泛函分析第七章-习题解答1-25

第七章 习题解答
1．设（X ，d ）为一度量空间，令
}),(,|{),(},),(,|{),(0000εεεε≤∈=<∈=x x d X x x x S x x d X x x x U
问),(0εx U 的闭包是否等于),(0εx S ？
解 不一定。

例如离散空间（X ，d ）。

)1,(0x U ={0x }，而)1,(0x S =X 。

因此当X 多于两点时，)1,(0x U 的闭包不等于)1,(0x S 。

2. 设 ],[b a C ∞
是区间],[b a 上无限次可微函数的全体，定义
)()(1)()(max 21
),()()()()(0
t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞
=∑
证明],[b a C ∞
按),(g f d 成度量空间。

证明 （1）若),(g f d =0，则)
()(1)()(max
)
()
()()(t g t f
t g t f r r r r b
t a -+-≤≤=0，即f=g
（2）)()(1)()(max 2
1
),()()()()(0t g t f t g t f g f d r r r r b t a r r -+-=≤≤∞
=∑ )()(1)()()()(1)()(max 21
)()()()()()()()(0
t g t h t g t h t g t f t g t f r r r r r r r r b t a r r -+-+-+-≤≤≤∞
=∑ )()(1)()(max 21
)()(1)()(max 21)()()()(0
)()()()(0t g t h t g t h t g t f t g t f r r r r b t a r r r r r r b t a r r -+-+-+-≤≤≤∞=≤≤∞
=∑∑ =d （f ，g ）+d （g ，h ）
因此],[b a C ∞
按),(g f d 成度量空间。

3． 设B 是度量空间X 中的闭集，证明必有一列开集 n o o o 21,包含B ，而且B o n n =⋂∞
=1。

证明 令n n n o n n
B x d Bo o .2,1},1
),({ =<==是开集：设n o x ∈0，则存在B x ∈1，使
n x x d 1),(10<。

设,0),(1
10>-=x x d n δ则易验证n o x U ⊂),(0δ，这就证明了n o 是 开集 显然B o n n ⊃⋂∞=1。

若n n o x ∞=⋂∈1则对每一个n ，有B x n ∈使n x x d 1
),(1<，因此
)(∞−→−−→−n x x n 。

因B 是闭集，必有B x ∈，所以B o n n =⋂∞
=1。

4. 设d （x ，y ）为空间X 上的距离，证明)
,(1)
,(),(___
y x d y x d y x d +=
是X 上的距离。

证明 （1）若0),(___
=y x d 则0),(=y x d ，必有x=y （2）因),(),(),(z y d z x d y x d +≤而
t
t
+1在),[∞o 上是单增函数，于是)
,(),(1)
,(),(),(),(1),(),(___
___
z y d z x d z y d z x d y x d y x d y x d y x d +++=≤+=
=
)
,(),(1)
,(),(),(1),(z y d z x d z y d z y d z x d z x d +++++
)
,(1),(),(1),(z y d z y d z x d z x d +++≤=),(),(___
__z y d z x d +。

5. 证明点列{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞
∈的充要条件为n f 的各阶导数在 [a ，b]上一致收敛于f 的各阶导数。

证明 若{n f }按习题2中距离收敛与],[b a C f ∞
∈，即 )()(1)
()(max 21
),()
()()()
(0
t f t f t f t f f f d r r n r r n b t a r r n -+-≤
≤≤∞
=∑——>0 )(∞−→−n 因此对每个r ，)()(1)()(max 2
1
)()()()
(0t f t f t f t f r r n r r n b
t a r r -+-≤≤∞
=∑——>0 )(∞−→−n ，这样 b
t a ≤≤max )()()()
(t f t f r r n -——>0 )(∞−→−n ，即)()(t f r n 在 [a ，b] 上一致收敛于)()
(t f r 。

反之，若的n f （t ）各阶导数在[a ，b]上一致收敛于f （t ），则任意o >ε，存在0r ，使
2211ε<∑∞
+=o r r r
；存在r N ，使当r N n >时，max )()()
()(t f t f r r n - 00
,2,1,0,2r r r =<ε，取N=max{ N N N 1}，当n>N 时，)()(1)
()(max 21
),()
()()()
(0
t f t f t f t f f f d r r n r r n b t a r r n -+-≤
≤≤∞
=∑ )()(1)()(max 2
1
)()()()
(0t f t f t f t f r r n r r n b t a r r -+-≤≤≤∞
=∑∑∞+=+121o r r r εεε=+<22.00r r 即),(n f f d ——>0 )(∞−→−
n 。

6. 设],[b a B ⊂，证明度量空间],[b a C 中的集{f|当t ∈B 时f （t ）=0}为],[b a C 中的闭集，而集A={f|当t ∈B 时，|f （t ）|〈a }（a >0）为开集的充要条件是B 为闭集。

证明 记E={f|当t ∈B 时f （t ）=0}。

设E f n ∈}{，}{n f 按],[b a C 中度量收敛于f ，即在[a ，b]上)(t f n 一致收敛于f （t ）。

设B t ∈，则0)(lim )(==∞
>-t f t f n n ，所以f ∈E ，这就证明了
E 为闭集
充分性。

当B 是闭集时，设f ∈A 。

因f 在B 上连续而B 是有界闭集，必有B t ∈0，使)(max )(0t f t f B
t ∈=。

设 0)(0>=-δt f a 。

我们证明必有A f U ⊂),(δ。

设
),(δf U g ∈，则若B t ∈，必有δ<-)()(t g t f ，于是
a t f t f t g t f t g =+<+-≤)(||)(|)()(|)(|0δ，所以A g ∈，这样就证明了A 是开集
必要性。

设A 是开集，要证明B 是闭集，只要证明对任意.....2,1,=∈n B t n 若
0t t n >-)(∞−→−
n ，必有B t ∈0。

倘若B t ___
0∈，则定义||)(0t t a t f o --=。

于是对任意B t ∈，a t t a t f o <--=||)(0因此
A t f o ∈)(由于A 是开集，必有0>δ，当∈f C[a ，b]且δ<),(0f f d 时，A f ∈。

定义，
n=1，2。

则)(0||),(00∞>->--=n t t f f d n n
因此当δ<-||0t t n 时，A f n ∈。

但是a t t t t a t f n n n =-+--=||||)(00，此与A f n ∈的必要条件：对 任意B t ∈，有a t f n <)(矛盾 因此必有B t ∈0。

7. 设E 及F 是度量空间中的两个集，如果o F E d >),(，证明必有不相交开集O 及G 分别包含E 及F 。

证明 设o F E d >=δ),(。

令 }2
),(|{},2),(|{δ
δ
===
=F x d x G E x d x o
则,,G F O E ⊂⊂且Φ≠⋂G O ，事实上，若Φ≠⋂G O ，则有
Φ
≠⋂∈G O z ，所以存
在E 中的点x 使2
),(δ
〈z
x d ，F 中点y 使2
),(δ〈z
y d ，于是δ〈),(),(),(z
y d z x d y x d +≤，此与≥),(y x d ），（F E d δ=矛盾。

8. 设 B[a ，b]表示[a ，b]上实有界函数全体，对B[a ，b]中任意两元素f ，g ∈ B[a ，b]，规定距离为|)()(|sup ),(t g t f g f d b
t a -=≤≤。

证明B[a ，b]不是可分空间。

证明 对任意∈0t [a ，b]，定义{
)},[,2),[,1)(00b t t t a t t f o t ∈∈=
则)(0t f t ∈B[a ，b]，且若21t t ≠，1),(21=t t f f d 。

倘若B[a ，b]是不可分的，则有可数
稠密子集
{}
n g n ∞
=1，对任意∈0t [a ，b]，)2
1,(0
t f U 必有某
n g ，即2
1
),(0<
t n f
g d 。

由于[a ，b]上的点的全体是不可数集。

这样必有某n g ，21,t t ，使n g ∈)21,(1t f U ，n g ∈)2
1
,(2t f U ，于是12
1
21),(),(),(2121=+<+≤t n n t t t f g d g f d f f d 此与1),(21=t t f f d 矛盾，因此B[a ，b]
不是可分空间。

9. 设X 是可分距离空间，ϑ为X 的一个开覆盖，即ϑ是一族开集，使得对每个X x ∈，有ϑ中的开集O ，使得O x ∈，证明必可从ϑ中选出可数个集组成X 的一个开覆盖。

证明 若X x ∈，必有ϑ∈x O ，使x O x ∈，因x O 是开集，必有某自然数n ，使x O n
x U ⊂)1
,(。

设
{}
n x n ∞=1
是X 的可数稠密子集，于是在)21,
(n x U 中必有某)21
,(n
x U k ，且x k O n x U ⊂)21,
(。

事实上，若)21
,(n
x U y k ∈，则
n
n n x x d x y d x y d k k 12121),(),(),(=+<+≤所以)21
,(n x U y k ∈x O ⊂。

这样我们就证明了对任意X x ∈，存在k ，n 使)21,(n x U x k ∈且存在O n
x U k ⊂)21
,(
任取覆盖)21
,(n x U k 的O ，记为n k O ,是X 的可数覆盖。

10. X 为距离空间，A 为X 中子集，令,.),,(inf )(X x y x d x f A
y ∈=∈证明)(x f 是X 上连续
函数。

证明 若,.0X x ∈对任意0>ε，存在A y ∈0，使200)(2
),(inf ),(εε
+=+
<∈x f y x d y x d A
y o 。

取02>=
εδ。

则当δ<),(0x x d 时，
ε+<+≤≤=)(),(),(),(),(inf )(0000x f y x d x x d y x d y x d x f o
因此ε<-)()(0x f x f 。

由于x 与0x 对称性，还可得ε<-)()(0x f x f 。

于是
ε<-|)()(|0x f x f 。

这就证明了)(x f 是X 上连续函数。

11. 设 X 为距离空间，21,F F 是X 中不相交的闭集，证明存在开集21,G G 使得
221121,,F G F G G G ⊃⊃Θ=⋂。

证明 若1F x ∈，则由于2F x ∉，2F 为闭集，必有0>x ε，使Θ=⋂2),(F x U x ε，令
)2
,
(1
1x
F x x U
G ε∈= ，类似)2
,
(2
2y
F x y U
G ε∈= ，其中Θ=⋂1),(F y U y ε，显然21,G G 是开
集，且2211,F G F G ⊃⊃。

倘若,21Θ≠⋂G G ，则必有,1F x ∈2F y ∈，使
Θ≠)2
,
()2
,
(x
y
x U y U εε 。

设)2
,
()2
,
(x
y
x U y U z εε ∈。

不妨设y x εε≥，则
x y
x
y x y z d z x d x y d εεεεε≤+
<
+≤≥2
2
),(),(),(因此),(x x U y ε∈，此与
Θ=2),(F x U x ε矛盾。

这就证明 了Θ=⋂21G G 。

12 . 设 X ，Y ，Z 为三个度量空间，f 是X 到Y 中的连续映射，g 是Y 到Z 中的连续映射，证明复合映射))((())(.(x f g x f g =是X 到Z 中的连续映射。

证明 设 G 是Z 中开集，因g 是Y 到Z 中的连续映射，所以)(1
G g -是Y 中开集。

又f 是X 到Y 中的连续映射，故))((11
G g f
--是X 中 的开集。

这样))
(()().(1
11G g f G f g ---=是X 中 的开集，这就证明了g 。

f 是X 到Z 的连续映射。

13. X 是度量空间，证明f 是连续映射的充要条件是对每个实数c ，集合
})(,|{c x F X x x ≤∈和集合})(,|{c x F X x x ≥∈都是闭集。

证明 设 f 是X 上连续的实函数，又对每一实数c ，G=（c ，∞）是开集，于是
})(,|{)(1
c x F X x x G f
>∈=- 是开集。

这样})(,|{c x f X x x ≤∈=
})(,|{c x f X x x C >∈是闭集。

同理})(,|{c x f X x x ≥∈是闭集。

反之，若对每个实数
c ，})(,|{c x f X x x ≥∈和})(,|{c x f X x x ≤∈都是闭集，则})(,|{c x f X x x <∈和})(,|{c x f X x x >∈都是开集。

设G 是直线上的开集，则 ∞==1
),(i i i b a G 或 n
i i i b a G 1
),(==，其中),(i i b a 是G 的构成区间。

不妨设 ∞
==
1
),(i i
i
b a G 于是
})
)(,|({}))(,|({})(,|{)(1
1
1
i i i i i i b x f X x x a x f X x x b x f a X x x G f <∈>∈=<<∈=∞
=∞
=- 是开集。

因此f 是连续的实函数。

14. 证明柯西点列是有界点列。

证明 设{ n x }是X 中的柯西点列。

对1>0，存在N ，使当n ，m N ≥时，.1),(<m n x x d ，令.1}),({max 1+<=≤≤N i N
i x x d M 则对任意n x 有M x x d N n ≤),(。

因此{ n x }是有界点列。

15. 证明第一节中空间S ，B （A ），以及离散的度量空间都是完备的度量空间。

证明 （1）S 是完备的度量空间 设{ n x }是S 中的柯西点列，),,(.)()
(2
)
(1 n i n n n x ξξξ=对每一个固定的i ，由于
)0(0212>->--t t t i
i ，因此对任意,0>ε存在0>δ，当δ≤≤t 0时ε<-t
t
i i 212，对此0>δ
，存在n ，m N ≥时，δξξξξ<-+-=∑∞
=1)
()()()(||1||21),(i m i
n i m i n i i m n x x d ，因此δξξξξ<-+-∑∞
=1)()()()(||1||21i m i n i
m i n i i ，从而||)()(m i n i ξξ-〈εδ
δ
<-i i 212。

这样对固定的i ，∞=1)(}{n n i ξ是柯西点列。

设)()
(∞>->-n i n i ξξ。

令),,(21 i x ξξξ=，故有S x ∈，且对任意给定
o >ε，存在0i ，使
∑∞
+=<10221i i i
ε。

存在),1(,0i i N i ≤≤使i N n >时，0
)
(2||i i n i εξξ<-。

于是当},max {01i N N N n =>时，
∑∞=-+-<1)()
(||1||2
1
i n i
i n i
i i
ξξξξ≤
∑=-+-0
1)()()(||1||21i i m i
n i m i i i ξξξξ+∑∞
+=10
21
i i i
〈εεε=+2.200i i 所以{n x }按S 的距离收敛于x （2）B （A ）是完备的度量空间
设∞
=1}{n n x 是B （A ）中的柯西点列，任意0>ε，存在N ，使当n ，m N ≥时ε<),(m n x x d 。

这样对任意A t ∈，ε<-≤-∈|)()(|sup |)()(|t x t x t x t x m n A
t m n 。

因此对固定的t ，{ )(t x n }
是柯西点列。

设))(()(∞>->-n t x t x n ，由于n ，m N ≥时ε<-|)()(|t x t x m n ，令∞>-m ，得ε≤-|)()(|t x t x n ，这样ε+≤|)(||)(|t x t x n ，于是+∞<+≤ε|)(|sup |)(|sup t x t x n 故x ∈（A ），
且n 〉N 时，ε≤-∈|)()(|sup t x t x m n A
t 。

这就证明了按B （A ）中距离收敛
于x 。

（3）离散的度量空间（X ，d ）是完备的度量空间 设∞
=1}{n n x 是X 中柯西点列，则对21>0,存在N ，当n ，m N ≥是2
1
),(<m n x x d 。

特别对一切n>N, 2
1
),(<N n x x d ,于是n>N 是N n x x =。

因此)(∞>->-n x x N n ，即（X ，d ）是完备的度量空间。

16. 证明 ∞
l 与C （0，1]的一个子空间等距同构。

证明 若 ),,(21 i x ξξξ=∞
∈l ，定义]1,0(],1,0(),(∈∈t C t x T ， 2,1),1
,11(
;1,),(=+∈==i i
i t i t t x T i 或线性，ξ 若),,(21 i x ξξξ=∞
∈l ，),,(21 i y ηηη=∞∈l ，则
),(|),(),(|sup ||sup ),(]
1,0(Ty Tx d t y T t x T y x d t i i =-=-=∈ηξ因此T 到∞l 到（0，1]的子空间
的一个同构映射，即∞l 到（0，1]的一个子空间等距同构。

17. 设F 是n 维欧几里得空间n R 的有界闭集，A 是F 到自身中的映射，并且适合下列条件：对任何F y x ∈,)(y x ≠，有),(),(y x d Ay Ax d <。

证明映射A 在F 中存在唯一的不动点。

证明 定义F 上的函数f （x ）=d （Ax ，x ）。

由于
),(2),(),(|),(),(||)()(|y x d y x d Ay Ax d y Ay d x Ax d y f x f <+≤-=-因此f 是F 上的连
续映射，因F 是有界闭集，必有F x ∈0，使)(min )(00x f x Ff x F
x ∈=∈。

我们先证明0)(0=x f ，若0)(0≠x f ，则00x Ax ≠。

记01Ax x =，则02
1x A Ax =，于是
)(),(),(),()(000002111x f x Ax d Ax x A d x Ax d x f =<==
此与)(0x f 是f 的最小值矛盾。

故0),(00=x Ax d 即0Ax =0x
若1x 是A 的另一个不动点，则),(),(),(101010x x d Ax Ax d x x d <=，矛盾。

18. 设X 为完备度量空间，A 是X 到X 中的映射，记),()
,(sup 11x x d x A x A d a n n z
x n ≠=
若
∞<∑
∞
=n n a 1
，则映射A 有唯一不动点。

证明 因
∞<∑
∞
=n n a 1
，则必有N ，使1<N a 。

这样对任意x, 1x ∈X,若x ≠1x ,则
),(),(11x x d a x A x A d N n
N ≤
这样由压缩映射原理N A 有不动点*x ，即*x =N A *x 。

由于N A *x =A N A *x =A *x , A *
x 也是
N A 的不动点。

N A 的不动点是唯一的，因此*x = A *x ，即*x 是A 的不动点。

若x ’是A 的任意一个不动点，即A x ’= x ’。

于是N A x ’=1
-n A
x ’=…= A x’= x’。

这样x’也是N
A
的不动点，由于N
A 的不动点是唯一的，因此*x = x’。

即A 的不动点也是唯一的。

19. 设A 为从完备度量空间X 到X 中映射，若在开球),(0r x U )0(>r 内适合 .10),',()',(<<≤θθx x d Ax Ax d
又A 在闭球}),(|{),(00r x x d x r x S ≤=上连续，并且.)1(),(00r Ax x d θθ-≤ 证明：A 在),(0r x S 中有不动点。

证明 设n x =n
A 0x ，2,1=n …。

则
r x Ax d x A x A d x A x A d x x d n n n n n n n n )1(),(),(),(),(00102010101θθθθ-≤<<=-----
任给ε>0，存在N ，使N
θr
ε
<
，这样若,n m >且N m n >,，有.)1()1()1(),(),(),(),(1211211εθθθθθθθθ<<<-++-+-≤+++≤+++-+++r r r r r x x d x x d x x d x x d N n m n n m m n n n n m n
因此
}
{1
n x n ∞=是柯西列。

设n x →*
x )(∞→n ，因
r r r r r x x d x x d x x d x x d n
i i
n n n n n n n <-=-++-+-≤+++<∑=----)1()1()1()1(),(),(),(),(1
1012110θθθθθθθθ
因此),(),(00r x S r x U x n ⊂∈。

这样),(lim 0*
r x S x x n ∈=∞
>-。

因为A 在),(0r x S 上连续。

*1*lim lim x x Ax Ax n n n n ===+∞
>-∞
>-，即*x 是A 在),(0r x S 中的不动点。

A 的不动点不一定是唯一的。

例如X 是离散的度量空间。

A 是X 中的恒等映射。

在开球
)1,(0x U 内只有0x 一点，自然满足条件.10),',()',(<<≤θθx x d Ax Ax d 。

而0),(00=Ax x d ，也满足.)1(),(00r Ax x d θθ-≤。

但X 中每一点皆为A 的不动点。

20. 设 n k j a jk ,2,1,, =为一组实数，适合条件1)(2
1
,<-∑=n
j i ij ij
a
δ，其中jk δ当j=k 时
为1 ，否则为0。

证明：代数方程组
1111221121122222
1122n n n n n n nn n n
a x a x a x
b a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎪
⎪+++=⎩ 对任意一组固定的1b ，,2b ，n b ，必有唯一的解1x ，2x ，n x 。

证明 记定义n
R 到n
R 内的映射T ：TX= --AX+X+b 。

设X ∈'
X n
R 则
)
,())(()
))()
(())))((((),('2
11
,22
11
21
'1
2
2
11
21
''
X X d a x x a x x a TX TX d n
j i ij ij n i n
j j j
n
j ij ij n i n
j j j
ij ij ∑∑∑∑
∑∑======-≤--≤--=δδδ
由于
2
11
,2))(∑=-n
j i ij ij
a
δ<1,于是T 有唯一不动点*X ，即****X b X AX TX =++-=，因此
b AX =*有唯一解*
X 。

21. 设],[b a V 表示[b a ,]上右连续的有界变差函数全体，其线性运算为通常函数空间中的运算。

在],[b a V 中定义范数x =)()(x V a x b
a +,证明],[
b a V 是Banach 空间。

证明 ],[b a V 显然是线性空间。

下证],[b a V 是赋范线性空间。

1． 若∈x ],[b a V ，显然x ≥0。

若x =0，则)()(x V a x b
a
+=0，即)(a x =0，且)(x V b
a
=0。

由)(x V b
a
=0可知x 在],[b a 上为常值
函数，于是0)()(=≡a x t x
2． 若∈x ],[b a V ，),,(+∞-∞∈λ
x x V a x x V a x x b
a
b a
λλλλλλ=+=+=)()()()(
3． 若],[,b a V y x ∈，
)())((y x V a y x y x b a
+++=+)()()()(y V x V a y a x b
a
b a
+++≤
其中)(y x V b a
+)()(y V x V b
a
b a
+≤的理由如下：对任意分划,:10b t t t a T n =<<<=
,)()()()())(())((1
11
11
1
∑∑∑=-=-=--+-≤+-+n
i i i n i i i n
i i i
t y t y t x t x t
y x t y x 因此
)
()(})()({sup })()({sup }))(())(({sup )(1
11
11
1y V x V t y t y t x t x t y x t y x y x V b
a
b
a
n
i i i T
n
i i i T
n
i i i T
b
a
+=-+-≤+-+=+∑∑∑=-=-=-再证],[b a V 是完备的。

设}{n x 为],[b a V 中柯西列，对任意0>ε，存在N ，当N m n ≥,时，
ε<-+-=-)()()(m n b
a
m n m n x x V b x a x x x 。

于是，ε<-)()(b x a x m n 。

而对任意
],(b a t ∈，ε<-≤---)())()(())()((m n b
a
m n m n x x V a x a x t x t x
从而εε2)()()()((<+-≤-a x a x t x t x m n m n
这就证明了{)(t x n }是],[b a 上一致收敛的函数列。

设}{n x 一致收敛于x 。

由于n x 是],[b a 上右连续的函数，于是对任意),[0b a t ∈，.2,1),()(lim 00
==→n t x t x n n t x 因
为}{n x 在],[b a 上一致收敛于x 。

因此
)()(lim )(lim lim )(lim lim )(lim 000
00
t x t x t x t x t x n n n t t n n n t x t x ====∞
→→∞→∞
→→→+
++即x 亦在],[b a 上右连续。

对任意0>ε，存在N ，当N m n ≥,时，m n x x -=ε<-+-)()()(m n b
a
m n x x V a x a x
对],[b a 上的任一分划b t t t a T l =<<<= 10:，有
ε
<-=-≤---∑=--)()()())()(())()((1
11m n b
a
m n l
i i m i n i m
i
n
x x V a x a x t x t x t x
t x 令∞→m ，
ε≤---∑=--l
i i i n
i
i
n
t x t
x t x t x 1
11
))()(())()(( （*）
因此，从而].,[)(b a V x x x x n n ∈--=由（*）式及分点的任意性知，.)(ε≤-x x V n b
a
从而
.2)()()(ε≤-+-=-x x V a x a x x x n b
a
n n
即}{n x 按],[b a V 中范数收敛于x 。

这样我们就证明了],[b a V 是完备的赋范线性空间，即
Banach 空间。

22．设 ,,21X X 是一列Banach 空间，},,{21 n x x x x = 是一列元素，其中n n X x ∈，,,2,1 =n 并且
,1
∞<∑∞
=p n n
x
这种元素列的全体记成X ，类
似通常数列的加法和数乘，在X 中引入线性运算。

若令,)(1
1
p
p n n
x
x ∑∞
== 证明：当1
≥p 时，X 是Banach 空间。

证明 X 显然是线性空间。

先证X 是赋范线性空间。

1． 若,),,(21X x x x ∈= 显然0≥x 。

若0=x ，则,0)(
11
=∑∞
=p
p n n
x
即对任意n ，0=n x 。

于是0=n x ，从而0=x 。

2． 若X x x x ∈=),,(21 ，),,(+∞-∞∈λ
x x x x p
p
p
n n p
n n λλλλ===∑∑∞
=∞
=11)()(1
1
3． 若,),,(21X x x x ∈= X y y y ∈=),,(21 ，则
n
n p
n n p
n n p
n n n p
n n n y x y x y x y x y x p
p
p
p
+=+≤+≤+=+∑∑∑∑∞
=∞
=∞
=∞
=1111))(())(())(()(1
1
1
1
再证X 是完备的。

设}{~
i x 是X 中柯西列，其中
.,2,1),,,()
(2)(1~
==i x x x i i i
对任意,0>ε存在0i ，使当0i j >时，,~
~
ε<-j i x x 即ε<-∑∞
=p
p
n j n
i n
x
x
1))((
1
)()
(
于是对每一个固定的}{,)(i n x n 是n X 中的柯西列。

设.)
()(∞→→i n
i n x x 令),,(21 x x x =，由于ε<-∑∞
=p
p
n j n
i n
x
x
1))((
1
)()
(，因此对任意K ，
ε<-∑=p
p
K
n j n i n x x 1
))((1
)
()(，令∞→j 得 .1,1
)()(≥≤-∑=p x x
p p
K
n j n
i n
ε
再令∞→K 得
.1,1
)(≥∞<≤-∑∞
=p x x
p p
n n
i n
ε
因此,~
X x x i ∈-从而X x x x x i i ∈--=)(~
~
，且由ε≤-∑∞
=p
p
n n i n
x x
1)(
1
)(
知~
i x 按X 的范数收敛于x 。

由以上证明可知X 是Banach 空间。

证毕。

23．设X 是赋范线性空间，X*X 为两个X 的笛卡儿乘积空间，对每个,*),(X X y x ∈定义
,),(2
2y x y x +=
则X*X 成为赋范线性空间。

证明X*X 到X 的映射y x y x +→),(是连续映射。

证明 设),)(,(),(00∞→→n y x y x n n 则
),(02
2
∞→→-+-n y y x x n n
于是).(0,000∞→→-→-n y y x x n n 所以，
.0)()(0000→-+-≤--+y y x x y x y x n n n n
这就证明了y x y x +→),(是连续映射。

24． 设A 是实（复）数域，X 为赋范线性空间，对每个X X x *),(∈α，
定义,,2
2x x +=
αα
证明：x x αα→),(为X X *到X 中的连续映射。

证明 设),,(),(00x x n n αα→同第23题一样可证
),(,00∞→→→n x x n n αα 由于}{n α收敛，必有0>M ，使.M n ≤α则
).
(0000000000∞→→-+-≤-+-≤-n x x x M x x x x x x n n n n n n n n αααααααα因此映射x x αα→),(是连续的。

25. C 为一切收敛数列所成的空间，其中的线性运算与通常序列空间相同。

在C 中令
,}{,sup C x x x x n i i
∈==证明：C 是可分的Banach 空间。

证明 由第七章§4例1知是Banach 空间。

由定义易知C 是∞
l 中的线性子空间，且范数定义是一致的。

因此要证C 是Banach 空间，由§4定理1，只要证C 是∞l 中的闭子空间即可。

设,}{C x n ⊂).(0);,,(,);,,(21)
(2)
(1∞→→-=∈=∞
n x x x l x x n n n n ξξξξ
对于任意,0>ε存在,N 使N n ≥时，有3
ε
<-x x n 。

特别地,3
ε
<
-x x N
即,3sup )
(ε
ξξ<
-i N i
i
由于,C x N ∈因此存在,K 对任意,,K j i >.3
)()(ε
ξξ<-N j N i 于是.3
3
3
)()()()(εε
ε
ε
ξξξξξξξξ=+
+
<
-+-+-≤-j N j N j N i N i i j i
于是}{i ξ是柯西列，即.),,(21C x ∈= ξξ 下面证明C 是可分的。

设.,2,1},,),,,,,,(|{1 =∈∈==n Q r Q r r r r r x x A i n n 则,
C A n ∈C A
n n
⊂∞
= 1
且
∞
=1
n n
A
是可数的。

若对任意,),,,(1C x x x n ∈= 设.lim a x n n =∞
→对于任给的,0>ε存在,
N 使当N n >时，必有2
ε
<
-a x n 。

取有理数,r 使.2
ε
<
-r a 取有理数,,,,21N r r r 使
.,,2,1,N i r x i i =<-ε 令),,,,,,(1 r r r r y N =则,1
∞
=∈n n A y 且
.},,,,,sup{12211ε<----=-+ r x r x r x r x y x N N N 故 ∞
=1
n n A 是C 的
可数稠密子集。

这就证明了C 是可分的Banach 空间。

证毕。