高中数学第三章直线与方程3.2.2直线的两点式方程练习(含解析)新人教A版必修2

第23课时 直线的两点式方程
直线的两点式方程A ．2 B ．－3 C ．－27 D ．27 答案 D
解析 由两点式得直线方程为y －65－6＝x ＋3
2＋3，即x ＋5y －27＝0．令y ＝0，得x ＝27．
2．已知点P(3，m)在过点M(2，－1)和N(－3，4)的直线上，则m 的值是( ) A ．5 B ．2 C ．－2 D ．－6 答案 C
解析 由两点式方程，得 直线MN 的方程为
y －－
4－－
＝
x －2
－3－2，化简，得x ＋y －1＝0． 又点P(3，m)在此直线上，代入得3＋m －1＝0，解得m ＝－2．
直线的截距式方程A ．x 2－y 3＝1 B ．x 2＋y
3＝1 C ．y 3－x 2＝1 D ．x 2＋y
3＝0 答案 A
解析 根据截距式方程x a ＋y
b
＝1，(其中a ，b 分别为x 轴和y 轴上的截距)得所求直线方
程为x 2＋y －3＝1，即x 2－y
3
＝1，选A ．
4．过点(5，2)，且在y 轴上的截距是在x 轴上截距的2倍的直线方程是( ) A ．x 6＋y 12＝1 B ．x 6＋y 12＝1或y ＝25x C ．x －y 2＝1 D ．x －y 2＝1或y ＝25x
答案 B
解析 当直线过原点时满足题意，所求方程为y ＝2
5x ；当直线不过原点时，可设其截距
式为x a ＋y 2a ＝1，由该直线过点(5，2)，解得a ＝6，对应的方程为x 6＋y
12
＝1．故选B ．
直线方程的应用形各边所在的直线方程．
解 由题意可知A(－4，0)，C(4，0)，B(0，－3)，D(0，3)，由截距式方程可知直线AB 的方程为x －4＋y
－3
＝1，即3x ＋4y ＋12＝0．
同理可得直线BC 的方程为3x －4y －12＝0， 直线CD 的方程为3x ＋4y －12＝0， 直线AD 的方程为3x －4y ＋12＝0．
6．已知线段BC 的中点为D3，3
2．若线段BC 所在直线在两坐标轴上的截距之和是9，求
BC 所在直线的方程．
解 由已知得直线BC 的斜率存在且不为0．设直线BC 在x 轴上的截距为a ，在y 轴上的截距为b ．
则直线BC 的截距式方程为x a ＋y
b ＝1．
由题意得a ＋b ＝9， ① 又点D3，3
2
在直线BC 上，
∴3a ＋3
2b ＝1，∴6b＋3a ＝2ab ， ② 由①②联立得2a 2
－21a ＋54＝0，
即(2a －9)(a －6)＝0，解得a ＝9
2或a ＝6．
∴⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝92，
b ＝9
2
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝6，
b ＝3.
故直线BC 的方程为2x 9＋2y 9＝1或x 6＋y
3＝1，
即2x ＋2y －9＝0或x ＋2y －6＝0．
一、选择题
1．有关直线方程的两点式，有如下说法：
①直线方程的两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程； ②直线方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1也可写成y －y 2y 1－y 2＝x －x 2
x 1－x 2
；
③过点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)的直线可以表示成(x 2－x 1)(y －y 1)＝(y 2－y 1)(x －x 1)． 其中正确说法的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案 D
解析 ①正确，从两点式方程的形式看，只要x 1≠x 2，y 1≠y 2，就可以用两点式来求解直线的方程．②正确，方程
y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1与y －y 2y 1－y 2＝x －x 2
x 1－x 2
的形式有异，但实质相同，均表示过点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)的直线．③显然正确．
2．若直线x a ＋y
b ＝1过第一、二、三象限，则( )
A ．a>0，b>0
B ．a>0，b<0
C ．a<0，b>0
D ．a<0，b<0 答案 C
解析 因为直线过第一、二、三象限，所以结合图形可知a ＜0，b ＞0．
3．一条光线从A ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，0处射到点B(0，1)后被y 轴反射，则反射光线所在直线的方程为( )
A ．y ＝2x ＋1
B ．y ＝－2x ＋1
C ．y ＝12x －12
D ．y ＝－12x －12
答案 B
解析 由光的反射定律可得，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0关于y 轴的对称点M ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，0在反射光线所在的
直线上．再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线的方程为y －0
1－0＝x －1
20－1
2
，即y ＝－2x ＋1．
4．过点P(2，3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l 的方程是( ) A ．x －y ＋1＝0
B ．x －y ＋1＝0或3x －2y ＝0
C ．x ＋y －5＝0
D ．x ＋y －5＝0或3x －2y ＝0 答案 B
解析 若直线l 过原点，则方程为y ＝3
2x ，即3x －2y ＝0；若直线l 不过原点，则设直线
方程为x a －y
a ＝1，将(2，3)代入方程，得a ＝－1，故直线l 的方程为x －y ＋1＝0．所以直线l
的方程为3x －2y ＝0或x －y ＋1＝0．
5．若直线过点(1，1)且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 答案 C
解析 设直线的方程为x a ＋y
b
＝1，∵直线经过点(1，1)，且与两坐标轴所围成的三角形的
面积为2，∴1a ＋1b ＝1，1
2|ab|＝2，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝2，
b ＝2或⎩⎨
⎧
a ＝－22－2，
b ＝22－2
或⎩⎨
⎧
a ＝22－2，
b ＝－22－2.
∴满足条件的直线有3条．
二、填空题
6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．
答案 －2
3
解析 设P(m ，1)，由线段PQ 的中点是(1，－1)，得Q(2－m ，－3)，∴2－m －(－3)－7＝0，∴m＝－2，∴P(－2，1)，∴直线l 的斜率k ＝
1－－－2－1＝－2
3
．
7．已知直线l 经过点A(－4，－2)，且点A 是直线l 被两坐标轴截得的线段中点，则直线l 的方程为________．
答案 x ＋2y ＋8＝0
解析 设直线l 与两坐标轴的交点为(a ，0)，(0，b)，由题意知a ＋02＝－4，b ＋0
2＝－2，
∴a＝－8，b ＝－4．
∴直线l 的方程为x －8＋y
－4
＝1，即x ＋2y ＋8＝0．
8．已知A(1，－2)，B(5，6)，经过线段AB 的中点M ，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．
答案 2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0
解析 点A(1，－2)，B(5，6)的中点M 的坐标为(3，2)．当直线过原点时，方程为y ＝
2
3x ，即2x －3y ＝0；当直线不过原点时，设直线的方程为x ＋y ＝m ，把中点M 的坐标(3，2)代入直线的方程，得m ＝5，故所求直线的方程是x ＋y －5＝0．综上，所求的直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0．
三、解答题
9．已知△ABC 中，A(1，－4)，B(6，6)，C(－2，0)．求：
(1)△ABC 中平行于BC 边的中位线所在直线的方程并化为截距式方程； (2)BC 边的中线所在直线的方程并化为截距式方程．
解 (1)平行于BC 边的中位线就是AB 、AC 中点的连线．因为线段AB ，AC 中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，1，⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，－2， 所以这条直线的方程为y ＋21＋2＝x ＋1
272＋12，整理得，6x －8y －13＝0，化为截距式方程为x 136＋
y
－13
8＝1．
(2)因为BC 边上的中点为(2，3)，
所以BC 边上的中线所在直线的方程为y ＋43＋4＝x －1
2－1
，
即7x －y －11＝0，化为截距式方程为x 117＋y
－11＝1．
10．已知直线l ：x m ＋y
4－m
＝1．
(1)若直线l 的斜率等于2，求实数m 的值；
(2)若直线l 分别与x 轴、y 轴的正半轴交于A ，B 两点，O 是坐标原点，求△AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程．
解 (1)直线l 过点(m ，0)，(0，4－m)， 则k ＝4－m －m ＝2，则m ＝－4．
(2)由m ＞0，4－m ＞0，得0＜m ＜4， 则S ＝
－2
＝
－－2
＋42
，
易知当m ＝2时，S 有最大值2， 此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0．。