2022-2023学年河北省唐山市滦南县第一中学高一上学期期中数学试题(解析版)

2022-2023学年河北省唐山市滦南县第一中学高一上学期期中数学试
题
一、单选题 1．5tan
4
π
=（ ） A ．1- B ．1
C ．2
D ．
22
【答案】B
【分析】利用诱导公式进行化简求值. 【详解】由诱导公式得5tan tan tan 1444ππππ⎛⎫
=+== ⎪⎝⎭
， 故选：B.
2．设命题2:,2n P n N n ∃∈>，则P ⌝为 A ．2,2n n N n ∀∈> B ．2,2n n N n ∃∈≤ C ．2,2n n N n ∀∈≤ D ．2,2n n N n ∃∈=
【答案】C
【详解】特称命题的否定为全称命题，所以命题的否命题应该为2,2n n N n ∀∈≤，即本题的正确选项为C.
3．已知函数()241,0
log ,0x x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则
12f ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（ ） A ．1
2
B 2
C ．1
D ．1-
【答案】D
【分析】根据函数解析式，结合对数运算，代值计算即可. 【详解】因为
1
02
>， 故12f ⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝log 21
2＝－1.
故选：D.
4．设x ∈R ，则“250x x -<”是12x -<”的（ ）
C ．必要而不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】化简250x x -<
2<，判断推断关系，选出选项.
【详解】由250x x -<得05x <<
2<得014x ≤-<，即15x ≤<， 又因为{}{}1505x x x x ≤<<<，所以2
50x
x -<2<的必要不充分条件.
故选：C.
5．已知函数()sin2f x x =在[]0,a 上单调递增，则a 的最大值是（ ）
A ．π4
B ．π2
C ．π
D ．2π
【答案】A
【分析】求出函数()sin2f x x =的单调增区间，结合函数()sin2f x x =在[]0,a 上单调递增，即可得出答案.
【详解】由ππ
2π22π22
k x k -+≤≤+，Z k ∈，得ππππ44k x k -+≤≤+，
令0k =，可得()sin2f x x =的一个单调增区间为：ππ,44⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，
又因为函数()sin2f x x =在[]0,a 上单调递增， 所以π04
a <≤，故a 的最大值是π4.
故选：A.
6．已知1
3
212
11
2,log ,log 33a b c -
===，则三个数的大小顺序是（ ）
A ．a b c >>
B ．c a b >>
C ．c b a >>
D ．a c b >>
【答案】B
【分析】利用指数函数与对数函数的性质结合中间值0和1比较后可得. 【详解】由
10
3
02
21
a -
<=<=，
2
21
log log 103b =<=， 122
1
log log 313c ==>，
所以c a b >>.
7．已知{}min ,a b 表示,a b 中较小的数，设()()(){}min ,h x f x g x =，若()f x x =，()2
g x x =，则函
数()h x 的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】D
【分析】根据已知条件及分段处理的原则，结合绝对值函数和幂函数的图象即可求解.
【详解】当()()f x g x ≤时，即2
x x ≤，解得1x ≤-或1x ≥或0x =，
所以()(]}[){()()2,,101,,1,00,1x x h x x x ∞∞⎧∈--⋃⋃+⎪=⎨∈-⋃⎪⎩
，故图象为D. 故选：D.
8．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()2
ln f x x x =+，则
()2023f =（ ）
A ．1
B ．0
C ．1-
D ．2
【答案】C
【分析】由周期为4可以得(2023)(1)f f =-，再利用()f x 为奇函数得(1)(1)f f -=-，再代入已知函数求值即可.
【详解】由()()4f x f x +=可得函数()f x 周期为T=4， 又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，
所以()2
(2023)(50641)(1)(1)1ln11f f f f =⨯-=-=-=-+=-.
故选：C.
9．下列函数中，既是偶函数又在()0,1上单调递增的函数是（ ） A ．2y
x
B ．cos y x =-
C ．tan y x =
D ．2x y =
【答案】ABD
【分析】利用函数的奇偶性和单调性，再结合选项中相应函数的性质判断即可． 【详解】对于A ，2y
x ，既是偶函数，又在区间()0,1上单调递增，故A 正确；
对于B ，cos y x =-，既是偶函数，又在区间()0,1上单调递增，故B 正确； 对于C ，()()()tan tan f x x x f x -=-=-=-，则tan y x =为奇函数，故C 错误；
对于D ，2,0
22,0
x x
x x y x -⎧≥==⎨<⎩，既是偶函数，又在区间()0,1上单调递增，故D 正确．
故选：ABD ．
10．已知0a b <<，下列不等式成立的是（ ） A ．22a b < B ．22a b < C ．
1>a b
D ．11a b
<
【答案】BC
【分析】因为0a b <<，取2,1a b =-=-，可判断AD ；由函数2x y =的单调性可判断B ；由不等式的性质可判断C.
【详解】对于A ，因为0a b <<，取2,1a b =-=-，2241a b =>=，所以A 不正确； 对于B ，因为0a b <<，而函数2x y =在R 上单调递增，所以22a b <，故B 正确； 对于C ，因为0a b <<，不等式两边同时除以b ，则1>a
b
，故C 正确； 对于D ，因为0a b <<，取2,1a b =-=-，111
12a b
=->=-，故D 不正确. 故选：BC.
11．设函数()πcos 23f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，则（ ）
A ．()f x 的一个周期为π-
B ．()y f x =的图象关于直线4π
3
x =对称 C ．f x 的一个零点为π
x =
D ．()f x 在π,π2⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减
【答案】ABC
【分析】根据余弦函数的性质逐一分析判断即可得解. 【详解】则2π
π2
T =
=，故()f x 的一个周期为π-，故A 正确； 因为4π8ππcos cos3π1333f ⎛⎫⎛⎫
=+==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，故()y f x =的图象关于直线4π3x =对称，故B 正确；
πππcos 01263f ⎛⎫⎛⎫
=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()f x 的一个零点为π12x =，故C 正确.
当π,π2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，47,πππ3323x ⎛+∈⎫ ⎪⎝⎭，函数先增后减，故D 错误.
故选：ABC.
12．已知函数223,0
()ln 2,0x x x f x x x ⎧+-≤=⎨->⎩，则下列结论正确的是（ ）
A ．()()13f f =-
B ．函数()f x 在()1,-+∞上单调递增
C ．不等式()0f x <的解集为{}
23e x
x -<<∣ D ．当43k -<≤-时，方程()f x k =有三个不等实根 【答案】ACD
【分析】将1代入解析式计算((1))f f ，作出函数图象，判断单调性，解不等式，数形结合推断()f x k =有三个不等实根时k 的取值范围.
【详解】因为(1)2f =-，所以((1))(2)3f f f =-=-，A 项正确； 作出函数图象如图，
函数在(1,0)-和(0,)+∞上单调递增，B 项错误；
令()0f x <，由图形得{}
2
3e x x -<<，C 项正确；
结合函数图象，直线y k =与()y f x =图象有三个交点时，43k -<≤-，D 项正确.
三、填空题
13．幂函数()f x 过点14,2⎛⎫
⎪⎝⎭
，则()27f =__________.
【分析】利用已知条件求出幂函数的解析式，再求函数值即可.
【详解】设幂函数为()f x x α
=（α为常数），
由幂函数经过点14,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
所以
121142222
ααα-=⇔=⇒=-，
所以()1
2
f x x -=，所以()()
113
2
2
27273
f -
-
===
=
，
14．函数()
2
3log 9y x =-的值域是__________.
【答案】{}2y
y ≤∣ 【分析】由对数的真数大于0得定义域，结合对数函数的单调性求函数值域． 【详解】由题意可得290->x ，即33x -<<，所以函数的定义域为(－3， 3)．
因为2990x ≥->，所以2
33log (9)log 92x -≤=，故函数的值域为{}2y
y ≤∣． 故答案为：{}2y
y ≤∣. 15．若函数22022
3
kx y kx kx +=
++的定义域是R ，则实数k 的取值范围是__________.
【答案】[)0,12
【分析】由题意转化为230kx kx ++≠在R 上恒成立，讨论0k =和0k ≠求解即可得出答案. 【详解】函数22022
3
kx y kx kx +=
++的定义域是R ，
则230kx kx ++≠在R 上恒成立， 当0k =时，30≠成立；
当0k ≠时，2120k k ∆=-<，解得：012k <<， 所以实数k 的取值范围是[)0,12.
16．定义在()0,∞+上的()f x 同时满足以下三个条件：①()22f =；②()f x 为单调函数；③对任意的(),0,x y ∈+∞，总有()()()1f xy f x f y =+-，则关于x 的不等式()3f x >的解的集合是__________.
【答案】{4}x
x >∣ 【分析】将2,2x y ==代入()()()1f xy f x f y =+-可得()43f =，结合题意可得()f x 为()0,∞+上的单调增函数，然后列不等式即可
【详解】将2,2x y ==代入()()()1f xy f x f y =+-可得()()42213f f =-=， 因为()()42f f >，且()f x 为单调函数， 所以()f x 为()0,∞+上的单调增函数， 所以由()()34f x f >=可得>4x ，
所以x 的不等式()3f x >的解的集合是{4}x x >∣， 故答案为：{4}x
x >∣
四、解答题
17．已知集合{}{212,2A x
a x a B x x =-≤≤+=≤∣或}5x ≥. (1)若1a =，求()U A B ⋃；
(2)若A B A =，且A ≠∅，求实数a 的取值范围.
【答案】(1){15}x
x ≤<∣ (2)0a ≤或3a =
【分析】（1）由并集和补集的定义即可求出答案；
（2）若A B A =，则A B ⊆，可得21222a a a -≤+⎧⎨+≤⎩或212
215
a a a -≤+⎧⎨-≥⎩，解不等式即可得出答案.
【详解】（1）若{}1,13a A x x ==≤≤∣，U
B {25}x x =<<∣
()U A B ⋃{15}x x =≤<∣.
（2）若A B A =，则A B ⊆，
因为A ≠∅，则212a a -≤+⎧或212
a a -≤+⎧,
解得0a ≤或3a = 综上：0a ≤或3a = 18．已知
sin cos 23sin cos αα
αα
+=-.
(1)求()tan πα-的值； (2)求sin cos αα的值；
(3)若0πα<<，求sin cos αα+的值. 【答案】(1)35
(2)15
34
【分析】（1）分子分母同时除以cos α，算出tan α，结合诱导公式计算即可；
（2）分母补上22sin cos αα+，齐次化处理，分子分母同时除以2cos α，结合（1）中的tan α的值进行求解；
（3）先根据角度的范围确定sin cos αα+的符号，然后将其平方处理即可. 【详解】（1）根据sin cos 23sin cos αααα+=-，分子分母同时除以cos α，得到
tan 123tan 1αα+=-，解得3
tan 5
α=，由诱导公式，()3
tan πtan 5
αα-=-=-
（2）结合（1）中3
tan 5
α=
，222sin cos tan 15sin cos sin cos tan 134αααααααα===++；
（3）由0πα<<，故sin 0α>，又由（2）知sin cos 0αα>，故cos 0α>，于是sin cos 0αα+>，
23032(sin cos )12sin cos 13417αααα+=+=+=，则sin cos αα+= 19．求值：
(1)112
2
2
3
39264274-⎛⎫⋅-+ ⎪⎝⎭
；
(2)3log 7
01lg4(1)3lg502π-+++； (3)()()24525log 5log 0.2log 2log 0.5++. 【答案】(1)172
(2)8
(3)14
【分析】依照指数和对数的运算律计算依次计算代数式的值.
【详解】（1）原式13317
4194222
=⨯-=-+=；
（2）原式=lg217lg5lg10lg(25)1718-+++=⨯-++=； （3）原式
()
2211252255252511111
log 5log 5(log 2log 2)(log 5log 5)(log 2log 2)log 5log 222224
--=+⨯+=-⨯-=⨯=.
20．设0,02π
ωϕ><<
，函数()()2sin 3f x x ωϕ=++的最小正周期为π，且图像过,512π⎛⎫
⎪⎝⎭
． (1)求函数()f x 的解析式；
(2)当5,612x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，求函数的最大值和最小值及取最值时相应的x 的值．
【答案】(1)()2sin 233f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭
(2)最大值是5，12
x π
=；最小值是2，512
x π
=
【分析】（1）由函数的最小正周期为π，可得2ω=，再代入特殊点坐标求得3
π
ϕ=，进而求得函数()
f x 的解析式；
（2）由5,612x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
可得出23x π+的取值范围，再结合正弦型函数的基本性质可求得()f x 在区间
5,612ππ⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
的值域，从而求得函数()f x 的最大值和最小值及取最值时相应的x 的值． 【详解】（1）函数()()2sin 3,0,02
f x x π
ωϕωϕ=++><<
，最小正周期为π，
2T π
πω
∴=
=，2ω∴=，得()()2sin 23f x x ϕ=++，
又图像过,512π⎛⎫
⎪⎝⎭，代入得2sin 2351212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=⨯++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
所以sin 16πϕ⎛⎫
+= ⎪⎝⎭
，得23k πϕπ=+，k ∈Z ，
又02π
ϕ<<
，3π
ϕ∴=
，故()2sin 233f x x π⎛
⎫=++ ⎪⎝
⎭；
（2）5612x ππ-≤≤，70236x ππ∴≤+≤，1sin 2123x π⎛
⎫∴-≤+≤ ⎪⎝
⎭，
22sin 2353x π⎛
⎫∴≤++≤ ⎪⎝
⎭，即()25f x ≤≤，
故函数的最大值是5，此时sin 213x π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，即232x ππ+=，得12x π=，
其最小值是2，此时1sin 232x π⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭，即7236x ππ+=，得512x π=．
21．为落实国家“精准扶贫”政策，某企业于2020年在其扶贫基地投入150万元研发资金用于养殖业发展，并计划今后7年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%.
(1)写出第x 年（2021年为第1年）该企业投入的研发资金y （万元）与x 的函数关系式，并指出函数的定义域；
(2)该企业从第几年开始投入的研发资金将超过300万元？
（参考数据：lg0.120.921,lg1.20.079,lg0.1120.951,lg1.120.049,lg20.301≈-≈≈-≈≈）. 【答案】(1)1501.2x y =⋅，{}*
17x x ∈≤≤N ∣
(2)该企业从第4年开始投入的研发资金将超过300万元
【分析】（1）由题设，应用指数函数模型，确定函数解析式及定义域； （2）由（1）得300,1501.2300x y >⋅>，然后利用对数运算求解集.
【详解】（1）第x 年（2021年为第1年）该企业投入的研发资金y （万元） 则150(120%)1501.2x x y =+=⋅， 其定义域为{}*
17x x ∈≤≤N ∣
（2）由（1）得300,1501.2300x y >⋅> 所以1.22x >，即*1.2lg20.301
log 2 3.81,lg1.20.079
x x >=
≈≈∈N 所以4x ≥，故该企业从第4年开始投入的研发资金将超过300万元. 22．已知函数()313x
x
a f x -=+是奇函数
(1)求实数a 的值；
(2)判断()f x 在定义域上的单调性，并用单调性的定义加以证明；
(3)若[)()()0,,3130x x
x f f k k ∞∀∈+-+⋅+≤，求k 的取值范围.
【答案】(1)1a = (2)单调递减，证明见解析 (3)0k ≥
第 11 页 共 11 页 【分析】（1）由()()0f x f x +-=可求出实数a 的值；
（2）函数()1313x
x
f x -=+在R 上单调递减，再由单调性的定义证明； （3）由函数的奇偶性可得()()313x x f k k f ⋅+≤-，再由函数的单调性即可得出答案.
【详解】（1）依题意，()f x 的定义域为()331,1313x x x x
a a f x ---⋅--==++R ， 由()f x 是奇函数得()()0f x f x +-=，即()()
1310x a -+=， 于是1a =.
（2）()1313x
x
f x -=+在R 上单调递减. 设()()1212
12121313,,1313x x x x x x f x f x --<==++. ()()()()()21
12122331313x x x x f x f x --=++，因为21
330x x ->，所以()()12f x f x >， 于是()f x 在R 上单调递减.
（3）由()()3130x x f f k k -+⋅+≤得()()331x x f k k f ⋅+≤--，
因为()f x 是奇函数，所以()()
3113x x f f --=-，即()()313x x f k k f ⋅+≤-， 由（2）得313x x
k k ⋅+≥-，于是()1313x
x k f x -≥=+恒成立. 因为()f x 在[)0,∞+单调递减，所以()00k f ≥=.
综上，满足题设的k 的取值范围是0k ≥.。