山东省淄博市桓台第一中学2019_2020学年高一数学下学期期中试题含解析.doc

山东省淄博市桓台第一中学2019-2020学年高一数学下学期期中试
题（含解析）
一、选择题（共 12 小题；每小题 5 分，共 60 分.） (一)单项选择题： 1.已知复数1
34z i
=
+，则下列说法正确的是（ ） A. 复数z 的实部为3 B. 复数z 的模为5 C. 复数z 部虚部为425i - D. 复数z 的共轭复数为
342525
i + 【答案】D 【解析】 【分析】
根据复数的除法运算法则化简式子，然后根据实部、虚部、模以及共轭复数的概念，可得结果.
【详解】由题可知：
()()2
1343434
3434349162525
--=
===-++--i i z i i i i i
复数z 的实部为325，虚部为425-15= 复数z 的共轭复数为34
i 2525
+，所以D 正确 故选：D
【点睛】本题考查复数的除法运算法则以及相关概念，重在对概念的理解以及计算，属基础题.
2.某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20000人，其中各种态度对应的人数如表所示:
电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中应抽选出的人数分别为（ ） A. 24，36，32，8 B. 48，72，64，16 C. 20，40，30，10 D. 25，25，25，25
【答案】A 【解析】 【分析】
计算每类人应抽选出的人数之比，然后根据所占的比例分别与100相乘，即可得结果. 【详解】每类人中各应抽选出的人数之比为4800:7200:6400:16006:9:8:2= , 所以人数分别为
69
10024,10036,69826982
⨯=⨯=++++++
82
10032,1008,69826982
⨯=⨯=++++++
选A.
【点睛】本题考查分层抽样，关键在于每一类所占比例的求取以及对分层抽样概念的理解，属基础题.
3. 下列事件：①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点；②明天下雨；③某人买彩票中奖；④从集合{1,2,3}中任取两个元素,它们的和大于2；⑤在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾．其中是随机事件的个数有 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C 【解析】
试题分析：连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2点这一事件可能发生也可能不发生，∴①是随机事件．
明天下雨这一事件可能发生也可能不发生，∴②是随机事件 某人买彩票中奖这一事件可能发生也可能不发生，∴③是随机事件 从集合{1，2，3}中任取两个元素，它们的和必大于2，∴④是必然事件 在标准大气压下，水加热到100℃时才会沸腾，∴⑤是不可能事件
考点：随机事件
4.如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC 边上一点，3BC EC =，
F 为AE 的中点，则BF =（ ）
A. 12
33AB AD - B. 21
33AB AD -
+ C. 12
33
AB AD -+
D. 21
33
AB AD -
【答案】B 【解析】 【分析】
利用向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理可得. 【详解】由图可知：
BF =
12BA +12BE ，BE =23BC ，BC =AC ﹣AB ，AC =AD +DC ，DC =1
2
AB ， ∴BF =﹣12AB +13（AD +12AB ﹣AB ）=﹣23AB +1
3AD ，
故选B ．
【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、三角形法则、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 5.已知cos(x―
6π3
cosx+cos(x―3π)的值是 A. 23 B. 23
C. ―1
D. ±1
【答案】C 【解析】
∵cos(x―
6π)=3cosx+12sinx=―3，∴cosx+cos(x―3π)=32cosx+3sinx=3
（
32cosx+12sinx ）=3×（―3
3
）=-1，故选C
6.三棱锥的三条侧棱两两垂直，其长分别为3,2,1，则该三棱锥的外接球的表面积（ ） A. 24π B. 18π
C. 10π
D. 6π
【答案】D 【解析】
由题意得外接球的直径等于23216R =++= ,所以表面积为224π=π(6)6πR = ,
选D.
点睛: (1)补形法的应用思路：“补形法”是立体几何中一种常见的重要方法，在解题时，把几何体通过“补形”补成一个完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积等问题，常见的补形法有对称补形、联系补形与还原补形，对于还原补形，主要涉及台体中“还台为锥”．
(2)补形法的应用条件：当某些空间几何体是某一个几何体的一部分，且求解的问题直接求解较难入手时，常用该法．
7.调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A. 互联网行业从业人员中90后占一半以上
B. 互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%
C. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80后多
D. 互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多 【答案】C 【解析】 【分析】
利用整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业岗位分布条形图即可判断各选项的真假．
【详解】在A 中，由整个互联网行业从业者年龄分布饼状图得到互联网行业从业人员中90后占56%，故A 正确；
在B 中，互联网行业中90后从事技术岗位中所占比例为0.5639.6%0.221760.2⨯=>，互联网行业中从事技术岗位的人数还包括80后，80前，所以互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%，是肯定的， 故B 正确；
在C 中，互联网行业中从事技术岗位的人数90后所占比例为56%×39.6%=22.176%<41%，所以不能判断互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多，故C 错误．
在D 中, 互联网行业中从事运营岗位的90后人数所占比例0.560.170.09520.03⨯=>， 故D 正确； 故选C ．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查饼状图、条形图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.已知A 是函数()sin 2018cos 201863f x x x ππ⎛⎫⎛
⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭的最大值，若存在实数12,x x 使得
对任意实数x 总有12()()()f x f x f x ≤≤成立，则12||A x x ⋅-的最小值为 A.
π
2018
B.
π1009
C.
2π
1009
D.
π
4036
【答案】B 【解析】 【分析】
利用三角恒等变换可得()220186f x sin x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
，依题意可知122,A x x =-的最小值为
121009
T π=，从而可得结论. 【详解】
()2018cos 201863f x sin x x ππ⎛⎫⎛
⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
112014cos 2018cos 2018201822x x x x =
+++
2018cos 2018x x =+
220186sin x π⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭，
()max 2A f x ∴==，周期220181009
T ππ
=
=， 又存在实数12,x x ，对任意实数x 总有()()()12f x f x f x ≤≤成立，
()()()()21max min 2,2f x f x f x f x ∴====-， 12A x x ⋅-的最小值为12
1009
A T π⨯=
，故选B.
【点睛】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，属于难题.利用
该公式()sin cos )f x a x b x x ωωωϕ=+=
+ 可以求出:①()f x 的周期
2π
ω
;②单调区间（利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得）；③值域：
⎡⎣；④对称轴及对称中心（由2
x k πωϕπ+=+可得对称轴方程，由x k ωϕπ+=可得对称中心横坐标.
9.下列说法中，正确的是（ ）
A. 频率反映随机事件的频繁程度，概率反映随机事件发生的可能性大小；
B. 频率是不能脱离n 次试验的试验值，而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值；
C. 做n 次随机试验，事件发生次，则事件发生的频率m
n
就是事件的概率； D. 频率是概率的近似值，而概率是频率的稳定值. 【答案】ABD 【解析】 【分析】
根据频率、概率的概念，可得结果.
【详解】频率是在一次试验中某一事件出现的次数与试验总数的比值， 随某事件出现的次数而变化
概率指的是某一事件发生的可能程度，是个确定的理论值 故选：ABD
【点睛】本题主要考查频率、概率的概念，属基础题.
10.设,,m n l 为三条不同的直线，,a β为两个不同的平面，则下面结论正确的是（ ） A. 若,,//m n αβαβ⊂⊂，则//m n
B. 若//,//,m n m n αβ⊥，则
αβ⊥
C. 若,,m n αβα
β⊥⊥⊥，则m n ⊥
D. //,//,,m n l m l n αα⊥⊥，则
l α⊥
【答案】C 【解析】 【分析】
根据线线、线面、面面位置关系，对选项逐一分析，由此确定结论正确的选项.
【详解】A 选项中，,m n 可能异面；B 选项中，,αβ也可能平行或相交；D 选项中，只有,m n 相交才可推出l α⊥.C 选项可以理解为两个相互垂直的平面，它们的法向量相互垂直. 故选：C
【点睛】本小题主要考查线线、线面和面面位置关系命题真假性判断，属于基础题. 11.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，PA ⊥底面ABCD ，PA AB =，截面BDE 与直线PC 平行，与PA 交于点E ，则下列判断正确的是（ ）
A. E 为PA 的中点
B. BD ⊥平面PAC
C. PB 与CD 所成的角为
3
π D. 三棱锥C BDE -与四棱锥P ABCD -的体积之比等于1:4 【答案】ABD 【解析】 【分析】
采用排除法，根据线面平行的性质定理以及线面垂直的判定定理，结合线线角，椎体体积公式的计算，可得结果.
【详解】连接AC 交BD 于点M 连接EM ，如图
因为四边形ABCD 是正方形，所以M 为AC 的中点 又PC //平面BDE ，PC ⊂平面APC ，且平面APC 平面=BDE EM
所以PC //EM ，所以E 为PA 的中点，故A 正确
由PA ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，所以PA BD ⊥， 又AC BD ⊥，AC PA A ⋂=，,AC PA ⊂平面PAC
所以BD ⊥平面PAC ，故B 正确
PB 与CD 所成的角即PB 与AB 所成的角，即4
ABP π
∠=
故C 错
1.3△BCD --==⋅C BDE E BCD V V S EA ，1
3
-=⋅⋅P ABCD ABCD V S PA
又1,22
△==BCD
ABCD S S PA EA ，所以
14--=P ABC C BD D E V V ，故D 正确 故选：ABD
【点睛】本题考查立体几何的综合应用，熟练线线、线面、面面之间的位置关系，审清题意，考验分析能力，属基础题.
12.已知函数sin ,sin cos ()cos ,sin cos x x x
f x x x x ⎧≥⎪=⎨
<⎪⎩
，则下列说法正确的是（ ） A. ()f x 是以π为最小正周期的周期函数 B. ()f x 的值域是[]0,1 C. ()f x 在区间3,
2
ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增 D. ()f x 在[]0,2π上有2个零点 【答案】BD 【解析】 【分析】
采用数形结合，并逐一验证可得结果.
【详解】根据题意，画出函数()f x 在[]0,2π的图象，如图所示
根据图像可知，函数()f x 是以2π为最小正周期的周期函数，A 错
函数()f x 的值域是[]0,1，B 对 ()f x 在区间5,
4
ππ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
上单调递增，在53,42ππ⎛⎫
⎪⎝⎭单调递减，C 错 函数()f x 在[]0,2π上有2个零点，分别是3,2
π
π，D 对 故选：BD
【点睛】本题主要考查函数的性质，本题关键在于能画出函数图形，形是数的载体，通俗易懂，形象直观，属中档题.
二、填空题（共 4 小题；共 20 分.）
13.如图所示，用三类不同的元件接成系统N ，若元件A 、B 、C 正常工作的概率分别为
1
2
、23、3
4
，那么系统N 正常工作的概率为________________.
【答案】
1124
【解析】 【分析】
由元件A 正常工作，元件B 、C 至少有一个正常工作，可得出系统N 正常工作，结合独立事件的概率乘法公式可求得所求事件的概率.
【详解】由元件A 正常工作，元件B 、C 至少有一个正常工作，可得出系统N 正常工作， 所以，系统N 正常工作的概率为
1231111123424
⎡⎤⎛⎫⎛⎫⨯--⨯-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 故答案为：
1124
. 【点睛】本题考查利用独立事件的概率乘法公式计算事件的概率，考查计算能力，属于基础
题.
14.已知样本122018,,,x x x ⋯的平均数与方差分别是1和4，若
(1,2,,2018)i i y ax b i =+=⋯ ，且样本122018,,,y y y ⋯的平均数与方差也分别是1和4，则
b a =________________.
【答案】1 【解析】 【分析】
由样本122018,,,x x x ⋯的平均数和方差分别是1和4，(1,2,,2018)i i y ax b i =+=⋯ 的平均数和方差也是1和4,得到a , b 的关系式，由此能求出b a . 【详解】因为样本122018,,,x x x ⋯的平均数与方差分别是1和4，
(1,2,,2018)i i y ax b i =+=⋯的平均数与方差也分别是1和4，
所以21144a b a ⨯+=⎧⎨⨯=⎩
，
解得1,0a b ==或1,2a b =-=，
1b a ∴=，
故答案为：1
【点睛】本题主要考查代数式求值，考查平均数、方差的性质，考查运算求解能力，属于中档题.
15.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .若sin sin b A a C =，1c =，
则b =__，ABC ∆面积的最大值为___.
【答案】 (1). 1 (2). 1
2
【解析】 【分析】
由正弦定理，结合sin sin b A a C =，1c =，可求出b ；由三角形面积公式以及角A 的范围,即可求出面积的最大值.
【详解】因为sin sin b A a C =，所以由正弦定理可得ba ac =，所以1b c ==;
所以111
S 222
ABC bcsinA sinA ∆=
=≤，当1sinA =，即90A =︒时，三角形面积最大. 故答案为(1). 1 (2). 1
2
【点睛】本题主要考查解三角形的问题，熟记正弦定理以及三角形面积公式即可求解，属于基础题型.
16.已知四边形ABCD 为矩形, 24AB AD ==,M 为AB 的中点,将ADM ∆沿DM 折起,得到四棱锥1A DMBC -,设1A C 的中点为N ,在翻折过程中,得到如下有三个命题: ①//BN 平面1A DM ，且BN 的长度为定值5； ②三棱锥N DMC -的最大体积为
22
3
； ③在翻折过程中，存在某个位置，使得1
DM AC ⊥. 其中正确命题的序号为__________．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①② 【解析】 【分析】 取AD
的
中点E ，连接EM 、EN ，证明四边形BMEN 为平行四边形，得出//BN EM ，
可判断出命题①的正误；由N 为1A C 的中点，可知三棱锥N DMC -的体积为三棱锥
1A DMC -的一半，并由平面1A BM ⊥平面BCDM ，得出三棱锥1A DMC -体积的最大值，可判断出命题②的正误；取DM 的中点F ，连接AF ，由1A E DM ⊥，结合1
AC DM ⊥得出DM ⊥平面1A CF ，推出DM CF ⊥得出矛盾，可判断出命题③的正误. 【详解】如下图所示：
对于命题①，取1A D 的中点E ，连接EM 、EN ，则112A D A M ==，11A E =，
190MA E ∠=，由勾股定理得EM ==
易知//BM CD ，且12BM CD =
，E 、N 分别为1A D 、1A C 的中点，所以，1
//2
EN CD ，
∴四边形BMEN 为平行四边形，BN EM ==//BN EM ，
BN ⊄平面1A DM ，EM ⊂平面1A DM ，//BN ∴平面1A DM ，命题①正确；
对于命题②，由N 为1A C 的中点，可知三棱锥N DMC -的体积为三棱锥1A DMC -的一半，当平面1A BM ⊥平面BCDM 时，三棱锥1A DMC -体积取最大值，
取DM 的中点F ，则1A F DM ⊥，且111
22
A F DM =
=⨯=， 平面1A DM ⊥平面BCDM ，平面1A DM ⋂平面BCDM DM =，1A F DM ⊥，
1A F ⊂平面1A DM ，1A F ∴⊥平面BCDM ，
DMC ∆的面积为11
42422
DMC S CD BC ∆=⋅=⨯⨯=，
所以，三棱锥1A DMC -的体积的最大值为
111433DMC S A F ∆⋅=⨯=
，
则三棱锥N DMC -的体积的最大值为
3
，命题②正确； 对于命题③，
11A D A M =，F 为DM 的中点，所以，1A F DM ⊥，
若1
AC DM ⊥，且111A C A F A ⋂=，DM ∴⊥平面1A CF ，
由于CF ⊂平面1A CF ，CF DM ∴⊥，事实上，易得CM DM ==4CD =，
222CM DM CD ∴+=，由勾股定理可得CM DM ⊥，这与CF DM ⊥矛盾，命题③错误
故答案为①②.
【点睛】本题考查直线与平面平行、锥体体积的计算以及异面直线垂直的判定，判断这些命题时根据相关的判定定理以及性质定理，在计算三棱锥体积时，需要找到合适的底面与高来计算，考查空间想象能力，考查逻辑推理能力，属于难题.
三、解答题（共 6 小题，17 题 10 分，其余各题 12 分，共 70 分.） 17.己知向量,,a b c 是同一平面内的三个向量，其中(1,1)a =-
（Ⅰ）若32c =，且//c a ，求向量c 的坐标；
（Ⅱ）若b 是单位向量，且(2)a a b ⊥-，求a 与b 的夹角θ. 【答案】(Ⅰ)(3,3)c =-，或(3,3)c =-;(Ⅱ)4
π
θ=.
【解析】 【分析】
（Ⅰ）设向量c 的坐标为(),x y ,运用向量模的公式和向量共线的坐标表示，解方程即可得到向量c 的坐标；（Ⅱ）运用向量垂直的条件：数量积为0，可求得1a b ⋅=，由向量的夹角公式，计算即可得到所求夹角.
【详解】（Ⅰ）设(),c x y =，由32c =，且//c a 可得22
018y x x y +=⎧⎨+=⎩所以3
3x y =-⎧⎨=⎩或3
3x y =⎧⎨=-⎩
故()3,3c =-，或()3,3c =-
（Ⅱ）因为2a =，且()
2a a b ⊥-，所以()
20a a b ⋅-=，即2
20a a b --⋅=，所以
220a b -⋅=，1a b ⋅=
故2cos 2a b a b
θ⋅=
=
⋅，4
π
θ=. 18.已知函数2
2
()(sin2cos2)2sin 2f x x x x =+-. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；
（Ⅱ）若函数()y g x =的图象是由()y f x =的图象向右平移8
π
个单位长度，再向上平移1个单位长度得到的，当x ∈[0,
4
π
]时，求()y g x =的最大值和最小值.
【答案】（Ⅰ）()f x 的最小正周期为2π.（Ⅱ）316
x π
=时，()g x 1；
0x =时，()g x 取最小值0.
【解析】
(I)先通过三角恒等变换公式把f(x)转化成())4
f x x π
=
+,再求周期.
(2)按照左加右减，
上加下减的原则先确定())14
g x x π
=-+,再求特定区间上的最
值即可.
（Ⅰ）22
()(sin 2cos 2)2sin 2f x x x x =+
-)4
x π
=
+,
所以函数()f x 的最小正周期为2
π. （Ⅱ）依题意,()y g x =
=
[4()8x π-4π+]1
+)14
x π
=-+
因为04x π≤≤，所以34444x πππ
-≤-≤.
当442x ππ-=，即316x π=时，()g x
1；
当444
x ππ
-=-，即0x =时，()g x 取最小值0.
19.已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求C ； （2
）若c ABC =
△
ABC 的周长. 【答案】（1）3
C π
=；（2
）5.
【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理，将边化角，利用两角和的正弦公式，简单计算即可得结果. （2）根据（1）的
条件，使用面积公式，可得6ab =，然后使用余弦定理可得5a b +=，进一步可得结果.
【详解】(1)由已知及正弦定理得,
2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=，
即2cos sin()sin C A B C +=，
故2sin cos sin 0π,0,C C C C sinC =<，
. 可得1cos 2C =
，所以3
C π
=. （2）由已知
1sin 2ab C =
.
又3
C π
=
，所以6ab =.
由已知及余弦定理得222cos 7a b ab C +-=， 故2213a b +=，
从而2
()255+=⇒+=a b a b . 所以ABC 的周长为57+
【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，熟记公式，细心计算，属基础题. 20.某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩（均为整数）分成
六段[)[
)90100100110[140150⋯，，，，，，）后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，
回答下列问题：
（1）求分数在[120130，）内的频率，补全这个频率分布直方图，并据此估计本次考试的平
均分；
（2）用分层抽样的方法，在分数段为[110130，）的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2个，求至多有1人在分数段[120130，）内的概率
【答案】（1）详见解析（2）3
5
【解析】 【分析】
（1）首先可以计算出除了[120130，）之外的其他分数段的频率，然后计算出分数在[120130，）内的频率，再用频率除以组距即可，然后用每一分数段的中间数乘以每一分数段
的概率再相加即可得出平均分；
（2）首先算出在[110120，）以及[120130，）两个分数段中抽取的人数，然后列出从中任取2
个的所有可能的事件，并找出满足题目要求的事件，即可得出结果．
【详解】（1）分数在[120130，）内的频率为10.10.150.150.250.050.3-++++=（），
0.03=频率
组距
（直方图略）
，平均分为：950.11050.151150.151250.31350.251450.05121⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，
（2）由题意，[110120，）分数段的人数为：600.159⨯=人，
[120130，）分数段的人数为：600.318⨯=人，
因为用分层抽样的方法在分数段为[110130，）的学生中抽取一个容量为6的样本，抽样比
621899k =
=+，所以需在[110120，）分数段内抽取2
929
⨯=人，并分别记为m n 、；
在[120130，）分数段内抽取2
1849⨯=人并分别记为a b c d 、、、；
设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120130，）内”为事件A ，
则基本事件有：m n m a m b m c m d n a n b ，、，、，、，、，、，、，、
n c n d a b a c a d b c b d c d ，、，、，、，、，、，、，、，共15种．
事件A 包含的基本事件有：（m n m a m b m c m d n a ，）、，、，、，、，、，、
n b n c n d ，、，、，共9种，所以()93155
P A =
=． 【点睛】本题考查了频率分布直方图以及概率，在计算频率分布直方图类的题目时要注意图表中所提供的信息，注意纵坐标是“频率除以组距”，考查计算能力与推理能力，是中档题． 21.如图，在三棱锥P ABC -中，平面PAC ⊥平面ABC ，PA AC ⊥，AB BC ⊥．设D ，
E 分别为PA ，AC 中点．
（1）求证：DE 平面PBC ；
（2）求证：BC ⊥平面PAB ；
（3）试问在线段AB 上是否存在点F ，使得过三点D ，E ，F 的平面内的任一条直线都
与平面PBC 平行？若存在，指出点F 的位置并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）点F 是线段AB 中点 【解析】 【分析】
（1）通过证明//DE PC ，证明//DE 平面PBC ；
（2）通过BC 和平面PAB 内的两条相交直线垂直，证明BC ⊥平面PAB ；
（3）通过证明两个平面内的两条相交直线分别平行，证明平面//DEF 平面PBC 即可. 【详解】（1）因为点E 是AC 中点， 点D 为PA 的中点， 所以//DE PC ，又因为DE ⊄平面,PBC PC 平面PBC ，
所以//DE 平面PBC ；
（2）因为平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC
平面ABC AC =， 又PA ⊂平面,PAC PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABC ，所以PA BC ⊥ 又因为,AB BC PA AB A ⊥⋂=， 所以CB ⊥平面PAB ； （3）当点F
是
线段AB 中点时，
过点,,D E F 的平面内的任一条直线都与平面PBC 平行，证明如下： 取AB 中点F ，连,EF DF .
由（1）可知//DE 平面PBC .
因为点E 是AC 中点，点F 为AB 的中点， 所以//EF BC ，又因为EF ⊄平面PBC ，
BC ⊂平面PBC ，所以//EF 平面PBC ，
又因为DE
EF E =，所以平面//DEF 平面PBC ，
所以平面DEF 内的任一条直线都与平面PBC 平行.
考点：考查直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，探索性问题；空间想象能力和逻辑推理能力.
22.已知函数()cos 23cos 1f x x x x =++，x ∈R .
（1）把()f x 表示为sin()(0,0,0)A x B A ωϕωϕπ++>><<的形式，并写出函数()f x 的最小正周期、值域；
（2）求函数()f x 的单调递增区间：
（3）定义：对于任意实数1x 、2x ，{}11212221,,
max ,,.
x x x x x x x x ≥⎧=⎨
>⎩若若
设()max{3sin ,cos }g x a x a x =，x ∈R （常数0a >），若对于任意1x R ∈，总存在
2x R ∈，使得()()12g x f x =恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】（1）π；[]1,3-（2）,,36x k k k Z ππππ⎡⎤∈-++∈⎢⎥⎣⎦（3）23⎛ ⎝⎦
【解析】 【分析】
（1）结合二倍角正弦公式和辅助角公式即可化简；
（2）结合（1）中所求表达式，正弦型函数单调增区间的通式即可求解；
（3）根据题意可得，()()()()min min max max ,g x f x g x f x ≥≤，求出()g x 的值域，列出关于a 的不等式组，即可求解 【详解】（1）
()cos 2cos 1cos 2212sin 216f x x x x x x x π⎛
⎫=++=+=++ ⎪⎝
⎭，
222
T π
π
πω
=
=
=，值域为[]1,3-； （2）令22,2622x k k π
ππππ⎡⎤
+
-++⎢⎥⎣⎦∈，k Z ∈解得,36x k k ππππ⎡⎤∈-++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈ 所以函数()f x 的单调递增区间为,36x k k ππππ⎡⎤
∈-++⎢⎥⎣⎦
，k Z ∈; （3）若对于任意1x R ∈，总存在2x R ∈，使得()()12g x f x =恒成立，则
(){}(){}y y g x y y f x =⊆=
，
}
sin sin cos ()max
sin ,cos cos ,cos sin x x a x
g x x a x a x
a x x ≥==>⎪⎩，
sin cos x a x ≥，即72,266x k k ππππ⎡⎤
∈++⎢⎥⎣⎦时，(
)sin g x x ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，
当cos sin a x x >，即52,266x k k ππππ⎛⎤
∈-++ ⎥⎝⎦时，(
)cos ,g x a x a ⎛⎤=∈ ⎥ ⎝⎦
， 故(
)g x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以0
123a a >⎧⎪
⎪-≥-⎨≤
，解得a ⎛∈ ⎝⎦， 所以实数a
的取值范围是⎛ ⎝⎦
【点睛】本题考查三角函数的化简和三角函数的性质应用，函数恒成立问题的转化，属于中档题。