灰色数列预测方法

那么，称 A 为系统的发展灰数，U 为系统的内生控制灰数，X 为预测灰数。
若用

A
与
A
分别表示的上界与下界，或最大与最小，即
A

[
A,

A]
，则记
A
的“宽度”为
9


m(A),则有：

m(A) A A 0

称
m(A)为发展灰数的测度，并且认为
m(A)越大，则发展灰数越大。当

A

A时，m(A)=0,
Y n

0.00360726 0.0591725
0.0591725 1.17065


442.7641 26.081


0.05383 4.332
X (0) [ X (0) (3), X (0) (4), …, X (0) (n)] 2 ……
X (0) [ X (0) (n 3), X (0) (n 2), …, X (0) (n)] n4
由于 GM(1,1)模型，要求数据数列最少为 4，所以可有 N-3 个数据序列被选取。显然，
dX (1) aX (1) u dt

系数向量为 a [a, u]T
6
若给定原始数据序列
X (0) [ X (0) (1), X (0) (2), …, X (0) (n)]
可分别从 X (0) 序列中，选取不同的连续数据列，有：
X (0) [ X (0) (2), X (0) (3), …, X (0) (n)] 1
（2）灾变预测。对某个时间是否会发生某种“灾变”，或某个异常值可能在什么时间
出现等进行预测。是“定量求时”。
（3）系统预测。对某个系统中一些变量或因素间，相互协调发展变化的大小及其数
量进行预测。
5
第二节 数列预测的基本方法 利用 GM(1,1)模型对时间序列进行数量大小的预测，称为灰色数列预测。如人口，粮 食产量，商品销售量，交通运输量等预测问题。这是应用最关广的一种灰色预测方法。 一、基本方法步骤 GM(1,1) 模型的微分方程为：
Y ( X (0) (2), X (0) (3), X (0) (4), X (0) (5), X (0) (6))T n
利用最小二乘法求解系数向量

a
11
先计算 BT B

a [BT B]1 BT Y n
BT
B


6.2235 1
10.995 1
16.0105 1
21.526 1
1
B 1 2 ( X (1) (3) X (1) (4)) 1 16.0105 1
1 2 ( X (1) (4) X (1) (5)) 1


21.526
1
1 2 ( X (1) (5) X (1) (6)) 1 27.2635 1
图4-3 灰色模型
的未来模块，即预测值构成的模块，称为“灰色模块”。如图4-3所示。
二、灰色预测方法的基本类型
（1）数列预测。即对某个系统或因素发展变化到未来某个时刻出现的数量大小进行
预测。如预测某地的粮食产量到2000年将是多少，这里一是需要明确未来时间，二是估
计这个时刻的粮食能生产多少。数列预测是“定时求量”。
灰色系统理论
主要讲以下两个内容: 灰色数列预测方法; 灰色灾变预测方法。
1
灰色系统理论
在研究很多系统时，往往要遇到随机干扰（即所谓“噪音”）。人们对受“ 噪音”污染的系统的研究大多基于概率统计方法。但概率统计方法有很多不足 之处：要求大样本、要求有典型的统计规律、计算工作量大等。而且在某些问 题中，其概率意义下的结论并不直观或信息量较少。例如，预报某天下雨的概 率是0.5，晴天的概率也是0.5，这种结论对于人们来讲毫无意义。

X (0)
(t

k
),
k

1.
若记 a 与u 的全体，分别为 A 与 U，则有：
i
i
A {ai | i 1,2,, n 3} U {ui | i 1,2,, n 3}
记预测值的全体为 X，则有：

X {Xi (t k) | i 1,2,, n 3; k 1}
2
主要讲以下四个内容：
第1章 灰色数列预测方法
一、灰色预测概述；
二、数列预测的基本方法；
三、数列预测的实用建模技术；
四、GM(1,1) 模型与指数方程的比较。
第一节 灰色预测概述
一、灰色预测的基本原理 所谓预测， 就是根据客观事物的过去和现在的发展规律，借助科学的方法和 先进的技术手段，对其未来的发展趋势和状况，进行描述和分析，并形成科学的假设 和判断。对于一个未出现的、没有诞生的未来系统， 必然是既有已知信息，又有未知 或未确知的信息，且处于连续变化的动态之中。 所以说，提出“预测未来” 本质上 个灰色问题。 灰色预测是建立一种描述研究系统动态变化特征的模型，它不仅是指系统中含 有灰元、灰数、灰关系的预测，而且还从灰色系统理论的建模、关联分析及残差辩识 的思想出发，所获得的关于预测的概念、观点和方法。 灰色预测是以灰色模块为基础，认为：一切随机量都是在一定范围内，一定3 时 段上变化的灰色量和灰过程。对于灰色量的处理不是寻求它的统计规律和概率分布， 而
例：若给定原始时间数据列：X (0) (X (0) (1), X (0) (2), … , X (0) (n)) 如图4-1所示。图中可见，这些数据多为无规律的，随机的，曲线有明显的摆动。 若将原始数据列进行一次累加生成，获得新的数据列：
其中： i
X (1) (i) X (0) (k )
82.01851 5
1
5
82.0185
516622.6252 (82.0185)2 82.0185 16622.6252

0.00360720 0.0591725
0.0591725 1.17065
12
计算 BT Y n
BT
Y n


X (0) (5)
X (1) (3)
X (0) (4)
X (1) (2)
X (0) (3)
X (1) (1)
X (0) (2)
t1 t2 t3
t4
t5
t6
t
图4-1 原始数据曲线
t1
t2
t3
t4
t5
t6 t
图4-2 累加数据曲线
4
如图4-2所示。可见，新生成的数据列为一条 X
单调增长的曲线。显然增加了原始数据列的规律 性，而弱化了随机性。一般来说，对非负的数据
5．响应函数

X (1) (k 1) ( X (0) (1) u a)eak u a
8
6、将

X (1)
求导还原

X (0) (k 1) a( X (1) (0) u a)eak



或 X (0) (k 1) X (1) (k 1) X (1) (k)
7、求出
灰色模块
列，累加可以弱化随机性，增加规律性，这样就
比较容易用某种函数去逼近拟合。 灰色系统理论把这种经过一定方法生成的数
白色模块
据列，在几何意义上称为“模块”。很显然，它就 过去 是时间序列在时间、数据的二维平面上所做的连
现在
未来 t
续曲线与其底部的总称。并将由已知数据列构成 的模块，称为白色模块，而由白色模块建模外推
X (1) (5) X (1) (4) X (0) (5) 18.542 5.968 24.510 X (1) (6) X (1) (5) X (0) (6) 24.510 5.507 30.017
t1
2
3
4
5
6
X (0) 3.936 4.575 4.968 5.063 5.968 5.507
6.2235 1
10.995 1
16.0105 1
21.526 1

27.2635 1

4.575
4.968 5.063 5.968


0.05383
4.332

5.507
计算系数向量

a

a

a u

(BT B)1 BT
B
1 2( X (1) (3) X (1) (2))
1



1 2( X (1) (n) X (1) (n 1)) 1
Y [ X (0) (2), X (0) (3),…, X (0) (n)]T n
4、用最小二乘法求解系数

a

a (BT B)1 BT Y n

27.2635 1
பைடு நூலகம்

6.2235

10.995
16.0105


21.526
27.2635
1
1 1 1

16622.6252 82.0185
1
82.0185 5
对上述矩阵求逆
(BT
B)1

16622.6252 82.0185

则发展灰数为零。这时所有模型的系数都相等，称相应的预测灰数为预测的唯一白化值。
一般来讲，不可能，也不必要对所有的子序列都建立 GM(1,1)模型。在应用时，只要根
据预测的超前长度来适当选择子序列的长度进行建模与预测。从大量的实践证明，进行近期
或短期预测，可选用较短子序列（约 4-10 年左右），进行中长期预测，则可选择较长的子数

X(
0
)
(k
)
与
X
(
0)
(k
)
之差及相对误差

X X (0)
(0)
(0)
E (0) (0) / X (0) 100%
按上述步骤对每一个序列建立
GM(1,1)模型，都有一组系数

ai
:

a i

ai ui

,
i 1,2,, n 3
并有相应的一组预测值，即
是将无规律的原始数据，通过一定的方法处理，变成比较有规律的时间序列数据。即以 数找数的规律，再建立动态模型。因为客观系统无论多么复杂，它总是联系的，有序的 ，有整体功能的。所以作为系统行为特征的数据，总是蕴含着某种规律。
对于原始数据以一定方法进行处理，其目的有二：一是为建立模型提供中间信息； 二是将原始数据的随机性弱化。
k 1
X (1) ( X (1) (1), X (1) (2), … , X (1) (n))
X (0)
X (0) (4)
X (0) (3) X (0) (2)
X (0) (6) X (0) (5)
X (0) (1)
X (1)
X (1) (6)
X (1) (5)
X (0) (6)
X (1) (4)
10
有：
X (1) (1) X (0) (1) 3.936 X (1) (2) X (1) (1) X (0) (2) 3.936 4.575 8.511 X (1) (3) X (1) (2) X (0) (3) 8.511 4.968 13.479 X (1) (4) X (1) (3) X (0) (4) 13.479 5.063 18.542
据序列（10 年以上）或母序列，结果较为满意。当然其关键是在于类比时间数据序列的特征
与未来发展趋势是否接近。
二、计算示例
设有如下原始数据序列，建立模型与预测
t1
2
3
4
5
6
X (0) 3.936 4.575 4.968 5.063 5.968 5.507
首先，对原始数据作一次累加生成，得到新的数据序列 X (1) ，即
2、 对子数据序列做一次累加生成记为
即：
{X (0) } {X (1) }
i
i
X (1) [ X (1) (1), X (1) (2),…, X (1) (n)] i
其中：
t
X (1) (t) X (0) (k ) k 1
3、 构造矩阵 B 与向量 Yn
1 2( X (1) (2) X (1) (1)) 1
X (1) 3.936 8.511 13.479 18.542 24.510 30.017
构造矩阵 B 与向量 Yn
1 2 ( X (1) (1) X (1) (2)) 1 6.2235 1
1 2 ( X (1) (2) X (1) (3)) 1

10.995
X (0) 序列是从 X (0) 序列中分别舍去一些数据后形成的，故称 X (0) 是 X (0) 的子数据序列。一般
i
i
子数据序列必被母序列所包含，不过常常认为母序列 X (0) 是一个特别的子数据序列。
对于数据序列建立 GM(1,1)模型的步骤大致可以概括为：
1、确定任一子数据序列
7
X (0) [ X (0) (1), X (0) (2), … , X (0) (n)] i