人教版九年级上《第21章一元二次方程》单元测试题含答案解析

秋人教版九年级上册数学 第21章 一元二次方程 单元测试题
一．选择题（共10小题）
1．方程2(1)230m x mx -+-=是关于x 的一元二次方程， 则( )
A ．1m ≠±
B ．1m =
C ．1m ≠-
D ．1m ≠
2．一元二次方程23610x x -+=的二次项系数、一次项系数分别是( )
A ．3，6-
B ．3，1
C ．6-，1
D ．3，6
3．下列方程中有一个根为1-的方程是( )
A ．220x x +=
B ．23250x x +-=
C ．2540x x -+=
D ．22350x x --=
4．关于x 的方程2(2)1x m -=-无实数根， 那么m 满足的条件是( )
A ．2m >
B ．2m <
C ．1m >
D ．1m <
5．一元二次方程2430y y --=配方后可化为( )
A ．2(2)7y -=
B ．2(2)7y +=
C ．2(2)3y -=
D ．2(2)3y +=
6．一元二次方程210x x +-=的根是( )
A ．15x =-
B ．15x -+=
C ．15x =-+
D ．15x -±= 7．一元二次方程(1)(2)2x x ++=的解是( )
A ．10x =，23x =-
B ．11x =-，22x =-
C ．11x =，22x =
D ．10x =，23x =
8．一元二次方程25204x x +-
=的根的情况是( ) A ． 有两个不相等的实数根
B ． 有两个相等的实数根
C ． 没有实数根
D ． 无法判断 9．方程2240x x --=和方程2420x x -+=中所有的实数根之和是( )
A ． 2
B ． 4
C ． 6
D ． 8
10．某超市一月份的营业额为 40 万元， 一月、 二月、 三月的营业额共 200 万元， 如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程为( )
A ．240(1)200x +=
B ．40402200x +⨯⨯=
C ．40403200x +⨯⨯=
D ．240[1(1)(1)]200x x ++++=
二．填空题（共8小题） 11．若31210m x x ---=是关于x 的一元二次方程， 则m 的值为 ． 12．已知m 是关于x 的方程2450x x +-=的一个根， 则228m m +=
13．一元二次方程20x mx n --=的两实根是12x =，23x =，则m = ，n = ．
14．一个三角形的两边长分别为 3 和 5 ，第三边长是方程2680x x -+=的根， 则三角形的周长为 ．
15．已知关于x 的一元二次方程210mx x ++=有实数根， 则m 的取值范围是 ．
16．若关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个根为 0 ，则另一个根为 ．
17．如图所示， 点阵M 的层数用n 表示， 点数总和用S 表示， 当66S =时， 则n = ．
18．如图， 在长为10m ，宽为8m 的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路， 剩余部分进行绿化， 要使绿化面积为248m ，则道路的宽应为 m ．
三．解答题（共8小题）
19．解下列方程
（1）2640x x ++=
（2）2230x x --=
（3）3(2)105x x x -=-
20．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k --+=有两个不相等的实数根， 求k 的取值范围 ．
21．小强看见九年级的哥哥在做这样一道题“解方程：2(3)(2)(2)5x x x +=+--”，他看了看后，发现可以用《整式的乘法》知识来去括号，然后转化为一元一次方程来解答．试按照小强的思路完成此题的解答．
22．已知方程2(2)(3)10m m x m x -+-+=．
（1）当m 为何值时，它是一元二次方程？
（2）当m 为何值时，它是一元一次方程？
23．小刚在做作业时， 不小心将方程2350x bx --=的一次项系数用墨水覆盖住了， 但从题目的答案中， 他知道方程的一个解为5x =，请你帮助小刚求出被覆盖住的数 ．
24．已知关于x 的一元二次方程2(2)10x k x k -++-=．
（1） 若方程的一个根为1-，求k 的值和方程的另一个根；
（2） 求证： 不论k 取何值， 该方程都有两个不相等的实数根 ．
25．某天猫店销售某种规格学生软式排球， 成本为每个 30 元 ． 以往销售大数据分析表明： 当每只售价为 40 元时， 平均每月售出 600 个；若售价每上涨 1 元， 其月销售量就减少 20 个， 若售价每下降 1 元， 其月销售量就增加 200 个 ．
（1） 若售价上涨m 元， 每月能售出 个排球 （用m 的代数式表示） ．
（2） 为迎接“双十一”， 该天猫店在 10 月底备货 1300 个该规格的排球， 并决定整个 11 月份进行降价促销， 问售价定为多少元时， 能使 11 月份这种规格排球获利恰好为 8400 元 ．
26．列一元二次方程解应用题
某公司今年 1 月份的纯利润是 20 万元， 由于改进技术， 生产成本逐月下降， 3 月份的纯利润是 22.05 万元 ． 假设该公司 2 、 3 、 4 月每个月增长的利润率相同 ．
（1） 求每个月增长的利润率；
（2） 请你预测 4 月份该公司的纯利润是多少？
秋人教版九年级上册数学 第21章 一元二次方程 单元测试
题
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．方程2(1)230m x mx -+-=是关于x 的一元二次方程， 则( )
A ．1m ≠±
B ．1m =
C ．1m ≠-
D ．1m ≠
【分析】根据一元二次方程的定义， 得到关于m 的不等式， 解之即可 ．
【解答】解： 根据题意得：
10m -≠，
解得：1m ≠，
故选：D ．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义， 正确掌握一元二次方程的定义是解题的关键 ．
2．一元二次方程23610x x -+=的二次项系数、一次项系数分别是( )
A ．3，6-
B ．3，1
C ．6-，1
D ．3，6
【分析】找出所求的二次项系数、一次项系数即可．
【解答】解：一元二次方程23610x x -+=的二次项系数，一次项系数分别是3，6-． 故选：A ．
【点评】考查了一元二次方程的一般形式：20(ax bx c a ++=，b ，c 是常数且0)a ≠特别要注意0a ≠的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中2ax 叫二次项，bx 叫一次项，c 是常数项．其中a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
3．下列方程中有一个根为1-的方程是( )
A ．220x x +=
B ．23250x x +-=
C ．2540x x -+=
D ．22350x x --=
【分析】利用一元二次方程解的定义对各选项分别进行判断 ．
【解答】解： 当1x =-时，22212x x +=-=，所以1x =-不是方程220x x +=的解； 当1x =-时，23253256x x +-=--=-，所以1x =-不是方程23250x x +-=的解； 当1x =-时，25415410x x -+=++=，所以1x =-不是方程2540x x -+=的解； 当1x =-时，22352350x x --=+-=，所以1x =-是方程22350x x --=的解 ． 故选：D ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 ．
4．关于x 的方程2(2)1x m -=-无实数根， 那么m 满足的条件是( )
A ．2m >
B ．2m <
C ．1m >
D ．1m <
【分析】方程左边是一个式的平方， 根据平方的非负性， 得关于m 的不等式， 求解不等式即可 ．
【解答】解： 当10m -<时， 方程无解 ．
即1m >．
故选：C ．
【点评】本题考查了一元二次方程的直接开平方法， 运用直接开平方法， 等号的另一边必须是非负数 ．
5．一元二次方程2430y y --=配方后可化为( )
A ．2(2)7y -=
B ．2(2)7y +=
C ．2(2)3y -=
D ．2(2)3y +=
【分析】先表示得到243y y -=，再把方程两边加上 4 ，然后把方程左边配成完全平方形式即可 ．
【解答】解：243y y -=，
2447y y -+=，
2(2)7y -=．
故选：A ．
【点评】本题考查了解一元二次方程-配方法： 将一元二次方程配成2()x m n +=的形式， 再利用直接开平方法求解， 这种解一元二次方程的方法叫配方法 ．
6．一元二次方程210x x +-=的根是( )
A ．15x =-
B ．152x -+=
C ．15x =-+
D ．152
x -±= 【分析】先计算判别式的值，然后根据判别式的意义可判断方程根的情况．
【解答】解：△214(1)50=-⨯-=>，
∴方程有两个不相等的两个实数根， 即152
x -±=． 故选：D ．
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①0a ≠；②240b ac -．
7．一元二次方程(1)(2)2x x ++=的解是( )
A ．10x =，23x =-
B ．11x =-，22x =-
C ．11x =，22x =
D ．10x =，23x =
【分析】先把方程化为一般式， 然后利用因式分解法解方程 ．
【解答】解：230x x +=，
(3)0x x +=，
0x =或30x +=，
所以10x =，23x =-．
故选：A ．
【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法： 就是先把方程的右边化为 0 ，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式， 那么这两个因式的值就都有可能为 0 ，这就能得到两个一元一次方程的解， 这样也就把原方程进行了降次， 把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了 （数 学转化思想） ．
8．一元二次方程25204
x x +-=的根的情况是( ) A ． 有两个不相等的实数根 B ． 有两个相等的实数根
C ． 没有实数根
D ． 无法判断
【分析】根据方程的系数结合根的判别式， 可得出△90=>，进而可得出方程
25204
x x +-
=有两个不相等的实数根， 此题得解 ． 【解答】解：△25241()904
=-⨯⨯-=>， ∴方程25204x x +-=有两个不相等的实数根 ． 故选：A ．
【点评】本题考查了根的判别式， 牢记“当△0>时， 方程有两个不相等的实数根”是解题的关键 ．
9．方程2240x x --=和方程2420x x -+=中所有的实数根之和是( )
A ． 2
B ． 4
C ． 6
D ． 8
【分析】根据方程的系数结合根的判别式， 可得出两方程均有两个不相等的实数根， 再利用根与系数的关系可求出每个方程的两根之和， 将其相加后即可得出结论 ．
【解答】解：方程2240x x --=的根的判别式△2(2)41(4)200=--⨯⨯-=>， ∴方程2240x x --=有两个不相等的实数根， 两根之和为 2 ；
方程2420x x -+=的根的判别式△2(4)41280=--⨯⨯=>，
∴方程2420x x -+=有两个不相等的实数根， 两根之和为 4 ．
246+=，
∴两方程所有的实数根之和是 6 ．
故选：C ．
【点评】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系， 牢记两根之和等于b a
-是解题的关键 ．
10．某超市一月份的营业额为 40 万元， 一月、 二月、 三月的营业额共 200 万元， 如果平均每月增长率为x ，则由题意列方程为( )
A ．240(1)200x +=
B ．40402200x +⨯⨯=
C ．40403200x +⨯⨯=
D ．240[1(1)(1)]200x x ++++=
【分析】设平均每月增长率为x ，由一月、 二月、 三月的营业额共 200 万元， 即可
得出关于x 的一元二次方程， 此题得解 ．
【解答】解： 设平均每月增长率为x ，
根据题意得：240[1(1)(1)]200x x ++++=．
故选：D ．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 ．
二．填空题（共8小题）
11．若31210m x x ---=是关于x 的一元二次方程， 则m 的值为 1 ．
【分析】本题根据一元二次方程的一般形式， 即可得到312m -=，即可求得m 的值 ．
【解答】解： 依题意得：312m -=，
解得1m =．
故答案是： 1 ．
【点评】本题利用了一元二次方程的概念 ． 只有一个未知数且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程， 一般形式是20ax bx c ++=（且0)a ≠．
12．已知m 是关于x 的方程2450x x +-=的一个根， 则228m m += 10
【分析】利用一元二次方程的解的定义得到245m m +=，再把228m m +变形为
22(4)m m +，然后利用整体代入的方法计算 ．
【解答】解：m 是关于x 的方程2450x x +-=的一个根，
2450m m ∴+-=，
245m m ∴+=，
22282(4)2510m m m m ∴+=+=⨯=．
故答案为 10 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的解： 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解 ．
13．一元二次方程20x mx n --=的两实根是12x =，23x =，则m = 5 ，n = ．
【分析】根据根与系数的关系结合方程的两实根是12x =，23x =，可求出m ，n 的值，
此题得解．
【解答】解：一元二次方程20
x mx n
--=的两实根是
12
x=，
23
x=，
125
m x x
∴=+=，
126
n x x
=-=-．故答案为：5 ；6
-．
【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“两根之和等于
b
a
-，两根之和等于
c
a
”是
解题的关键．
14．一个三角形的两边长分别为3 和5 ，第三边长是方程2680
x x
-+=的根，则三角形的周长为12 ．
【分析】先利用因式分解法解方程得到
12
x=，
24
x=，然后利用三角形三边的关系得到三角形第三边的长为 4 ，从而得到计算三角形的周长．
【解答】解：2680
x x
-+=，
(2)(4)0
x x
--=，
20
x-=或40
x-=，
所以
12
x=，
24
x=，
而235
+=，
所以三角形第三边的长为 4 ，
所以三角形的周长为34512
++=．
故答案为12 ．
【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：就是先把方程的右边化为0 ，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0 ，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了配方法解一元二次方程．也考查了三角形三边的关系．
15．已知关于x的一元二次方程210
mx x
++=有实数根，则m的取值范围是
1
4
m且
m≠．
【分析】由于关于x的一元二次方程有实数根，计算根的判别式，得关于m的不等式，求解即可．
【解答】解：关于x 的一元二次方程210mx x ++=有实数根，
则△140m =-，且0m ≠． 解得14
m
且0m ≠． 故答案为：14m 且0m ≠． 【点评】本题考查了根的判别式、 一次不等式的解法及一元二次方程的定义 ． 题目难度不大， 解题过程中容易忽略0m ≠条件而出错 ．
16．若关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个根为 0 ，则另一个根为
34 ． 【分析】先把2x =代入方程22(2)340m x x m -++-=得到满足条件的m 的值为2-，此时方程化为2430x x -=，设方程的另一个根为t ，利用根与系数的关系得到304
t +=，然后求出t 即可 ．
【解答】解： 把2x =代入方程22(2)340m x x m -++-=得方程240m -=，解得12m =，
22m =-， 而20m -≠，
所以2m =-，
此时方程化为2430x x -=， 设方程的另一个根为t ，则304
t +=
，解得34t =， 所以方程的另一个根为
34． 故答案为34． 【点评】本题考查了根与系数的关系： 若1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的
两根时，12b x x a +=-，12c x x a
=． 17．如图所示， 点阵M 的层数用n 表示， 点数总和用S 表示， 当66S =时， 则n = 11 ．
【分析】由等差数列的求和公式结合66
S=，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
【解答】解：根据题意得：
(1)
66
2
n n+
=，
化简得：21320
n n
+-=，
解得：
111
n=，
212
n=-（舍去）．
故答案为：11 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
18．如图，在长为10m，宽为8m的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为2
48m，则道路的宽应为 2 m．
【分析】设道路的宽为xm，则剩余部分可合成长为(10)x m
-，宽为(8)x
-米的长方形，根据矩形的面积公式结合绿化面积为2
48m，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论．
【解答】解：设道路的宽为xm，则剩余部分可合成长为(10)x m
-，宽为(8)x
-米的长方形，
根据题意得：(10)(8)48
x x
--=，
整理得：
12
x=，
216
x=．80
x
->，
8
x
∴<，
2
x
∴=．
故答案为：2 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 ．
三．解答题（共8小题）
19．解下列方程
（1）2640x x ++=
（2）2230x x --=
（3）3(2)105x x x -=-
【分析】（1） 利用配方法得到2(3)5x +=，然后利用直接开平方法解方程；
（2） 利用因式分解法解方程；
（3） 先变形为3(2)5(2)0x x x -+-=，然后利用因式分解法解方程 ．
【解答】解： （1）264x x +=-，
2695x x ++=，
2(3)5x +=，
35x += 所以135x =-235x =-；
（2）(23)(1)0x x -+=，
230x -=或10x +=， 所以132
x =，21x =-； （3）3(2)5(2)0x x x -+-=，
(2)(35)0x x -+=，
20x -=或350x +=，
所以12x =，253
x =-． 【点评】本题考查了解一元二次方程-因式分解法： 就是先把方程的右边化为 0 ，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式， 那么这两个因式的值就都有可能为 0 ，这就能得到两个一元一次方程的解， 这样也就把原方程进行了降次， 把
解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了 （数 学转化思想） ． 也考查了配方法解一元二次方程 ．
20．已知关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k --+=有两个不相等的实数根， 求k 的取值范围 ．
【分析】计算根的判别式△， 由题意得到关于k 的不等式， 求解即可 ．
【解答】解：关于x 的一元二次方程22(21)0x k x k --+=有两个不相等的实数根， ∴△22[(21)]410k k =---⨯⨯>
即410k -+>，
14
k ∴<． 【点评】本题考查了根的判别式， 题目比较简单 ． 根的判别式△24b ac =-．
21．小强看见九年级的哥哥在做这样一道题“解方程：2(3)(2)(2)5x x x +=+--”，他看了看后，发现可以用《整式的乘法》知识来去括号，然后转化为一元一次方程来解答．试按照小强的思路完成此题的解答．
【分析】将原方程去括号化成方程的一般形式后求解即可．
【解答】解：去括号得：
226945x x x ++=--，
移项、合并同类项得：
618x =-，
解得：3x =-．
【点评】本题考查了方程的解法，解题的关键是能够利用完全平方公式和平方差公式化简，难度不大．
22．已知方程2(2)(3)10m m x m x -+-+=．
（1）当m 为何值时，它是一元二次方程？
（2）当m 为何值时，它是一元一次方程？
【分析】（1）根据一元二次方程的定义解答本题；
（2）根据一次方程的定义可解答本题．
【解答】解：（1）方程2
(2)(3)10m m x m x -+-+=为一元二次方程，
∴2220
m m ⎧=⎨-≠⎩， 解得：2m =±，
所以当m 2或2-时，方程方程2
(2)(3)10m m x m x -+-+=为一元二次方程；
（2）方程2(2)(3)10m m x m x -+-+=为一元一次方程， ∴2030
m m -=⎧⎨-≠⎩或21m = 解得，2m =或1m =±，
故当m 为2或1±时，方程方程2
(2)(3)10m m x m x -+-+=为一元一次方程．
【点评】本题考查了一元一次方程的定义、一元二次方程的定义，能理解一元一次方程的定义和一元二次方程的定义是解此题的关键，尤其是要注意一元一次方程的各种情况要考虑全面．
23．小刚在做作业时， 不小心将方程2350x bx --=的一次项系数用墨水覆盖住了， 但从题目的答案中， 他知道方程的一个解为5x =，请你帮助小刚求出被覆盖住的数 ．
【分析】把5x =代入方程2350x bx --=，得到关于b 的一元一次方程， 解之即可 ．
【解答】解： 把5x =代入方程2350x bx --=得：
235550b ⨯--=， 解得：14b =，
答： 被覆盖住的数是 14 ．
【点评】本题考查一元二次方程的解， 正确找出等量关系， 列出一元一次方程是解题的关键 ．
24．已知关于x 的一元二次方程2(2)10x k x k -++-=．
（1） 若方程的一个根为1-，求k 的值和方程的另一个根；
（2） 求证： 不论k 取何值， 该方程都有两个不相等的实数根 ．
【分析】（1） 把1x =-代入方程可求得k 的值， 再解方程可求得另一根；
（2） 根据方程的系数结合根的判别式， 即可得出△280k =+>，由此可证出不论k 取
何值， 方程必有两个不相等的实数根 ．
【解答】（1） 解： 把1x =-代入方程可得1(2)10k k +++-=，
解得1k =-，
当1k =-时， 原方程为220x x --=，
解得11x =-，22x =，
即方程的另一根为 2 ；
（2） 证明：1a =，(2)b k =-+，1c k =-，
∴△2224[(2)]41(1)80b ac k k k =-=-+-⨯⨯-=+>，
∴不论k 取何值， 该方程都有两个不相等的实数根 ．
【点评】本题考查了根与系数的关系 ． 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根与系数的关系为：12b x x a +=-，12c x x a
=． 也考查了根的判别式 ． 25．某天猫店销售某种规格学生软式排球， 成本为每个 30 元 ． 以往销售大数据分析表明： 当每只售价为 40 元时， 平均每月售出 600 个；若售价每上涨 1 元， 其月销售量就减少 20 个， 若售价每下降 1 元， 其月销售量就增加 200 个 ．
（1） 若售价上涨m 元， 每月能售出 60020m - 个排球 （用m 的代数式表示） ．
（2） 为迎接“双十一”， 该天猫店在 10 月底备货 1300 个该规格的排球， 并决定整个 11 月份进行降价促销， 问售价定为多少元时， 能使 11 月份这种规格排球获利恰好为 8400 元 ．
【分析】（1） 由销售数量60020=-⨯上涨价格， 即可得出结论；
（2） 设每个排球降价x 元， 则 11 月份可售出该种排球(200600)x +个， 根据月利润
=单件利润⨯月销售数量， 即可得出关于x 的一元二次方程， 解之取其较小值即可得出结论 ．
【解答】解： （1） 根据题意得：60020m -．
故答案为：60020m -．
（2） 设每个排球降价x 元， 则 11 月份可售出该种排球(200600)x +个，
根据题意得：(4030)(200600)8400x x --+=，
解得：13x =，24x =．
当3x =时， 销量为12001300<，适合题意；
当4x =时， 销量为14001300>，舍去 ．
4037x ∴-=．
答： 每个排球的售价为 37 元 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 ．
26．列一元二次方程解应用题
某公司今年 1 月份的纯利润是 20 万元， 由于改进技术， 生产成本逐月下降， 3 月份的纯利润是 22.05 万元 ． 假设该公司 2 、 3 、 4 月每个月增长的利润率相同 ．
（1） 求每个月增长的利润率；
（2） 请你预测 4 月份该公司的纯利润是多少？
【分析】（1） 设每个月增长的利润率为x ，根据 1 月份及 3 月份该公司的纯利润， 即可得出关于x 的一元二次方程， 解之取其正值即可得出结论；
（2） 根据 4 月份该公司的纯利润3=月份该公司的纯利润(1⨯+增长率） ，即可求出 4 月份该公司的纯利润 ．
【解答】解： （1） 设每个月增长的利润率为x ，
根据题意得：220(1)22.05x ⨯+=，
解得：10.055%x ==，2 2.05x =-（不 合题意， 舍去） ．
答： 每个月增长的利润率为5%．
（2）22.05(15%)23.1525⨯+=（万 元） ．
答： 4 月份该公司的纯利润为 23.1525 万元 ．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用， 找准等量关系， 正确列出一元二次方程是解题的关键 ．。