北京市重点中学新初一分班考试数学内部讲义

目录

第一讲逻辑推理初步 (2)

第二讲循环小数化分数 (4)

第三讲分数计算（一） (10)

第四讲分数计算（二） (13)

第五讲分数、百分数应用题（一） (17)

第六讲分数、百分数应用题（二） (22)

第七讲生活中的经济问题 (27)

第八讲工程问题 (29)

第九讲圆的周长与面积 (32)

第十讲不定方程 (40)

第一讲逻辑推理初步

学习提示：

本讲主要是逻辑推理问题，这类问题很少依赖数学概念、法则、公式进行计算，而主要是根据某些条件、结论以及它们之间的逻辑关系进行判断推理，最终找到问题的答案，像这样的问题我们称之为逻辑推理问题。

典型题解

下面介绍一些逻辑推理问题以及逻辑推理的基本方法和基本技巧。

例1 我国有“三山五岳”之说，其中五岳是指：东岳泰山，南岳衡山，西岳华山，北岳恒山和中岳嵩山。一位老师拿出这五座山的图片，并在图片上标出数字，他让五位同学来辨别，每人说出两个。学生回答如下：

甲：2是泰山，3是华山乙：4是衡山，2是嵩山丙：1是衡山，5是恒山丁：4是恒山，3是嵩山戊：2是华山，5是泰山。

老师发现五个同学都只说对了一半，那么正确的说法是什么呢？

例2 甲乙丙三人对小强的藏书数目做了一个估计，甲说：“他至少有1000本书”。乙说：“他的书不到1000本”。丙说：“他至少有一本书”。这三个估计只有一句是对的，那么小强究竟有多少本书？

例3 从前有三个和尚，一个讲真话，一个讲假话，另一个有时讲真话，有时讲假话。一天，一位智者遇到这三个和尚，他问第一个和尚：“你后面是哪一个和尚？”和尚回答：“讲真话的”。他又问第二位和尚：“你是哪一位？”得到的回答是：“有时讲真话，有时讲假话”。他问第三位和尚：“你前面是哪位和尚？”第三位和尚回答说：“讲假话的”。根据他们的回答，智者很快分清了他们各自是哪一位和尚，请你说出智者的答案。

例4 桌上放了8张扑克牌，都背向上，牌放置的位置如图所示。现已知：

（1）每张都是A、K、Q、J中的一张；（2）这8张牌中至少有一张Q；（3）其中只有一张A；（4）所有的Q都夹在两张K之间；（5）至少有一张K夹在两张J之间；（6）J和Q互不相邻，A和K也互不相邻；（7）至少有两张K相邻。则图中的8张牌各是什么牌？

例5 一天，一位老师让学生来分辨五位科学家的画像，老师把画像从1到5编了好，让各个学生说出其中任意两位科学家的名字：

张三说：“2号是牛顿，3号是伽利略”李四说：“1号是瓦特，2号是爱因斯坦”

王五说：“3号是爱因斯坦，5号是瓦特”许六说：“2号是牛顿，4号是哥白尼”

陈七说：“4号是哥白尼，1号是伽利略”

老师听后，发现每人都只说对了一半，试问这几位科学家的画像分别是几号？

例6 在一次有3人参加的讲话中，小张指责小王和小李：“你们都在说谎。”小李却说：“小张正在说谎。”小王则说：“小李正在说谎。”试判断他们谁讲的是真话，谁讲的是假话？

例7 有三名工人，一名是电工，一名是车工，一名是钳工。又知道下面三种说法只有一种是对的：（1）甲是车工（2）乙不是车工（3）丙不是钳工

请问他们各是什么工种？

例8 有四人打桥牌（牌中不含大、小王，每人共13张牌），已知某人手中的牌如下：

（1）红桃、黑桃、方块、梅花四种花色的牌都有；（2）各种花色的牌，张数不同；（3）红桃和黑桃共有6张；（4）红桃和方块共有5张；（5）有两张主牌（将牌）

问这手牌以什么花色为主牌？

逻辑推理的特点就是条件繁多、错综复杂、纵横交错。如何从复杂的条件中选准突破口，层层剖析，步步逼近，逐渐向结论靠拢，这是解决这类问题的关键，因此我们在推理的过程中有时常采用列表的方法将条件当中的一些信息进行分类的用各类符号表示各种条件，然后运用几何直观把错综复杂的条件变的一目了然，答案也就找到了。

例9 同住一间宿舍的A、B、C、D四名女大学生，正在听一组乐曲。她们当中有一人在修指甲，一人在做头发，一人在化妆，另一人在看书。已知：

（1）A不在修指甲，也不在看书（2）B不在化妆，也不在修指甲（3）如果A补在化妆，那么C不在修指甲（4）D不在看书，也不在修指甲。问她们各自在做什么？

例10 在一个年级里，甲、乙、丙三位老师分别讲授数学、物理、化学、生物、语文、历史，每位老师教两门课。现知道：

（1）化学老师和数学老师住在一起，（2）甲老师是三位老师中最年轻的，（3）数学老师和丙老师是一对优秀的国际象棋手，（4）物理老师比生物老师年长，比乙老师年轻，（5）三人中最年长的老师住家比其他二位老师远。问甲乙丙三位老师分别教哪两门课？

例11 A、B、C、D四人分别掌握英、法、德、日四种语言中的两种，其中有三人会说英语，但没有一种语言四个人都会，并且知道：没有人既会日语又会法语，A会日语，而B 不会，但他们可以用另一种语言交谈。C不会德语，A和D交谈时，需要C为他们做翻译，B、C、D不会同一种语言，请说出四人分别掌握哪种语言？

例12 甲、乙、丙、丁、戊五人各自从图书馆借来一本小说，他们约定读完后互相交换，经过数次交换后，他们五人每人都读完了这五本书。现已知：

（1）甲最后读的书是乙读的第二本，（2）丙读的第二本甲在一开始就读了，（3）丙最后读的书是乙读的第四本，（4）丁读的最后一本是丙读的第三本，（5）乙读的第四本是戊读的第三本，（6）丁第三次读的书是丙开始读的那一本。请判断出读这五本书的顺序。

例13 小东，小兰，小英读书的学校分别是一中、二中、三中，他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动，但谁爱哪项运动，在哪个学校读书还不清楚，只知道：

（1）小东不在一中，（2）小兰不在二中，（3）爱好排球的不在三中，（4）爱好游泳的在一中，（5）爱好游泳的不是小兰，你能弄清楚他们各自读书的学校和爱好的运动项目吗？

例14 宾馆里住着A、B、C、D、E、F六个不同国籍的客人，他们来自美、英、法、德、俄国和意大利，现在知道：

（1）A和美国人是医生，（2）E和俄国人是教师（3）C和德国人是工程师（4）B和F都曾是运动员（5）而德国人从来不爱运动（6）法国人比A年龄要大（7）C比意大利人年龄小（8）B同美国人到英国去旅行（9）C同法国人要到瑞士去度假。问：A、B、C、D、E、F各是哪国人？