2022年广东省中考数学一模测试题(含答案解析)

2022年广东省中考数学一模测试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知∠α=35°,那么∠α的余角等于( )
A ．35°
B ．55°
C ．65°
D ．145° 2．计算(1)(1)a a ---的结果是（ ）
A ．21a -
B ．21a -
C ．221a a -+
D ．221a a -+- 3．在△ABC 中，已知∠B=2∠C ，∠A=30°，则这个三角形是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．无法判断 4．将一个长方体内部挖去一个圆柱（如图所示），它的主视图是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．为了响应学校“书香校园”建设，阳光班的同学们积极捐书，其中宏志学习小组的同学捐书册数分别是：5，7，x ，3，4，6．已知他们平均每人捐5本，则这组数据的众数、中位数和方差分别是（ ）
A ．5，5，32
B ．5，5，10
C ．6，5.5，116
D ．5，5，53
6．如图，在∠ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，DE∠BC ，若AD ＝2，DB ＝1，∠ADE 、∠ABC 的面积分别为S 1、S 2，则12
S S 的值为( )
A．2
3B．1
2
C．
4
9
D．2
7．将一把直尺与一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，直尺的一边恰好经过点A，如果∠CDE＝50°，那么∠BAF的度数为（）
A．15°B．20°C．30°D．40°
8．九年级一班数学老师对全班学生在模拟考试中A卷成绩进行统计后，制成如下的统计表：
则该班学生A卷成绩的众数和中位数分别是（）A．82分，82分B．82分，83分C．80分，82分D．82分，84分
9．如图，正方形ABCD中，AB＝12，将∠ADE沿AE对折至∠AEF，延长EF交BC于点G，G刚好是BC边的中点，则ED的长是（）
A．2B．3C．4D．5
10．如图1,抛物线y =-x2+bx +c 的顶点为P，与x 轴交于A，B 两点.若A，B 两点间的距离为m, n 是m 的函数，且表示n 与m 的函数关系的图象大致如图2所示，则n 可能为()
A ．P A + AB
B ．P A - AB
C ．AB PA
D ．PA AB
二、填空题 11．在实数范围内分解因式：2x 2﹣6y 2＝_____．
12．一个布袋内只装有3个红球和4个黄球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黄球的概率是_____． 13．有下列平面图形：①线段；②等腰直角三角形；③平行四边形；④矩形；⑤正八边形；⑥圆．其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有_____．（填序号） 14．甲、乙两个工程队共同完成一项工程，乙队先单独做5天，再由两队合作3天就完成全部工程，已知甲队与乙队单独完成这项工程所需时间之比是3：2，求甲乙两队单独完成此项工程各需多少天？若设甲、乙单独完成此项工程分别需3x 天、2x 天，则可列方程为_____．
15．如图，矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点E 在边AD 上，且AE ：ED =1：3．动点P 从点A 出发，沿AB 运动到点B 停止．过点E 作EF ∠PE 交射线BC 于点F ，设M 是线段EF 的中点，则在点P 运动的整个过程中，点M 运动路线的长为______．
16．如图，AB//ED AG ，平分BAC ECF 70∠∠=，，则FAG ∠=______．
17．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝8，AD ＝4，点E 在CD 上，DE ＝2，点F 是边AB 上一动点，以EF 为斜边作Rt ∠EFP ．若点P 在矩形ABCD 的边上，且这样的直角三角形恰好有两个，则AF 的值是__．
三、解答题
18．解不等式组，并把它的解集表示在数轴上：
3(1)7251.3x x x x --≤⎧⎪⎨--<⎪⎩
，①②
19．如图，等腰三角形 ABC 的周长为 10cm ，底边 BC 长为 y （cm ），腰 AB 长为 x （cm ）.
（1）求 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）求 x 的取值范围；
（3）腰长 AB=3 时，底边的长．
20．在平行四边形ABCD 中，∠C 和∠D 的平分线交于M ，DM 的延长线交AD 于E ，试猜想:
（1）CM 与DE 的位置关系？
（2）M 在DE 的什么位置上？并证明你的猜想.
21．为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A ，B ，C ，D 四个等级，并将结果绘制成图1的条形统计图和图2扇形统计图，但均不完整．请你根据统计图解答下列问题：
（1）求参加比赛的学生共有多少名？并补全图1的条形统计图．
（2）在图2扇形统计图中，m 的值为_____，表示“D 等级”的扇形的圆心角为_____度；
（3）组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听写”大赛．已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生恰好是一名男生和一名女生的概率．
22．如图，正方形ABCD中，点F是BC边上一点，连结AF，以AF为对角线作正方形AEFG，边FG与正方形ABCD的对角线AC相交于点H，连结DG．
(1)证明：∠AFC∠∠AGD；
(2)若BF
FC
＝1
2
，请求出
FC
FH
的值．
23．如图，过原点O的直线与双曲线
6
y
x
=交于上A（m，n）、B，过点A的直线交x
轴正半轴于点D，交y轴负半轴于点E，交双曲线
6
y
x
=于点P．
（1）当m＝2时，求n的值；
（2）当OD：OE＝1：2，且m＝3时，求点P的坐标；
（3）若AD＝DE，连接BE，BP，求∠PBE的面积．
24．如图，在∠O中，半径OD∠直径AB，CD与∠O相切于点D，连接AC交∠O于点E，交OD于点G，连接CB并延长交∠于点F，连接AD，EF．
（1）求证：∠ACD＝∠F；
（2）若tan∠F＝1 3
∠求证：四边形ABCD是平行四边形；
∠连接DE，当∠O的半径为3时，求DE的长．
参考答案：
1．B
【解析】
【分析】
根据余角的定义：如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角计算．
【详解】
解：∠∠α=35°，
∠它的余角等于90°﹣35°=55°．
故选B ．
【点睛】
本题考查余角的概念，掌握概念正确计算是本题的解题关键．
2．A
【解析】
【分析】
利用平方差公式计算即可求出值，
【详解】
解：原式222()11a a =--=-，
故选A ．
【点睛】
此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
3．C
【解析】
【分析】
利用三角形内角和180°建立方程求出角度，即可判断.
【详解】
∠在∠ABC 中，已知∠B=2∠C ，∠A=30°，
∠∠A+∠B+∠C=180°，即30°+3∠C=180°，
解得∠C=50°，
∠∠B=2∠C=100°，
∠这个三角形是钝角三角形，
【点睛】
本题考查三角形类型的判断，根据内角和建立方程求出角度是本题的关键.
4．A
【解析】
【详解】
试题解析：从正面看易得主视图为长方形，中间有两条垂直地面的虚线．
故选A ．
5．D
【解析】
【详解】
由5，7，x ，3，4，6．已知他们平均每人捐5本，得x=5．由此可得众数是5，中位数是
5，根据方差公式可得方差为53
， 故答案选D ．
考点：方差；中位数；众数．
6．C
【解析】
【分析】
根据相似三角形的判定定理得到∠ADE∠∠ABC ，根据相似三角形的性质计算即可．
【详解】
解：∠DE∠BC ，
∠∠ADE∠∠ABC ， ∠12s s =（AD AB ）2=49
， 故选C ．
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7．B
【解析】
先根据∠CDE＝50°，得出∠CED＝40°，再根据DE∠AF，即可得到∠CAF＝40°，最后根据∠BAC＝60°，即可得出∠BAF的大小．
【详解】
解：由图可得，∠CDE＝50°，∠C＝90°，
∠∠CED＝40°，
又∠DE∠AF，
∠∠CAF＝40°，
∠∠BAC＝60°，
∠∠BAF＝60°﹣40°＝20°，
故选B．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，解题时注意：两直线平行，同位角相等．
8．D
【解析】
【分析】
出现次数最多的即为众数，按照大小顺序排在中间的一个数字或者两个数字的平均数即为中位数.
【详解】
出现次数最多的是82，重复出现11次，所以82是这组数据的众数.
表格中的数据已经按照大小顺序排列，总共有45个数据，所以排在中间的第23位数据是中位数，第23位数据是84，所以84是中位数.
所以答案选D.
【点睛】
本题考查了中位数和众数的概念，熟练掌握中位数和众数的概念是本题的解题关键. 9．C
【解析】
【分析】
连接AG，证明∠ABG∠∠AFG，得到FG＝BG，∠ADE沿AE对折至∠AEF，则EF＝DE，
设DE＝x，则EF＝x，EC＝12－x，则Rt∠EGC中根据勾股定理列方程可求出DE的值．【详解】
如图，连接AG，
∠四边形ABCD是正方形，
∠∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝AD＝12．
∠∠ADE沿AE对折至∠AEF，
∠EF＝DE，AF＝AD，
∠AF＝AD，AB＝AD，
∠AF＝AB，
又AG是公共边，
∠∠ABG∠∠AFG（HL），
∠G刚好是BC边的中点，
∠BG＝FG＝1
6
2
BC ，
设DE＝x，则EF＝x，EC＝12－x，
在Rt∠EGC中，根据勾股定理列方程：
62＋（12－x）2＝(x＋6)2
解得：x＝4．
所以ED的长是4，答案选C．
【点睛】
本题考查了正方形和全等三角形的综合知识，根据勾股定理列方程是本题的解题关键．10．C
【解析】
【分析】
先求P、A、B三点的坐标，得出PA关于m的式子，再将各选项结合图2的特征逐个分析
即可. 【详解】
设1212(,0),(,0)()A x B x x x <，则1x 和2x 是方程20x bx c -++=的两个不相等的根
公式法解方程得：12b x =，22b x =
由题意得：21m x x =-根据二次函数的顶点公式可得：24(,)24
b b c
P +即2(,)24b m P
如图，过点P 作PD AB ⊥，交x 轴于D
由二次函数图象的性质可得，PAB ∆是等腰三角形，其中AB 为底边 则122
m
AD AB =
= 由点的坐标可知2
4m PD =
则PA =
则PA AB m +=
PA AB m -=
AB
PA
=
PA
AB =由图2知，n 随m 的增大而减小，由此可判断四个选项中只有
AB
PA
=
故答案为：C.
【点睛】
本题考查了二次函数的顶点公式、二次函数图象的性质，是一道很好的综合题，考生需熟练灵活运用二次函数图象的性质.
11
．(
)()
2x x
【解析】
【分析】
先提起公因式，然后用平方差公式分解因式.【详解】
2x2﹣6y2＝(
)(
)() 22
232
x y x x
-=
【点睛】
本题考查了因式分解的方法，熟练掌握提公因式法和公式法分解因式是本题的解题关键.
12．16 49
【解析】
【分析】
首先根据题意列出表格，得到一共有49种等可能的结果，其中两次摸出的球都是黄球的情况共有16种，再利用概率公式即可求得答案．
【详解】
解：
∠共有49种等可能的结果，两次摸出的球都是黄球的有16种情况，
∠两次摸出的球都是黄球的概率是16 49
，
故答案为：16 49
．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
13．①④⑤⑥．
【解析】
【分析】
根据轴对称图形及中心对称图形的定义，结合各项进行判断即可．
【详解】
解：①线段是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
②等腰直角三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
③平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意；
④矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
⑤正八边形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意．
⑥圆是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故答案为①④⑤⑥．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
14．
33x +532x
+＝1 【解析】 【分析】
设甲、乙单独完成此项工程分别需3x 天、2x 天，根据甲队完成的部分+乙队完成的部分＝总工程（单位1），即可得出关于x 的分式方程，此题得解． 【详解】
解：设甲、乙单独完成此项工程分别需3x 天、2x 天， 依题意，得：33x +53
2x
+＝1． 故答案为
33x +532x
+＝1． 【点睛】
本题考查了列分式方程解实际问题的运用及分式方程的解法的运用，解答时根据条件建立方程是关键，解答时对求出的根必须检验，这是解分式方程的必要步骤. 15．4 【解析】 【详解】
过点M 作GH ∠AD ，证明∠EGM ∠∠FHM ，得到MG =MH ，从而可知：点M 的轨迹是一条平行于BC 的线段，然后证明∠EF 1B ∠∠∠EF 1F 2，求得F 1F 2=8，最后根据三角形中位线定理可求得答案．
解：如图所示：过点M 作GH ∠AD .
∠AD ∠CB ，GH ∠AD ， ∠GH ∠BC .
在△EGM 和△FHM 中，
90{MGE MHF GME FMH EM MF
∠=∠=︒∠=∠=
∠∠EGM ∠△FHM . ∠MG =MH .
∠点M 的轨迹是一条平行于BC 的线段 当点P 与A 重合时,BF 1=AE =2，
当点P 与点B 重合时,∠F 2+∠EBF 1=90∘,∠BEF 1+∠EBF 1=90∘， ∠∠F 2=∠EBF 1. ∠∠EF 1B =∠EF 1F 2， ∠∠EF 1B ∠△∠EF 1F 2. ∠
11
112
BF EF EF F F =， 即
12
266F F = ∠F 1F 2=18，
∠M 1M 2是△EF 1F 2的中位线， ∠M 1M 2=
12
F 1F 2=9.
故答案为9. 【点睛】
本题主要考查点的轨迹. 解题的关键在于理解点M 的运动路径是一条平行于BC 的线段并利用相似的性质和三角形中位线进行求解. 16．145° 【解析】 【详解】
试题分析：由平行线的性质得到∠BAC=∠ECF=70°；然后利用邻补角的定义可得∠FAB=180°-∠BAC=110°，利用角平分线的定义可得∠BAG=35°，最后可求∠FAG=145°． 故答案为145°.
点睛：本题考查了平行线的性质．根据“两直线平行，内错角相等”求得∠BAC 的度数是解题的难点．解题时，合理利用隐含条件：邻补角，以及角平分线进行解答即可. 17．0或2＜AF ＜22
3
或8 【解析】 【分析】
先根据圆周角定理确定点P在以EF为直径的圆O上，且是与矩形ABCD的交点，先确定特殊点时AF的长，当F与A和B重合时，都有两个直角三角形．符合条件，即AF=0或4，再找∠O与AD和BC相切时AF的长，此时∠O与矩形边各有一个交点或三个交点，在之间运动过程中符合条件，确定AF的取值．
【详解】
∠∠EFP是直角三角形，且点P在矩形ABCD的边上，
∠P是以EF为直径的圆O与矩形ABCD的交点，
∠当AF=0时，如图1，
此时点P有两个，一个与D重合，一个交在边AB上；
∠当∠O与AD相切时，设与AD边的切点为P，如图2，
此时△EFP是直角三角形，点P只有一个，且AF=DE=2，
∠当∠O与BC相切时，如图4，连接OP，
此时构成三个直角三角形，
则OP∠BC，设AF=x，则BF=P1C=8-x，EP1=x-2，∠OP∠EC，OE=OF，
∠OG=1
2EP1=
2
2
x-
，
∠∠O的半径为：OF=OP=
2
2
x-
+（8-x），
在Rt△OGF中，由勾股定理得：OF2=OG2+GF2，
∠(
2
2
x-
+8−x)2＝(
2
2
x-
)2+22，
解得：x=22
3
，
∠2＜AF＜22
3
时，这样的直角三角形恰好有两个，如图3，
∠当AF=8，即F与B重合时，这样的直角三角形恰好有两个，如图5，
综上所述，则AF的值是：0或2＜AF＜22
3
或8．
故答案为：0或2＜AF＜22
3
或8．
【点睛】
本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形中位线定理的运用，圆的性质的
运用，分类讨论思想的运用，解答时运用勾股定理求解是关键，并注意运用数形结合的思想解决问题.. 18．-2≤x ＜−1
2
【解析】 【分析】
首先把两条不等式的解集分别解出来，再根据大大取大，小小取小，比大的小比小的大取中间，比大的大比小的小无解的原则，把不等式的解集用一条式子表示出来． 【详解】
解：解不等式∠，得x≥-2； 解不等式∠，得x ＜-1
2 ．
在同一条数轴上表示不等式∠∠的解集，如图：
所以，原不等式组的解集是-2≤x ＜−1
2． 【点睛】
本题考查不等式组的解法和在数轴上的表示法，如果是表示大于或小于号的点要用空心，如果是表示大于等于或小于等于号的点用实心． 19．（1）y ＝10﹣2x ；（2）2.55x ＜＜；（3）4． 【解析】 【分析】
（1）根据等腰三角形周长与边长的关系式即可确定；（2）根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边可列出关于x 的不等式组，求解集即可；（3）将腰长代入（1）中关系式可得底边长. 【详解】
（1）∵等腰三角形的腰长为 x ，底边长为 y ，周长为 10， ∴y ＝10﹣2x ，
（2）21021020
x x x >-⎧⎨->⎩，
解得：2.5
5x ＜＜．
所以x 的取值范围为2.5
5x ＜＜. （3）将3x =代入y ＝10﹣2x 得4y =，所以底边的长为4. 【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质及一元一次不等式组，正确理解题意由三角形满足的条件列出不等式组是解题的关键.
20．(1) CM∠DE ；（2）M 为ED 的中点，见解析. 【解析】 【分析】
（1）CM∠DE ，由平行四边形ABCD 得AD∠BC ，∠ADC+∠BCD=180°，结合角平分线可得∠MDC+∠MCD=90°，即可得结论；
（2）由平行线的性质得∠ADE=∠CEM ，结合角平分线可得∠CDE=∠CED ，可证出∠ECD 是等腰三角形，利用等腰三角形三线合一可得CM 是中线，则M 为ED 的中点. 【详解】 (1) CM∠DE ∠ AD∠BC
∠∠ADC+∠BCD=180°
∠DE,CM 分别平分∠ADC, ∠BCD ∠∠MDC+∠MCD=90° ∠CM∠DE
(2)M 为ED 的中点 ∠AD∠BC ∠∠ADE=∠CEM ∠∠ADE=∠CDE ∠∠CDE=∠CED ∠CD=CE ∠CM∠DE ，
∠EM=MD ，即M 为ED 的中点.
故答案为(1) CM∠DE ；（2）M 为ED 的中点，见解析. 【点睛】
本题考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是
熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质．
21．（1）参赛学生共20人；补图见解析；（2）40；72；（3）2
3
．
【解析】
【分析】
（1）由“A等级的人数÷A等级的百分比=参赛学生人数”，即可求得参赛人数，再求出B 等级人数，补全条形统计图，即可；
（2）由C等级人数÷参赛学生人数，即可得到m的值，由360°×D等级的百分比，即可得到“D等级”的扇形的圆心角；
（3）根据题意，列出表格，得到所有等可能的结果，再根据概率公式，即可求解．
【详解】
（1）根据题意得：3÷15%＝20（人），
∠参赛学生共20人，
B等级人数有：20﹣（3+8+4）＝5（人），
补全条形图如下：
（2）C等级的百分比为：8
20
×100%＝40%，即：m＝40，
表示“D等级”的扇形的圆心角为：360°×4
20
＝72°，
故答案为：40，72；（3）列表如下：
所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，
∠P （恰好是一名男生和一名女生）＝46＝23． 【点睛】
本题主要考查条形统计图、扇形统计图以及等可能事件的概率，掌握条形统计图、扇形统计图的特征以及列举法求概率，是解题的关键．
22．(1)证明见解析
【解析】
【分析】
（1）由四边形ABCD ，AEFG 是正方形，推出AD AG AC AF ==DAG CAF ∠=∠，得到ΔΔADG CAF ∽，列比例式即可得到结果；
（2）设BF k =，2CF k =，则3AB BC k ==，根据勾股定理得到AF ，AC 由于AFH ACF ∠=∠，FAH CAF =∠∠，于是得到ΔΔAFH ACF ∽，得到比例式即可得到结论．
(1)
四边形ABCD ，AEFG 是正方形，
∴AD AC
=AG AF = ∴AD AG AC AF
=， 45DAG GAC FAC GAC ∠+∠=∠+∠=︒，
DAG CAF ∴∠=∠，
ΔΔAFC AGD ∴∽；
(2)
1
2
BF FC =， 设BF k =，2CF k =，则3AB BC k ==，
AF ∴=，AC =，
四边形ABCD ，AEFG 是正方形，
AFH ACF
∴∠=∠，FAH CAF
=
∠∠，ΔΔ
AFH ACF
∴∽，
∴AF FH AC CF
=，
∴FC
FH
==
【点睛】
本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，找准相似三角形是解题的关键．
23．（1）3；（2）P（﹣1，﹣6）；（3）3.
【解析】
【分析】
（1）把A（2，n）代入解析式即可求出n；（2）先求出A点坐标，设OD＝a，则OE＝
2a，得D（a，0），E（0，﹣2a），直线DE的解析式为y＝2x﹣2a，把点A（3，2）代入求出a，再联立两函数即可求出交点P；（3）由AD＝DE，点D在x轴坐标轴上，点E在y轴
负半轴上，故A（m，n），E（0，﹣n），D（1
2m，0），求得直线DE的解析式为y＝2n
m
x﹣
n，又mn＝6，得y＝
2
3
n
x﹣n，与y＝
6
x
联立得
3
2
2
x m
n
y n
⎧
=-=-
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，即为P点坐标，由直线AB
的解析式为y＝n
m
x与双曲线联立解得B（﹣m，﹣n），再根据S△PBE＝1
2
BE×|yE﹣yP|＝1
2
×m×|﹣n﹣（﹣2n）|求出等于3.【详解】
解：（1）∠点A（m，n）在双曲线y＝6
x
上，
∠mn＝6，
∠m＝2，
∠n＝3；
（2）由（1）知，mn＝6，∠m＝3，
∠n＝2，
∠A（3，2），
∠OD：OE＝1：2，
设OD＝a，则OE＝2a，
∠点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，∠D（a，0），E（0，﹣2a），
∠直线DE的解析式为y＝2x﹣2a，
∠点A（3，2）在直线y＝2x﹣2a上，
∠6﹣2a＝2，
∠a＝2，
∠直线DE的解析式为y＝2x﹣4∠，
∠双曲线的解析式为y＝6
x ∠，
联立∠∠解得，
3
2
x
y
=
⎧
⎨
=
⎩
（点A的横纵坐标，所以舍去）或
1
6
x
y
=-
⎧
⎨
=-
⎩
，
∠P（﹣1，﹣6）；
（3）∠AD＝DE，点D在x轴坐标轴上，点E在y轴负半轴上，A（m，n），
∠E（0，﹣n），D（1
2
m，0），
∠直线DE的解析式为y＝2n
m
x﹣n，
∠mn＝6，
∠m＝6
n
，
∠y＝
2
3
n
x﹣n∠，
∠双曲线的解析式为y＝6
x ∠，
联立∠∠解得，
∠
6
x m
n
y n
⎧
==
⎪
⎨
⎪=
⎩
（点A的横纵坐标，所以舍去）或
3
2
2
x m
n
y n
⎧
=-=-
⎪
⎨
⎪=-
⎩
，
∠P（﹣2m，﹣2n），∠A（m，n），
∠直线AB的解析式为y＝n
m
x∠．
联立∠∠解得，
x m
y n
=
⎧
⎨
=
⎩
（点A的横纵坐标，所以舍去）或
x m
y n
=-
⎧
⎨
=-
⎩
∠B（﹣m，﹣n），∠E（0，﹣n），∠BE∠x轴，
∠S△PBE＝1
2BE×|yE﹣yP|＝1
2
×m×|﹣n﹣（﹣2n）|＝1
2
mn＝3．
【点睛】
此题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知反比例函数的性质.
24．（1）见解析；（2）∠见解析；∠DE
【解析】
【分析】
（1）先利用切线的性质得到OD⊥CD，再证明AB∥CD，然后利用平行线的性质和圆周角
定理得到结论；（2）①设⊙O的半径为r，利用正切的定义得到OG＝1
3
r，则DG＝2
3
r，
则CD＝3DG＝2r，然后根据平行线的判定得到结论；②作直径DH，连接HE，如图，先
计算出AG CG＝CDE∽△CAD，然后利用相似三角形的性质计算DE的长即可．
【详解】
（1）证明：∠CD与∠O相切于点D，
∠OD∠CD，
∠半径OD∠直径AB，
∠AB∠CD，
∠∠ACD＝∠CAB，
∠∠EAB＝∠F，
∠∠ACD＝∠F；
（2）∠证明：∠∠ACD＝∠CAB＝∠F，
∠tan∠GCD＝tan∠GAO＝tan∠F＝1
3
，
设∠O的半径为r，
在Rt∠AOG中，tan∠GAO＝OG
OA
＝
1
3
，
∠OG＝1
3 r，
∠DG＝r﹣1
3
r＝2
3
r，
在Rt∠DGC中，tan∠DCG＝DG
CD
＝
1
3
，
∠CD＝3DG＝2r，
∠DC＝AB，
而DC∠AB，
∠四边形ABCD是平行四边形；
∠作直径DH，连接HE，如图，OG＝1，AG，
CD＝6，DG＝2，CG
∠DH为直径，
∠∠HED＝90°，
∠∠H+∠HDE＝90°，
∠DH∠DC，
∠∠CDE+∠HDE＝90°，
∠∠H＝∠CDE，
∠∠H＝∠DAE，
∠∠CDE＝∠DAC，
而∠DCE＝∠ACD，
∠∠CDE∠∠CAD，
∠CD DE
CA DA
==
∠DE．【点睛】
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了平行四边形的判定、圆周角定理及相似三角形的判定与性质．解决第（2）题的第∠问，证明∠CDE∠∠CAD是解决问题的关键.。