调和函数Liouville定理的推广

调和函数Liouville定理的推广
调和函数Liouville 定理的推广
Liouville 定理是非常重要的一个定理，它在物理学中，数学中都有着重要的位置，在研究复分析、哈密顿力学、数论、微分、代数中都有它的身影出现。

调和函数是指满足拉普拉斯方程且存在二阶连续偏导的实解析函数。

调和函数Liouville 定理：如果h 在2
上是调和函数且在
n
上满足0h ≥，则h 就
等价于一个（非负）常函数。

定理一：如果h 在n
调和，P 是一个使hP 0≥且趋近于无穷的调和多项式，那么h 就等价于一个常数乘以P 。

定理二：如果f 在n
上是m 阶多重调和的，并且0f ≥且f 趋近于无穷，那么f 是
一个小于等于2m-2次的（非负）多项式。

定理三:如果h 在
n 上调和，那么在任意点0x ∈n
00202(,)()lim (,,)(,)
lim
(,,)p p
m
p m
m n D h x M x h x v m n A x h x ρρμρρ
ρρ→∞
→∞
==
其中,(2)(,)(,)(2)(4)...(2)m p n m m n nv m n n n n n m
μ=+==+++。

定理四：如果h 在n 上调和，m 是一个正整数，并且
1lim (,0,)0m r M h r r +→∞=（特别是当()
lim 0m r h x r →∞=时）则h 是一个低于m 次的多项式。

关键词：调和函数，Liouville 定理，推论，调和多项式
第一章绪论
1.1 概述
Liouville 定理是非常重要的一个定理，由十九世纪法国数学家约瑟夫.刘维尔
最先证明。

它在物理学中，数学中都有着重要的位置，在研究复分析、哈密顿力学、微分中都有它的身影出现。

在复分析中Liouville 定理对整函数（即在整个复数域上都是全纯函数）的值域进行了刻画，它的内容为任何有界的整函数都恒等于一个常数。

在物理学中，Liouville 定理是经典统计力学和哈密顿力学中的重要定理，该定理表明相空
间的分布函数沿着系统的轨迹是常数——即给定一个系统点，在相空间游历过程中，该点邻近的系统点的密度关于时间是常数。

在微分代数上刘维尔定理指出了具有初等原函数的初等函数的本质特征，由约瑟夫.刘维尔于十九世纪三四十年代提出, 经后人推广到一般的微分域上[]1, 并被进一步推广运用在常微分方程组初等首次积分的研究上.Liouville 定理还有很多不同的推论应用在不同的领域上，本篇论文就是研究调和函数上的将Liouville 定理的理论推广到多项式上面。

1.2储备知识
1.2.1拉普拉斯算子
拉普拉斯算子是一个n 维欧式空间中的二阶微分算子，其定义为梯度（f ?）的散度（f ）。

所以一个二阶可微的实函数f 的拉普拉斯算子定义为：
2f f f ?=?=
1.2.2 拉普拉斯方程
拉普拉斯方程是一种常见的偏微分方程，也可叫做调和方程或者
位势方程，其形式为：
22212
222
12...0n n
y y y x x x +++= 这个式子也可写成0f ?=或20f ?=其中?为拉普拉斯算子。

我们把拉普拉斯方程的解称为调和函数。

1.2.3 调和函数
定义：若f 在区域d 内存在二阶连续偏导数，且在d 上满足拉普拉斯方程，即：
22212
222
12...0n n y y y x x x +++= 这个式子也可写成0f ?=或者20f ?=，其中?为拉普拉斯算子，则函数f 为调和函数。

1.2.4 Liouville 定理
定义：在全平面上有界的调和函数比为常数。

本论文将调和函数Liouvllle 定理的性质进行推导，将其应用到了多项式上。

第二章 Liouville定理推广
2.1 Liouville定理的推论
首先，我们声明n为一个n维欧式空间。

Liouvile定理表明，如果h在2上是调和函数且在n上满足0
h ，则h就等价于一个（非负）常函数。

在近几年的报道中，Murdoch给出了这个定理的一个推论，即如果h在n上调和，H是n 上的调和多项式，并且hH在n上总是大于等于0，那么f就等于一个（非负）常函数乘以H。

Murdock也提出当H呗取代为一个调和多项式P时，这个推论同样成立。

我们在这里证明这个定理，则我们有定理一：如果h 在
n
调和，P 是一个使hP 0≥且趋近于无穷的调和多项式，那么h
就等价于一个常数乘以P 。

另一个liouvile 定理的推论是对于n
上的多阶调和函数。

我们还是说f 是
n
上m
阶调和的，假如f 在n
上是实解析的并且1()()0m m f f -?=??≡（这里?是拉普拉斯算子）。

定理二：如果f 在
n 上是m 阶多重调和的，并且0f ≥且f 趋近于无穷，那么f 是
一个小于等于2m-2次的（非负）多项式。

定理1和2的证明需要用到一个n
上调和函数求导的结论，我们下面叙述一下这个
结论：用12(,,...)n x ξξξ=表示
n
上的一个点，并规定
21
()n
i r x ξ==∑
然后，我们用p 表示一个n 元非负整数集合（12...n p p p ）并且把p 和p 结合起来，函数
p x 和违法算子p D 给出如下关系
1n
i p p =∑，1212...n p p p p n x ξξξ=，1212...n
p
p p p p n D ξξξ?
=
如果0x ∈
n
，我们用()o S p 和()o B p 分别表示以0x 为圆心，以p （p>0）
为半径的超球面
和封闭球体。

如果f 是n
上的连续函数，我们定义f 的积分为
()
1
1(,,)o n s n M f x f d s ρρσρ
-=
，()
1(,,)o o n
B n A f x f dx v ρρρ
=
，
其中σ是()o S p 上的球面微元，n s 是(1)o s 的表面积，n v 是(1)o b 的体积，那我们有如下定理，
定理三:如果h 在
n
上调和，那么在任意点0x ∈
n
00202(,)()lim
(,,)(,)
lim
(,,)p p
m p m
m n D h x M x h x v m n A x h x ρρμρρ
ρρ→∞→∞
==
其中,(2)(,)(,)(2)(4)...(2)m p n m m n nv m n n n n n m μ=+==+++。

从定理三我们同样可以得出liouville 定理的一个著名推论1（见e.g.Brelot []2）的简便证发，即
定理四：如果h 在
n
上调和，m 是一个正整数，并且
1lim (,0,)0m r M h r r +→∞=（特别是当()
lim 0m r h x r
→∞=时）
则h 是一个低于m 次的多项式。

第三章定理三的证明
2.2 定理三的证明
现在我们开始证明定理三。

当m=0时，根据
000()(,,)(,,)h x M h x A h x ρρ==
我们可以得到(0,)(0,)1n v n μ==。

用数学归纳法，假设定理对所有小于等于m-1阶偏导都成立，那么考虑当p m =时
p x 的情况。

因为1m ≥，所以不失一般性，我们可以假设1p ≥，并把p x 写成11p p x y ξ=，即如果02(...)n x ααα=，那么}{1
1
1()
()
()
11111
11
12
()/o o o p p p s s s yhd yhd yh d I I ρρρξσαξσξ
ξαρσ
--=+-=+?
将Green 公式运用到向量v=11 1
(,0...,0)p yh ξ-，我们得到 ()1
1
221111()
()
1
23
()(1)o o o B p p B B I div V dx h
p yhdx y
dx J J ρρρρρξρξξ--=?=-+?=+??
应用归纳法假设，我们有
}
{
211lim /0m n I ρρ+-→∞=，}
{
212lim /0m n J ρρ+-→∞
=，
所以在根据n n s nv =，我们得到1()1()1012211
1
221
1102(1)
1
0(,)(,)lim (,,)lim (1,)lim (1,)
lim
(,,)()
o o p p m m n S n
p m n B n p m p m n m n M x h x yhd s v m n h y dx v v m n h
A y
x D h x ρρρρρρμμρξσρρξρξξρρξ+-→∞→∞-+-→∞--→∞
=-?=?-?=?=??
这就证明了定理的第一个等式。

定理剩下的部分是根据下面得到的。

如果f 在n
上
连续，0k >，那么由著名的恒等式
1000
(,,)(,,)n n
n
A f x t M f x t dt ρ
ρρ
-=
可知
0,011lim
(,)lim (,,)k k
n k M f x A f x p n ρρρρρ→∞
→∞+= 等式左边存在。

第四章定理四的证明
4.1 定理四的证明
为了证明定理4，我们首先注意到
}{
lim (,0,)/0m r M h r r →∞
= （1）
事实上，因为2h h h +=-，我们能得到
(,0,)2(,0,)(0)M h r M h r h +=- 通过应用定理第一个条件，可以得到
}{lim (,0,)/0m r M h r r →∞
=
在第二个假设下
}{
lim (,0,)/0m r M h r r →∞
=
很容易证明,因为
2(0)/(,)lim (,,)lim (,,)0p
p
p p r r D h p n r
M x h o r r
M h o r μ--→∞
→∞
=≤=
那么就可以证明如果p m ≥，则(0)0P D h =。

下面会用到定理三的一个推论，推论：如果h 在
n
上调和，0k >，且0n x R ∈，那么
{}20,lim (,)/0p k
p M x h x ρρρ
+→∞
=。

事实上，我们有
{}}{20,0
lim (,)/()/(,)lim 0p k
p p
k
M x h x D h x p n ρρρρ
μρ
+-→∞
→∞
==
第五章定理二的证明
现在我们来证明定理二。

当m=1时，这对应着liouville 定理（h o ≥趋近于无穷，
由平均值等式可以推出h 在n R 上大于等于0），所以我们只需要证明1m >的情况。

通过Nicolesco []5：一个m 阶调和多项式函数可以写成
22242121...m m m m f r h r h r h h ---=+++ （2）
这里121,,...,m m h h h h -都是调和函数。

我们把定理二的证明分成两部分：
5.1 第一部分
如果f 是（2）中给出的函数，并且0f ≥趋近于无穷，那么函数1h 恒等于一个非负常数。

假设0n x R ∈且0x x ρ=-因为0f ≥趋近于无穷，所以我们得到2210022
22
1
1
(,)...(,,)0m m m m M r h x M h x ρρρρ---++
≥ （3）
`首先，我们证明这个等式可以推导出在n
中
11
1212211
()m n m n m r h kr r -+---?≡? (4) 其中k 是一个非负常数。

考虑一个以∞为原点的正交坐标轴()012;,,...n x ηηη，其1η轴与穿过o 与0x 的极轴重合。

如果00r x =并且q 是一个正整数，那么有
22010102222122(1)()(1)()q
q q q i i
i r r r r q i ηηρρρρ-=??=+++ ??
∑ (4)
如果h 在n
上调和，并且s 是一个整数，使得0s q ≤≤。

通过定理三我们我们可以
得到
821
001
lim (,)(,,)/()s
s
s h
s n M h x x ρμηρρμ→∞
=?，并由这个等式加上前面的等式和推论可以得到
22201
002lim (,,)/lim 1,,q q q
r M r h x M h x ρρηρρρρ→∞
→∞??
=+。

由这个结论，二项式定理，（3）式，定理三和它的推论就得到
1
100110102011(2)2()lim (1),,0(,)i i m m i i m r r h x M h x i i n ρηρμηρ--→∞=-
=+≥? ???????
∑ 以为
1
001()()i i i i i h h x x r
η??=?? 我们可以得到对
n
中任意值都有
1
1
0120(,)i i m i i
i m h r i i n r μ-=-≥ ∑。

而且这个不等式左边在
n
中是调和的。

所以，根据liouville 定理可知它恒等于一个非
负常数1k 。

为了完备（4）的证明，我们现在观察Leibniz 定理11112112211011112()(1)...(2)222(,)i m i
m n m n i m i
i m h r h n n n m r r i r i n r
μ--+---=-=++- ∑。

对（4）式积分得到
1
1
22232
2
10121...n m n m m m m r
h c r
c r c r c +-+----≡++++。

（6）
其中0c 是一个正整数乘以k ，而121,,...,m c c c -球面极坐标上极角度为121,,...,n θθθ-的任意连续函数。

因此，由定理四：1h 恒等于一个常数和（6）式中得到的10h c ≡可以得到
1lim()0r h
r
→∞=。

5.2第二部分
如果f 是通过（2）式给出，并且0f ≥趋近于无穷，那么函数(2)i h i m ≤≤就是次数小于等于2i-2的多项式。

令
24222210...m m m m g r h r h h f c r ---=+++=-。

我们有220m g c r --≤趋近于无穷，因此
21lim (,0,)/0m r M g r r --→∞
=
综合
2(1)2(,0,)(0)m
m i i M g r r h -==∑
可得（根据和导出（1）式类似的步骤）
21lim (,0,)/0m r M g r r -→∞
=。

(7)
因为(2)i h i m ≤≤是
n
上的调和函数，所以它在
n
上有泰勒展式，即
,,1
()(0)q i i q i q h x h r Y ∞
==+∑
其中
,,
q i Y 是以121,,...,n θθθ-为角度的球面极角坐标系下泰勒展式的拉普拉斯函数。

因为函
数,q q i r Y 是调和的，所以由原点的平均值定理[]6和调和函数上的Green 公式即
0s e
e g
f f
g n n σ-?= 得出（详见[]..2e g ）当q s ≠时
,(,0,)0q i M Y r =和,,(,0,)0q i s j M Y Y r =。

我们有
2()
2(),,221
(0)m
m
m i q m i i q i i i q g r h r Y ∞
-+-====-∑∑∑ (8)
并且根据（7）推倒出
21,lim (,0,)/0m q j r M gY r r -→∞
= （9）对于所有正整数q 和2,3,...,j m =成立。

但是根据（8）式我们得出
2(),,2(,0,)(,0,)m
q m i q j q j i M gY r r M Y r +-==∑。

当j=2，3q ≥（此时q+2（m-2）≥2m-1）时，因为,20q Y =，由（9）式和（10）式能得到
2(2)2,2,2lim (,0,)/(,0,)0q m q q r M gY r r M Y r +-→∞
==，（10）
因此,也就是说2h 是一个次数小于等于2的调和多项式。

当j=3，q ≥5（此时q+2（m-3）
≥2m-1）时，因为,20q Y =，由（9）式和（10）式能得到
2(3)2,3,3lim (,0,)/(,0,)0q m q q r M gY r r M Y r +-→∞
==，
因此,也就是说3h 是一个次数小于等于4的调和多项式。

继续同样的过程我们就能完成证明。

第六章定理1的证明
6.7 定理1的证明
证明定理1需要引入一个引理。

假设P 是实一个m 次调和多项式，那么我们就可以把P 写成
()p p
p m
P x a
x ≤=
∑
考虑到m 次调和多项式P 的齐次部分H 的微分算子定义如下：()p p
p m
H x a
x ==
∑，()p
p
p m
D H a D
==
∑，
我们得出引理如下：如果h 在
n
上是调和的，P 是一个m 次调和多项式，那么
()!2()m m Ph m D H h ?=。

这个引理用归纳法很容易证明，对被D （H ）算子作用的齐次函数应用欧拉定理即可。

现在我们证明定理1。

假设P 是m 次的，因为当m=0时对应着liouville 定理，所以我们只需证m >0,。

让H 表示P 的m 次部分，由0hP ≥趋近于无穷和推论，我们得出
2200lim (,,)/lim (,,)/0m m M Hh x M Ph x ρρρρρρ→∞
→∞
=≥
对所有0n
x ∈均成立，并且由定理三：不等式左边等于一个正常数乘以0()D H x ，我们
在
n
上
D （H ）h ≥0。

通过Liouville 定理我们可以得到D(H)h 是一个常数，通过引理得到()m Ph ?等于一个常数，因此1()0m Ph +?=。

定理二给出当Q 是次数小于等于2m 的多项式时，Ph Q ≡。

在这个阶段中，我们注意到，如果当0Ph ≥时，U 是接近无穷的开集，那么无论何时当P 在U 中等于0时，h=0.事实上，假设当0x U ∈，0()0P x ≠，0()0h x ≠时，那么就存在0ρ>和0()B U ρ?使得h 保持相同的正负性。

但是因为P 不恒等于0，由平均值等式我们得到0x 的值为
0()
0B Pdx ρ=?
，
这也就是说明P 在0()B ρ中改变了正负性，这与在U 中0Ph ≥的事实相矛盾。

那么等式Ph Q ≡现在给出
}{
11lim(/)lim /()m m r r h r Q r P ++→∞
→∞
=，
由定理四可证明h 是次数小于等于m 的多项式。

综上，我们可以得出，如果两个调和函数乘积是非负趋近于无穷的，并且其中一个调和函数的次数是m 次（m>0），那么另一个多项式的次数就是小于等于m 次。

把这个结论应用到多项式h 上，我们得到如果h 不恒等于0（容易证明h 的次数为正），则h 是m 次的。

让i P 是P 的一个不可约的非常数因子（over R ），易知i P 在
n
有两种符号（Brelot and Choquet []3）。

更进一步，我
们说i P 在无穷点处有两种符号；实际上，如果i P 在一些紧集K 外面，保持相同的符号，则有界开集V 的边界V ?包含于K ，其中i P 取相反的符号，并且由于P 在V ?上调和且为0，则0P ≡。

在
n
上由Murdoch []2中的引理5我们得到h 可由i P 表示出来。

此外调和
多项式的不可约因子是不重复的（Brelot and Choqnet []3），我们得到P 能表示h ，他
们有相同的次数m。

所以定理一得证。