因式分解技巧十法

因式分解技巧
这里介绍了10种因式分解的技巧，若将这些技巧全部掌握，在解决因式分解问题上必然有质的提升。

首先提取公因式，然后考虑用公式。

十字添拆要合适，待定主元要试试。

几种方法反复试，最后必是连乘式。

一、提取公因式法多项式中所有的项都含有的因式称为它们的公因式。

例1：分解因式12a2bc2x2y3-9ab2cx3y2+3abcx2y2
解：仔细观察，其中3abcx2y2 是它们的公因式
所以原式=3abcx2y2(4acy-3bx+1)
技巧：先提取每一项的系数的公因数，再逐个将每个字母的最低次提取出来。

注意其中符号的变化以及不能遗漏其中的“1”。

例2：分解因式3x2y(a+b)(b+c)+3xy2(a+b)(b+c)
若在求解过程中将(a+b)(b+c)展开，则在后面的分解过程中会有很大的麻烦，应该观察到每一项都含有(a+b)(b+c)，将其看成一个整体，不做变化。

解：含有公因式3xy(a+b)(b+c)
所以原式=3xy(a+b)(b+c)(x+y)
技巧：在分解过程中，利用好整体思想。

二、公式法利用常见的公式进行因式分解。

常用公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
a2-2ab+b2=(a-b)2
a2+2ab+b2=(a+b)2
a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)
a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3
a3-3a2b+3ab2-b3=(a-b)3
a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2
补充公式当n为正奇数时有
a n+
b n=(a+b)(a n-1-a n-2b+a n-3b2-……-ab n-2+b n-1)
当n为正整数时，有
a n-
b n=(a-b)(a n-1+a n-2b+a n-3b2+……+ab n-2+b n-1)
例3：分解因式16(m+x)2-9(n+y)2
解：16(m+x)2=(4m+4x)29(n+y)2=(3n+3y)2
原式=(4m+4x)2-(3n+3y)2
=(4m+3n+4x+3y)(4m-3n+4x-3y)
技巧：应该先观察，若先进行展开，将会非常麻烦。

例4：分解因式-1-2x-x2+y2
解：原式=y2-(x2+2x+1)
=y2-(x+1)2
=(y+x+1)(y-x-1)
例5：分解因式9x2-24xy+16y2
解：原式=(3x)2-24xy+(4y)2
=(3x-4y)2
例6：分解因式a2+b2+c2+2ab-2bc-2ca
解：原式=（a2+2ab+b2）-2(a+b)c+c2
=(a+b)2-2(a+b)c+c2
=(a+b-c)2
例7：分解因式x3+1
解：原式=x3+13=(x+1)(x2-x+1)
注意“1”的妙用。

例8：分解因式x6-y6
方法一、原式=(x2)3-(y2)3
=(x2-y2)(x4+x2y2+y4)
=(x-y)(x+y)(x2-xy+y2)(x2+xy+y2) 方法二、原式=(x3)2-(y3)2
=(x3+y3)(x3-y3)
=(x-y)(x+y)(x2-xy+y2)(x2+xy+y2)
例9：分解因式x3+3x2+3x+1
方法一、利用完全立方公式有
原式=(x+1)3
方法二、原式=x3+1+3x(x+1)
=(x+1)(x2-x+1)+3x(x+1)
=(x+1)(x2+2x+1)
=(x+1)3
例10：在实数范围内分解因式x4+y4
解：原式=x4+2x2y2+y4-2x2y2
=(x2+y2 )2-( xy)2
=(x2+xy+y2)(x2-xy+y2)
例11：分解因式x5-1
方法一、利用公式求解
方法二、原式=x5-x4+x4-x3+x3-x2+x2-x+x-1
=(x-1)x4+(x-1)x3+(x-1)x2+(x-1)x+x-1
=(x-1)(x4+x3+x2+x+1)
三、分组分解法对多项式的项进行适当的分组使之能够提取公因式或应用公式。

要求做到高瞻远瞩。

例12：分解因式ax-by-bx+ay
解：原式=ax+ay-bx-by
=a(x+y)-b(x+y)
=(a-b)(x+y)
例13：分解因式x3+x2-y3-y2
解：原式=x3-y3+x2-y2
=(x-y)(x2+xy+y2)+(x-y)(x+y)
=(x-y)(x2+xy+y2+x+y)
注：若将x3，x2分成一组，将y3，y2分成一组，则无法进行分解.
四、添项与拆项分解法仔细观察多项式的特点，添加适当的项或将其中的项进行适当的拆分，使解题思路变得清晰。

注意在添项与拆项过程中进行的是恒等变形。

例14：分解因式a3-b3
解：原式=a3-ab2+ab2-b3
=a(a2-b2)+b2(a-b)
=a(a-b)(a+b)+b2(a-b)
=(a-b)(a2+ab+b2)
例15:分解因式x3-2x+1
解：原式=x3-x-x+1 =x3-x2+x2-2x+1
=x(x-1)(x+1)-(x-1) =x2(x-1)+(x-1)2
=(x-1)(x2+x-1) =(x-1)(x2+x-1)
例16：分解因式a4+a2b2+b44
解：原式=a4+2a2b2+b4-a2b2
=(a2+b2)2-(ab)2
=(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)
五、十字相乘法与长十字相乘法类似x2+(a+b)x+ab的式子可以分解为(x+a)(x+b).
例17：分解因式x2+5x+6
解：原式=x2+(2+3)x+6
=(x+2)(x+3)
技巧：将常数项拆成两项相乘，这两项之和为一次项的系数。

例18：因式分解6x2-7x+2
解：将6x2拆成2x与3x,将分解为-1与-2，进行适当的组合有
原式=(2x-1)(3x-2)
六、换元法适用于次数较大或式子比较复杂的情况。

例19：因式分解x6-28x3+27
解：令t=x3则
原式=t-28t+27
=(t-1)(t-27)
=(x3-1)(x3-27)
=(x-1)(x-3)(x2+x+1)(x2+3x+9)
注意：在结果中不能出现题目中没有出现的字母。

例20：分解因式(x2+3x+3)2+(x2+3x+1)2-2
解：令t=x2+3x+2 则
原式=(t-1)2+(t+1)2-2
=2t2
=2(x+3x+2)2
=2(x+1)2(x+2)2
七、主元法当多项式中含有多个元时，若在因式分解过程中感觉比较复杂，可以选择其中一个元作为主元进行分解，往往有意想不到的效果。

例21：分解因式y4+(x-1)y3+(x+1)y+x2-1
分析：此多项式是以y降幂排列的，整体比较复杂，继续观察，发现可以按照x降幂排列。

解：原式=x2+(y3+y)x+y4-y3+y-1
=x2+(y3+y)x+(y3+1)(y-1)
=(x+y3+1)(x+y-1)
技巧：选取主元时，一般选择字母指数最低的作为主元。

八、求根公式法一般应用于形如ax2+bx+c (a≠0) 的多项式的因式分解。

若ax+bx+c=0有两个根x1,x2则ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)
利用一元二次方程的求根公式可以求出方程的两个根。

求根公式
例22：分解因式3x2+6x+2
解：令3x2+6x+2=0 解得x1 x2
原式=（x++1）（x+-1）
九、待定系数法先设定多项式等于含有待定系数的因式的乘积，再利用多项式的恒等式定理求得待定系数，从而完成多项式因式分解的方法称为待定系数法。

待定系数法在其它许多数学问题中有较大的作用。

主要思路：
1.要根据多项式的特征，假设它能够分解出含有待定系数的某种可能的
因式。

2.把假设的各因式展开并整理为与多项式类似的形式。

3.根据恒等式的性质列出方程组，解方程组求出待定系数。

4.使待定系数的值适合方程组中的每一个方程。

5.将求出的待定系数代入假设中，从而将多项式因式分解。

例23：分解因式x2+3y2-2z2+4xy-xz+yz
解：设原式=(x+y+az)(x+3y+bz)其中a、b为整数
方法一、采用系数比较法。

因为x2+3y2-2z2+4xy-xz+yz≡x2+3y2+abz2+4xy+(a+b)xz+(3a+b)yz 有ab=-2
a+b=-1 解得a=1 b=-2
3a+b=1
所以原式=(x+y+z)(x+3y-2z)
方法二、采用数值代入法。

1)取x=y=1,有ab+4a+2b=-2
2)取x=z=1,y=-1有ab-2a=-4
3)解得a=1,b=-2
所以原式=(x+y+z)(x+3y-2z)
技巧：确定待定系数一般有两种方法：一是系数比较法，利用多项式恒等定理，通过比较对应项系数，列出有关待定系数得方程组；二是数值代入法，利用多项式恒等定理，通过代入几组字母的特殊值，列出有关待定系数得方程组。

十、赋值试探法将x取一个特殊值c代入多项式，若多项式得值为0，
则x-c 为多项式得一个因式。

当然，我们选择代入得数字式有一定的规律的。

对于多项式a n x n+a n-1x n-1+a n-2x n-2+……+a1x1+a0 来说
赋值常是 c=q/p,其中p是a的因数，q是a得因数，正得或负的。

例24：分解因式 f(x)=2x3-x2-5x-2
解：显然x=-1时，f(-1)=0,所以x+1是它的一个因式。

F(x)=2x3+2x2-3x2-3x-2x-2
=2x2(x+1)-3x(x+1)-2(x+1)
=(x+1)(2x2-3x-2)
=(x+1)(2x+1)(x-2)
技巧：若所有组合均不能解决，则另想它法。

一、若系数之和为0，则其含有因式x-1
二、若奇数次项的系数之和与偶数次项的系数之和相等，则含有因式x+1.。