==分
（Ⅱ）证明：消去参数得椭圆C 的直角坐标方程2
2
2
9x y m +=
设直线:l y kx b =+(0,0)k b ≠≠，11(,)A x y ，22(,)B x y ，(,)M M M x y ． 将y kx b =+代入2
2
2
9x y m +=得2
2
2
2
(9)20k x kbx b m +++-=，……… 10分 故122
29M x x kb x k +=
=-+， ∴ 299
M M b y kx b k =+=+ ……… 11分 于是直线OM 的斜率9
M OM M y k x k
=
=- ，即9OM k k ⋅=- 所以直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值；……… 12分 21. 证明：（I ）当n=1时，113
2
a a
b =+ 所以12a b =-，由0b ≠可知10a ≠ 因为32n n S a b =
+，所以当2n ≥时113
2
n n S a b --=+， ---------3分 两式相减得113
3()()2
2
n n n n S S a b a b ---=+-+，
即133
22
n n n a a a -=
-，所以13n n a a -= ，由10a ≠，得0n a ≠ 因此
1
3n
n a a -=，故{}n a 是公比为3q =的等比数列。

---------6分 （II ）(方法一)假设{}1n a +是等比数列，则有2
11(1)(1)(1)n n n a a a -++=++，
即2
1111211n n n n n n a a a a a a -+-+++=+++. ---------9分
由（I ）知{}n a 是等比数列，所以2
11n n n a a a -+=，
于是112n n n a a a -+=+，即11169n n n a a a ---=+，解得10n a -=，
这与{}n a 是等比数列相矛盾， --------11分 故假设错误，即{}1n a +不是等比数列. ---------12分
(方法二) 由（I ）知 1
23n n a b -=-⋅.---------8分
于是123112,116,1118a b a b a b +=-+=-+=-
假设{}1n a +是等比数列，则有2
213(1)(1)(1)a a a +=++， ---------10分
即2
(16)(12)(118)b b b -=--，解得0b =， 这与0b ≠相矛盾， ---------11分
故假设错误，即{}1n a +不是等比数列. ---------12分 22．解：（1）
2'()(21)x f x ax ax e =++
……………1分
当0a =时，'()0x
f x e =≥，此时()f x 在R 单调递增；
……………2分
当0a >时，2
=44a a ∆-
①当01a <≤时，0∆≤，2
210ax ax ++≥恒成立，'()0f x ∴≥，此时()f x 在R 单
调递增；……3分
②当1a >时，令12'()011f x x x =⇒=--=-+
即()f x 在(,1-∞-和(1)-+∞上单调递增；在(11--上单调递
减；
……5分
综上：当01a ≤≤时，()f x 在R 单调递增；
当1a >时，()f x 在(,1-∞-和(1)-+∞上单调递增；在
(11--上单调递减；
…………………6分
（2）由（1）知，
当01a ≤≤时，()f x 在[0,1]单调递增，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；
当1a >时，10-且10-<，()f x ∴在[0,1]单调递增；(0)=0f ，此时
()f x 在区间[0,1]上有一个零点；
当0a <时，令'()010f x x =⇒=-（负值舍去）
①当11-即1
03
a -
≤<时，()f x 在[0,1]单调递增，(0)=0f ，
此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；
②当11-即13
a <-时
若(1)0f >即1113a e -<<-时，()f x 在[0,1-单调递增，在[1-+单调递减，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有一个零点；
若(1)0f ≤即11a e ≤
-时，()f x 在[0,1-单调递增，在[1-+单调
递减，(0)=0f ，此时()f x 在区间[0,1]上有零点0x =和在区间[1-有一个零
点共两个零点；
综上：当
1
1
a
e
≤-时，()
f x在区间[0,1]上有2个零点；
当
1
1
a
e
>-时，()
f x在区间[0,1]上有1个零点.
…………12分。