数学建模一周论文1

数学建模一周论文论文题目：野兔生长问题
姓名1：王磊学号：1030340101
姓名2：李欣腾学号：1030160332
姓名3：学号：
专业：土木工程
班级：10303401
指导教师：
2011年12 月30 日
前言
我们研究了某地区野兔的生长状况，根据该地区野兔在过去十年的统计数量，分别建立了Logistic模型，人工神经网络训练模型，预测理论中的灰色GM(1,1)模型等。

得到如下结果：
问题1:通过研究该地区野兔在过去十年的统计数量，我们可知在一定条件下，野兔种群的数量变化是有一定规律的。

在此，我们结合过去十年野兔数量的历史数据，建立了逻辑斯谛增长模型，得到野兔的生长规律如下：野兔初始于该地方生存时，野兔的生长繁殖有充分的保障，数量增多。

随着野兔的不断繁殖，其有限生存空间日趋减小，其数量趋向于某一极值。

而当野兔数量超过环境容纳量时,野兔种群的增长受到抑制，数量下降。

当野兔种群数量降低到环境容纳量以下时,野兔种群的出生率上升，死亡率下降，自然资源与食物资源较为充裕，种内与种间竞争有所缓解，从而野兔种群增长加快。

问题2：我们首先建立一个对过去10年野兔数量的历史数据进行训练的人工神经网络模型。

人工神经网络是由大量简单的处理单元广泛连接而成，具有强大的训练功能，能自动抽取输入输出之间的复杂关系（通过内部连接的改变实现），并随环境条件变化所产生新样本的训练不断调整更新。

在具体网络训练过程中，通过选定一定的特征参数便可以准确地训练出我们所要求的目标量，同时将训练值与实际
值进行比较，并通过综合考虑一些重要因素，得到在T=3、5、6时野兔的增长有异常现象。

问题3：本题要求我们由过去十年野兔的统计数据预测后几年的数据，若采用线性回归的方法不但计算烦杂，而且由于线性回归对预测近期有较高精度，不但结果精确度很低、预测性差，模型的稳定性能也较差，显然不可行。

因此，我们利用时间序列建立灰色系统分析模型，它对于信息不完整(或不完全)情况，具有良好的适用性，即GM(1,1)模型。

我们依据题目中所给的过去10年野兔生长的统计数据，对该地区未来第11年的野兔生长发展趋势做出预测分析，得到T=10时，野兔数量为： 11.5217（十万）。

最后，我们结合本篇模型分析得到，对于任一个数学模型，在运用它来解决实际问题时不可避免地会产生一些误差，这就会给模型的求解产生影响。

对此，我们对模型中的数据进行了灵敏度分析，残差分析等，最终得到我们所建立的模型和采用的方法具有一定的合理性。

摘要
通过观察表格中野兔在连续九年的数量，利用所学数学知识分析得出野兔的生长规律，从而预测出第十年野兔的数量。

分析了野兔种群数量的统计结果，假设野兔在十年内生长环境变化稳定，但是数据显示这是不可能的，因为在两个数据点处出现了异常的增长现象。

在异常的自然条件下野兔的生长状况是不符合正常的生长律的。

因此我们先排除这两个异点，并试图揭示剩下的几组数据兔种群数量变化的规律。

模型里所给出的主要微分方程中有两个参数需要给出。

在给参数的过程中我们发现某些量值之间存在着线性函数关系式，利用计算机我求出了线性比例因子从而确定了所给出的参数。

在模型求解过程中，我们发现，对 logistic 模型赋予不同的参数会导模型的解在一定程度上的变化。

于是我们想知道参数在一定范围内的改变到底对解函数产生多大的影响？这个问题的探讨实际上是对解的可靠性的探讨，对题本身有较强的实践意义。

我们最终把这个问题归结为含参数的初值问题的微方程对初值的依赖性与对参数的依赖性问题。

在对问题的探讨中，我们避免了纯粹的数学理论，而是利用计算机给出模型的解函数在不同的初值条件下、不同参数下的表现，并利用 Matlab 绘制成图像，直观且清晰地反映出模型的解函数对参数与初值不同选取的表现。

在解决这个问题的途中，我们还利用到了计算方法课程所学到的知识，通过观察数据，利用插值法描出图像，近似得出函数，再得出第十年的野兔数量。

问题重述
这是一个关于野兔生长状态的模型。

我们知道研究一定空间内某一生物物种的种群数量随时间变化的规律是很有实践意义的。

人类自身作为地球上的一个物种，也在不断的探求自己的命运。

由于地球上的资源与空间有限，人类自身的种群数量（即通常意义上的人口）就变得很重要了。

事实上，早在18世纪末，马尔萨斯(Thomas Malthus,1766—1834)就发表了著作《人口原理》，从此激发了人们研究人口增长趋势的兴趣。

马尔萨斯在他的这本书里提出了人口按指数增长的模型，并断言人口数量最终将超出食物所能提供的容纳能力。

虽然马尔萨斯模型的假设忽略了人口增长中的一些重要因素，但是这个模型作为以后改进模型的基础是很有价值的。

从这个意义上说，我们去探索野生动物的生长规律，正如同探索人类自身的种群数量，即人口增长规律一样，显得很有价值。

我们得到的数据是某地区野兔的数量在连续十年中的统计结果，如下表：在某地区野兔的数量在连续十年的统计数量(单位十万)如下：
T=
T=1 T=2 T=3 T=4 T=5 T=6 T=7 T=8 T=9
1 2.31
969 4.50
853
6.90
568
6.00
512
5.56
495
5.32
807
7.56
101
8.93
92
9.58
17
我们要做的是通过分析所给数据，得出野兔生长的规律，即想办法用一个关于时间的函数来表达野兔的数量。

并预测 T=10 时野兔的数
量。

首先，野兔是生长在自然环境中的。

自然很复杂，存在着许多影响种群发展的因素。

我们知道，假如给野兔一个理想的环境，野兔数量是呈J型增长的。

现实情况中，种群一般是呈S型增长的，从题中表格看出，野兔的数量并不是单一地增长，T=3，6.90568；T=4，6.00512；T=5，5.56495；T=6，5.32807。

第四年到第七年，这三年野兔的数量不增反降，说明其间有影响野兔生长的因素存在。

我们探讨了其中的因素：
（1），兔子内部因素，竞争，雄雌比利失去平衡，老化严重等。

（1），自然灾害，比如说草原火灾，使野兔生长环境遭到破坏；再如气候反常，使野兔的产卵，交配受影响。

（2），天敌的捕食，狼，狐狸等天敌大量地捕食使野兔生存受到威胁。

（3），疾病的侵扰，野兔种群中，蔓延并流行疾病，必然使野兔存活率下降。

（4），人类的影响，城市扩建，使其栖息地面积减少捕杀。

根据这些信息我们需要解决以下问题: 根据这些信息我们需要解决以下问野兔生长问题：
一:九年间兔子数量的变化异常。

二：第 10 年的兔子数量。

三：建立数学模型求解
模型假设
1,假设野兔的性别比近似认为 1:1,并且采用措施维持这个性别比。

2.假设它使处于自然的情况（没有人的作用）,人类活动对其生存不产生影响。

3.假设野兔在各年龄段中的分布率不变，即年龄结构不变，并采用各种措施维持这一结构；
4.假设兔子的内部因素对其生存率的影响不大。

5.假设各个环境因素对野兔生长的影响是互不影响的。

分析与建立模型
对于生物模型，首先考虑的是logistic模型，考虑到logistic 模型的增长曲线是单调的，而题目所给的数据中有一段是下降的，这是反常的情况，而正常情况应当是单调上升的。

考虑到可能在这段时间内有使野兔减少的因素。

不能在整个时间段进行拟合，我们应当在每个单调区间上进行拟合。

第一单调增区间
T=0 T=1 T=2 T=3
1 2.31969 4.50853 6.90568
第一单调减区间
T=3 T=4 T=5 T=6
6.90568 6.00512 5.56495 5.32807
第二单调增区间
T=6 T=7 T=8 T=9
5.32807 7.56101 8.9392 9.5817
我们把野兔生长情况分成了上表三个区间，建立野兔生长的logistic 模型。

模型求解
对于logistic 连续模型，设微分方程为
)1(d d bx ax t x -=，0)0(x x =, )0,/1,0(00>≠x b x （1）
其中参数a ，b 需要通过拟合得到。

（1） 的解为
)exp(11)(0at b x b t x -⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=. （2） 设已知连续三年的数据)(),(),(321t x t x t x ，其中01223>=-=-T t t t t ，则由
（2）得方程组
⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+310
210
110
1)2exp(11)exp(11)exp(1x aT at b x b x aT at b x b x at b x b (3) 这三个方程中有三个未知量0,,x b a 可以解出a,b 如下: 将（3）中第一式代入第二、三式消去x 0， 得
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b x aT b x b x aT b x 31
211)2exp(11)exp(1 (4) 消去a 后得b 满足的方程
2
231111⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-b x b x b x (5) 解得
)
2()(31213223122x x x x x x x x x x b -+-=. (6) 代入(4) 的第一式得a 满足的方程
T
x x x x x x a ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=)()(ln 231123 (3) 求参数a,b 的MATLAB 程序
function [a,b, q]=hare(p,T)
% 输入单调的连续三年数量p 和时间间隔T(本题T=1), 输出参数 a, b 和下一年的数量q
a=log(p(3)*(p(2)-p(1))/(p(1)*(p(3)-p(2))));
b=(p(2)^2-p(3)*p(1))/(p(3)*p(2)+p(1)*p(2)-2*p(1)*p(3))/p(2);
q=1/(b+(1/p(3)-b))*exp(-a*T)）;
在第一个上升阶段, 对于连续三年（0，1，2）和（1，2，3）分别计算得到二组a ，b 值
0.99999629543280 0.09999899065418 1.00000189673056 0.10000006995945
在下降阶段，对于连续三年（3，4，5）和（4，5，6）分别计算得到的二组a ，b 值
0.49999951470301 0.20000005321601 0.49998396474656 0.20000085565547
在第二个上升阶段，对于连续三年（6，7，8）和（7，8，9）分别计算得到的二组a ，b 值
1.00000508717411 0.10000005796845 1.00000975640180 0.10000014562299
当取a, b 为最后一组数据时，t=10 时由(2) 得到预测数为9.84193（十万）,当取a=1，b=0.1 时，预测数为9.84194（十万）.
结论是：
在 T=0 到T=3 之间增长规律为logistic 模型：)1.01(d d x x t
x -=. 在 T=3 到T=6 之间增长规律有异常情况, 但仍为logistic 模型；：)2.01(5.0d d x x t
x -=. 在 T=6 到T=9 之间增长规律恢复为logistic 模型：)1.01(d d x x t
x -=. 在T=10 时, 在正常情况下, 野兔数量为 9.84194（或9.84193）（十万）只.。