2013版高中全程复习方略课时提能训练：3.6二倍角的三角函数(苏教版·数学文)

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苏教版高三数学复习课件3.6 二倍角的三角函数

等于________(用cos α)表示．用表示．等于表示 .
－1，，
1．三角函数式的化简． (1)化简的要求：①能求出值的应求出值；②尽量使三角函数种数最少；化简的要求：能求出值的应求出值；尽量使三角函数种数最少；化简的要求 ③尽量使项数最少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不尽量使项数最少；尽量使分母不含三角函数；含三角函数．含三角函数． (2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等．化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角；降幂或升幂等．化简的方法 2．已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：(1)先化简所．已知三角函数式的值，求其他三角函数式的值，一般思路为：先化简所求式子；观察已知条件与所求式子之间的联系从三角函数名及角入手)；观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手求式子； (2)观察已知条件与所求式子之间的联系从三角函数名及角入手； (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．将已知条件代入所求式子，化简求值．将已知条件代入所求式子
从角入手) 解：解法一：(从角入手解法一：从角入手原式＝原式＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－＋－＝sin2αsin2β＋cos2αcos2β－＋－ (2cos2α－1)(2cos2β－1) －－
(4cos2αcos2β－2cos2α－2cos2β＋1) －－＋
【例3】化简 2α·sin2β＋cos2α·cos2β－ cos 2α·cos 2β. 】化简sin ＋－思路点拨：三角函数式化简的目标是：次数尽可能低次数尽可能低；角尽可能思路点拨：三角函数式化简的目标是：(1)次数尽可能低；(2)角尽可能三角函数名称尽可能统一；项数尽可能少项数尽可能少．少；(3)三角函数名称尽可能统一；(4)项数尽可能少．观察欲化简的式子三角函数名称尽可能统一发现：有降次的可能有降次的可能；涉及的角有涉及的角有α，，，需要把需要把2α化发现：(1)有降次的可能；(2)涉及的角有，β，2α，2β(需要把化化为β)；函数名称为正弦余弦(可以利用平方关系进行名函数名称为正弦、为α，2β化为；(3)函数名称为正弦、余弦可以利用平方关系进行名，化为称的统一)；共有共有3项需要减少项数由于侧重的角度不同，需要减少项数)，称的统一；(4)共有项(需要减少项数，由于侧重的角度不同，出发点不同，故本题的化简方法不止一种．故本题的化简方法不止一种．

【全程复习方略】2013版高中数学 3.6倍角公式和半角公式、积化和差与和差化积课件理新人教B版

③等号右边分子上应该是“-”，可以化简验证，故错.
答案：①〓 ②〓 ③〓
(3)填空：①2sin15°cos15°=______. ② cos 215 sin 215 =_______. ③ 2sin 215 -1=_______. 【解析】①2sin15°cos15°=sin30°= 1 ; ② cos 215 sin 215 = cos30°= ③ 2sin 215 -1= -cos30°= 3 . 答案：①
2
二倍角的正切
2tan 1 tan 2 tan2 __________
【即时应用】
(1)思考：二倍角公式tan2α = 2tan 中对任意的α 都成立吗？提示：不一定,当α≠kπ+ , 2α≠kπ+
2 1 tan 2
(k∈Z)时，公式成立. 2
1 (2) sin15°cos15°的值等于＿＿＿＿＿. 2 1 sin15°cos15°= 1 〓2sin15°cos15° 【解析】 4 2 1 1 = sin30°= . 8 4 1 答案： 8
2
三角函数式的化简
【方法点睛】
三角函数式化简的原则、要求及方法 (1)三角函数式的化简原则:一是统一角，二是统一函数名.能求值的求值，必要时切化弦，更易通分、约分.
(2)
三角
①能求出值的应求出值；
函数
式化简的

②尽量使三角函数种数最少； ③尽量使项数最少； ④尽量使分母不含三角函数； ⑤尽量使被开方数不含三角函数.
1 2
2 3 ; 2
2
②
3 2
③ 3
2
3.三角函数的积化和差与和差化积公式 (1)积化和差公式 ①sinα cosβ ②cosα sinβ

苏教版数学高一学案 3.2 二倍角的三角函数

3.2 二倍角的三角函数导入新课思路1.(复习导入)让学生回顾上节课学习的三角函数倍角公式，快速写出并说出各公式的用途．思路2.三角化简、求值与证明中，往往会出现较多相异的角，我们可根据角与角之间的和、差、倍角等关系，沟通条件与结论中角的差异，使问题获得解决．如2α＝(α＋β)＋(α－β)＝α＋α＝(π4＋α)－(π4－α)等．本节我们进一步加深对所学倍角公式的灵活运用．推进新课新知探究进一步运用倍角公式进行三角函数式的化简、求值与三角恒等式的证明．采用“cos 2α＝1＋cos2α2，sin 2α＝1－cos2α2”可将二次降为一次，故该公式又称为“降幂扩角公式”，这是一组非常有用的三角公式，对于我们进行三角函数式的化简、求值以及三角恒等式变换有很大的帮助．应用示例思路1例如图1，已知OPQ 是半径为1，圆心角为π3的扇形，C 是扇形弧上的动点，四边形ABCD 是扇形的内接矩形．记∠COP ＝α，求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积最大？并求出这个最大面积．图1活动：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，先找出S 与α之间的函数关系，再求函数的最值．找S 与α之间的函数关系可以让学生自己解决，得到S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α＝sin αcos α－33sin 2α.求这种y ＝a sin 2x ＋b sin x cos x ＋c cos 2x 函数的最值，应先降幂，再利用公式化成A sin(x ＋φ)型的三角函数求最值．教师引导学生思考：要求当角α取何值时，矩形ABCD 的面积S 最大，可分两步进行：(1)找出S 与α之间的函数关系；(2)由得出的函数关系，求S 的最大值．解：在Rt △OBC 中，OB ＝cos α，BC ＝sin α.在Rt △OAD 中，DA OA＝tan60°＝3，所以OA ＝33DA ＝33BC ＝33sin α. 所以AB ＝OB －OA ＝cos α－33sin α. 设矩形ABCD 的面积为S ，则S ＝AB ·BC ＝(cos α－33sin α)sin α＝sin αcos α－33sin 2α ＝12sin2α＋36cos2α－36＝13(32sin2α＋12cos2α)－36 ＝13sin(2α＋π6)－36. 由于0<α<π3，所以当2α＋π6＝π2，即α＝π6时，S 最大＝13－36＝36. 因此，当α＝π6时，矩形ABCD 的面积最大，最大面积为36. 点评：可以看到，通过三角变换，我们把形如y ＝a sin x ＋b cos x 的函数转化为形如y ＝A sin(ωx ＋φ)的函数，从而使问题得到简化．这个过程中蕴涵了化归思想．此题可引申，即可以去掉“记∠COP ＝α”，结论改成“求矩形ABCD 的最大面积”，这时，对自变量可多一种选择，如设AD ＝x ，S ＝x (1－x 2－33x )，尽管对所得函数还暂时无法求其最大值，但能促进学生对函数模型多样性的理解，并能使学生感受到以角为自变量的优点.思路2例1已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α、β∈(0，π)，求2α－β的值．活动：把所求的角用含已知其值的角的式子表示，由所求的函数值结合该函数的单调区间求得角，但不要忽视对所求角的范围的讨论．即解决“给值求角”问题是由两个关键步骤构成：①把所求角用含已知角的式子表示；②由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．解：∵2α－β＝2(α－β)＋β，tan(α－β)＝12，∴tan2(α－β)＝2tan(α－β)1－tan 2(α－β)＝43. 从而tan(2α－β)＝tan[2(α－β)＋β]＝tan[2(α－β)]＋tan β1－tan[2(α－β)]tan β＝43－171＋43×17＝25212521＝1. 又∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan(α－β)＋tan β1－tan(α－β)tan β＝13<1，且0<α<π，∴0<α<π4.∴0<2α<π2. 又tan β＝－17<0，且β∈(0，π)， ∴π2<β<π，－π<－β<－π2. ∴－π<2α－β<0.∴2α－β＝－3π4. 点评：本题通过变形转化为已知三角函数值求角的问题，关键在于对角的范围的讨论，注意合理利用不等式的性质，必要时，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确角．另外，求角一般都通过三角函数值来实现，但求该角的哪一种函数值，往往有一定的规律，若α∈(0，π)，则求cos α.若α∈(－π2，π2)，则求sin α等．例2若α、β为锐角，且3sin 2α＋2sin 2β＝1,3sin2α－2sin2β＝0，求证：α＋2β＝π2. 证明：已知两个等式可化为3sin 2α＝cos2β，①3sin αcos α＝sin2β，②①÷②，得sin αcos α＝cos2βsin2β，即cos αcos2β－sin αsin2β＝0， ∴cos(α＋2β)＝0.∵0<α<π2，0<β<π2，∴0<α＋2β<3π2.∴α＋2β＝π2. 点评：由条件等式证明“角＋角＝角”的问题，一般转化为证明相应的三角函数值问题．知能训练课本本节练习1.2.3.课堂小结1．在解决三角函数式的化简问题时，经常从以下三个方面来考虑：一看函数式中所涉及的角之间的关系；二看函数式中所涉及的三角函数的名称之间的关系；三看所涉及的三角函数的幂．遵循的原则是：不同角化同角，不同名化同名，高次降低次．2．若所要化简或证明的三角函数式中含有多个名称的三角函数，我们常用的方法是将正切化为正弦、余弦，若是有常数和分式相加，我们采取的措施是通分，而后再化简．即对于形如例2的化简证明问题我们采用的措施是“切(正切)化弦(正弦、余弦)，通分化简，逆用公式，求得结果”．作业：课本习题3.210.12.设计感想本节内容的几道例题都是二倍角公式的进一步应用，例3是有关几何的应用题．训练学生建立适当的数学模型来解决实际问题．教学中重在让学生体会二倍角公式的“降幂”作用，深刻领悟二倍角的结构特点及本质属性．对于三角函数条件等式的证明题，课本是从角的变换的角度来探求证明方法的．教学时要注意引导学生仔细体会、灵活掌握．。

2013高中新课程数学(苏教版必修四)3.2 二倍角的三角函数活页规范训练 Word版含答案]

双基达标 (限时15分钟)1．2cos 2π8－1＝________. 解析 2cos 2π8－1＝cos π4＝22. 答案 222.⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π12＋cos 5π12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π12－cos 5π12＝________. 解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π12＋cos 5π12⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π12－cos 5π12＝sin 25π12－cos 2 5π12＝－cos 5π6＝32.答案 323．已知sin θ2＋cos θ2＝12，则cos 2θ＝________. 解析将sin θ2＋cos θ2＝12平方得，1＋sin θ＝14，即sin θ＝－34，于是cos 2θ＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－342＝－18.答案－184．已知sin α＝55，则sin 4 α－cos 4 α的值为________．解析 sin 4 α－cos 4 α＝sin 2α－cos 2α＝－cos 2α＝2sin 2α－1＝2×15－1＝－35.答案－355．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－35，则sin 2x 的值等于________．解析 ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝22·(sin x ＋cos x )＝－35，sin x ＋cos x ＝－325，(sin x ＋cos x )2＝sin 2x ＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＝⎝⎛⎭⎪⎫－3252＝1825，∴sin 2x ＝－725. 答案－7256．已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，(1)求tan 2α的值；(2)求β.解 (1)由cos α＝17，0＜α＜π2，得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437. ∴tan α＝sin αcos α＝437×71＝43，于是tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×431－(43)2＝－8347. (2)由0＜β＜α＜π2，得0＜α－β＜π2.又∵cos(α－β)＝1314，∴sin(α－β)＝1－cos 2(α－β)＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314.由β＝α－(α－β)得：cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，所以β＝π3.综合提高 (限时30分钟)7．若cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－35，β是第二象限角，则tan 2β的值是________．解析由已知cos(α＋β－α)＝－35，即cos β＝－35；又β是第二象限角，∴sin β＝45，∴tan β＝－43，∴tan 2β＝2tan β1－tan 2 β＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－431－169＝247. 答案 247 8．化简：1＋sin θ1－sin θ－1－sin θ1＋sin θ(θ为锐角)＝________.解析由于0°＜θ＜90°，所以0°＜θ2＜45°.原式＝sin θ2＋cos θ2cos θ2－sin θ2－cos θ2－sin θ2sin θ2＋cos θ2＝1＋sin θ－1＋sin θcos 2 θ2－sin 2 θ2＝2sin θcos θ＝2tan θ.答案 2tan θ9．已知角α在第一象限且cos α＝35，则1＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝________.解析原式＝1＋cos 2α＋sin 2αcos α＝2cos 2α＋2sin α·cos αcos α＝2(cos α＋sin α)．∵cos α＝35，α是第一象限角 ∴sin α＝45.∴原式＝ 145. 答案 14510．在△ABC 中，已知cos 2C ＝－14，则sin C ＝________. 解析 ∵cos 2C ＝1－2sin 2 C ，∴sin 2 C ＝1－cos 2C 2＝58.又C 为△ABC 中的角，∴sin C ＝104. 答案10411．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35，π2≤α＜3π2，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4的值．解 ∵π2≤α＜3π2，∴3π4≤α＋π4＜7π4，于是可由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝35得到sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝－45.即22cos α－22sin α＝35，22sin α＋22cos α＝－45.两式相加得cos α＝－210，两式相减得sin α＝－7210.而cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22(cos 2α－sin 2α)，cos 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2102－⎝ ⎛⎭⎪⎫－72102＝－2425，sin 2α＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－210×⎝ ⎛⎭⎪⎫－7210＝725. 所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π4＝22⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－725＝－31250.12．已知3π4＜α＜π，tan α＋1tan α＝－103. (1)求tan α的值；(2)求5sin 2 α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2α2－82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4的值．解 (1)∵tan α＋1tan α＝－103，∴3tan 2α＋10tan α＋3＝0，解得tan α＝－13或tan α＝－3. ∵3π4＜α＜π，∴－1＜tan α＜0. ∴tan α＝－13. (2)由tan α＝－13得5sin 2 α2＋8sin α2cos α2＋11cos 2 α2－82sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 2 α2＋cos 2 α2＋4sin α＋6·1＋cos α2－8sin α－cos α＝5＋4sin α＋3＋3cos α－8sin α－cos α＝4sin α＋3cos αsin α－cos α＝4tan α＋3tan α－1＝－54.13．(创新拓展)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(2，2)，若a ·b ＝85且π4＜x ＜π2，求sin 2x (1＋tan x )1－tan x的值．解 ∵a ·b ＝2cos x ＋2sin x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝85.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝45，∵π4＜x ＜π2，∴π2＜x ＋π4＜34π.∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－35，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－43.∴sin 2x (1＋tan x )1－tan x＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2x ·tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43 ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－352·⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝－2875.。

【全程复习方略】2013版高中数学的图象及三角函数的应用课时提能训练苏教版

【全程复习方略】2013版高中数学 3.4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数的应用课时提能训练苏教版(45分钟 100分)一、填空题(每小题5分，共40分) 1.将函数y=2sin(1x 36π+)的周期变为原来的2倍，再将所得函数的图象向右平移π个单位，所得函数的图象的解析式为___________.2.(2012·镇江模拟)将函数y=sin4x 的图象向左平移12π个单位，得到y=sin(4x+ϕ)的图象，则ϕ等于_________.3.(2012·南京模拟)已知函数f(x)=2sin(ωx+ϕ)(ω>0,0<ϕ<π)的图象如图所示，则ω=__________.4.已知函数f(x)=2sin(ωx-5π)(ω>0)的图象与直线y=-1的交点中最近的两点间的距离为3π,则函数f(x)的最小正周期等于__________.5.图象的一部分如图所示，则函数y=Asin(ωx+ϕ)的解析式为________.(A>0,ω>0,|ϕ|<2π)6.将函数y ＝cosx 的图象向左平移ϕ(0≤ϕ<2π)个单位后，得到函数y ＝sin(x-6π)的图象，则ϕ等于__________.7.(2012·南通模拟)函数f(x)=2sin(ωx+3π)(x ∈R)，f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值等于2π,则正数ω的值为__________.8.(2012·盐城模拟)下面有四个命题： ①函数y=sin(2x-3π)的一条对称轴为x=5;12π②把函数y=3sin(2x+3π)的图象向右平移6π个单位长度得到y=3sin2x 的图象； ③存在角α使得sin α+cos α=3;④对于任意锐角α，β都有sin(α+β)<sin α+sin β. 其中，正确的是__________.(只填序号) 二、解答题(每小题15分，共45分) 9.已知函数A A f(x)cos(2x 2)(A 0,0,0),222π=-ω+ϕ>ω><ϕ<且y=f(x)的最大值为2，其图象相邻两对称轴间的距离为2，并过点(1,2). (1)求ϕ;(2)计算f(1)+f(2)+…+f(2 012).10.某简谐运动得到形如y=Asin(ωx+ϕ)的关系式，其中：振幅为4，周期为 6π,初相为3π-; (1)写出这个函数的关系式；(2)用五点作图法在所给坐标系中作出这个函数在一个周期内的图象； (3)说明这个函数图象可由y=sinx 的图象经过怎样的变换得到.11.(2012·苏州模拟)已知函数f(x)=Acos 2(ωx+ϕ)+1(A>0,ω>0,02π<ϕ<)的最大值为3，f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为2，与y 轴的交点坐标为(0，2). (1)求函数f(x)的解析式；(2)设数列a n =f(n)，S n 为其前n 项和，求S 100. 【探究创新】(15分)已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，||2πϕ＜，x ∈R)的图象的一部分如图所示．(1)求函数f(x)的解析式； (2)当x ∈[-6,-23]时，求函数y ＝f(x)＋f(x ＋2)的最大值与最小值及相应的x 的值．答案解析1.【解析】211y 2sin(x )y 2sin(x )3666πππ=+−−−−→=+−−−−→周期变为向右平移原来的倍个单位1y 2sin (x )66π=-π+［］ 12sin x.6=答案：x y 2sin6= 【误区警示】在变换周期或平移时一定要注意针对的图象，不可混淆. 2.【解析】由题意知，y sin4(x )sin(4x ),123ππ=+=+ .3π∴ϕ=答案：3π3.【解析】由图知，T 1533,2882=π-π=π ∴T=3π,由22T .3π=ω=ω得答案：234.【解析】由题意可知2,33ππω=∴ω=2, ∴22T .2ππ===πω 答案：π5.【解析】由图知A=1，1T (),4126ππ=--∴T=π, ∴ω=2ππ=2,可设解析式为y=sin(2x+ϕ)将(12π，1)代入得3πϕ=+2k π,k ∈Z.结合|ϕ|<.23ππϕ=知，∴y=sin(2x+3π).答案：y=sin(2x+3π)6.【解析】∵sin(x )cos[(x )]626πππ---＝＝cos(x-23π)，将y ＝cosx 的图象向右平移23π个单位可得到y ＝cos(x-23π)的图象，故要得到y ＝sin(x-6π)的图象应将y ＝cosx 的图象向左平移24233ππϕπ＝－＝个单位．答案：43π7.【解析】由f(α)=-2,f(β)=0,且|α-β|的最小值等于2π可知T ,T 2.42π==π∴ω=1. 答案：18.【解题指南】根据三角函数的性质，逐一进行判断，要注意每个题目所给出的条件.【解析】对于①令55x ,y sin()1,1263π=π=π-=故5x y sin(2x )123π=π=-为的一条对称轴，故①正确；对于②将y=3sin(2x+3π)的图象向右平移6π得到y=3sin ［2(x-6π)+3π］=3sin2x 的图象，故②正确.对于③,sin α+cos α∈［,故③错误，④利用三角函数线知正确. 答案：①②④9.【解题指南】(1)由f(x)的最大值可求出A 的值，再由f(x)的对称轴的性质求出ω，最后求出ϕ值. (2)由f(1)+f(2)+…+f(2 012)估计f(x)有可能为周期函数，因此，可先探究其周期性再求值. 【解析】(1)∵A Ay cos(2x 2)22=-ω+ϕ，且y=f(x)的最大值为2，A>0, ∴A A2,22+=A=2. 又∵函数图象相邻两对称轴间的距离为2,ω>0,∴12()2,.224ππ=ω=ω ∴()22f x cos(x 2)1cos(x 2).2222ππ=-+ϕ=-+ϕ∵y=f(x)过点(1，2)，∴cos(2)1.2π+ϕ=-∴22π+ϕ=2k π+π,k ∈Z,∴k ,4πϕ=π+k ∈Z. 又∵0,.24ππ<ϕ<∴ϕ=(2)∵(),f x 1cos(x )1sin x.4222ππππϕ=∴=-+=+∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4. 又易知y=f(x)的周期为4,2 012=4×503, ∴f(1)+f(2)+…+f(2 012)=4×503=2 012.【方法技巧】函数y=Asin(ωx+ϕ)的对称轴和对称中心(1)y=Asin(ωx+ϕ)的图象有无穷多条对称轴，可由方程ωx+ϕ=k π+2π(k ∈Z)解出；它还有无穷多个对称中心，对称中心为k (,0)π-ϕω(k ∈Z). (2)相邻两对称轴间的距离为T 2，相邻两对称中心间的距离为T2.10.【解析】(1)这个函数的关系式为:1y 4sin(x );33π=-(2)列表：xπ 52π4π 112π7π 1x 33π- 0 2π π 32π 2π 1y 4sin(x )33π=-4-4描点;连线；图象如图：(3)把函数y=sinx 的图象向右平移3π个单位，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的3倍(纵坐标不变)，然后将所得图象上各点的纵坐标变为原来的4倍(横坐标不变)，就可以得到1y 4sin(x )33π=-的图象.11.【解析】(1)∵()A A f x cos(2x 2)1,22=ω+ϕ++依题意：A A1322++=，∴A=2.又T 224,,224ππ=∴=ω=ω，得 ∴f(x)=cos(x 2)2,2π+ϕ+令x=0得:cos2ϕ+2=2,又0<ϕ<2π,∴2ϕ=2π. 故函数f(x)的解析式为：()f x 2sin x.2π=- (2)由f(x)=2sin x 2π-知:a n =f(n)=2sin n,2π-当n 为偶数时，f(n)=2,当n 为奇数时，f(1)+f(3)=f(5)+f(7)=…=f(97)+f(99)=4. ∴S 100=2×50+4×25=200. 【探究创新】【解题指南】由图象直接得到A ，再根据周期求出ω，由定点求出φ，得到函数解析式.通过代入经变换求出最值.【解析】(1)由图象知A ＝2，T ＝8， ∵2T 8.4ππ∴ωω＝＝，＝又图象经过点(－1,0)，∴2sin()0.k ,k Z,44ππ-+ϕ∴ϕ=π+∈＝ ∵|ϕ|＜2π，∴ϕ＝4π.∴()f x 2sin(x ).44ππ+＝(2)y ＝f(x)＋f(x ＋2)＝2sin(x )2sin(x )44424πππππ+++＋＝2sin(x )x.424πππ+＝∵x ∈[-6,23-]，∴3x .246πππ≤≤-－∴当x 46ππ-＝，即2x 3-＝时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)；当x 4π＝－π，即x ＝－4时，y ＝f(x)＋f(x ＋2)取得最小值－【方法技巧】由图象求解析式和性质的方法和技巧(1)给出图象求y=Asin(ωx+ϕ)+b 的解析式的难点在于ω,ϕ的确定，本质为待定系数法，基本方法是：①寻找特殊点(平衡点、最值点)代入解析式；②图象变换法，即考查已知图象可由哪个函数的图象经过变换得到，通常可由平衡点或最值点确定周期T ，进而确定ω．(2)由图象求性质的时候，首先确定解析式，再根据解析式求其性质，要紧扣基本三角函数的性质，例如单调性、奇偶性、周期性和对称性等都是考查的重点和热点.【变式备选】已知函数f(x)＝Asin(ωx ＋ϕ)(x ∈R ，A>0，ω>0，|ϕ|<2π)的部分图象如图所示．(1)试确定f(x)的解析式；(2)若a 12f ()cos(a)223ππ＝，求－的值．【解析】(1)由题干图可知A ＝2，T 5114632＝－＝，∴T ＝2，2.T πωπ＝＝将点P(13，2)代入y ＝2sin(πx ＋ϕ)，得2sin() 2.3πϕ＋＝∴2k (k Z),||.626πππϕ=π+∈ϕ<∴ϕ又，＝故所求解析式为f(x)＝2sin(πx ＋6π)(x ∈R)．(2)∵a 1a 1f ()2sin()22262π∴π＝，＋＝，即a 1sin().264π＋＝22a cos(a)cos[2()]362a a 7cos2()2sin ()1.62628ππ∴πππ－＝－＋＝－＋＝＋－＝－。

高中数学苏教版必修四课时训练3.2 二倍角的三角函数3.2 Word版含答案

§二倍角的三角函数
课时目标
．会从两角和的正弦、余弦、正切公式导出二倍角的正弦、余弦、正切公式．．能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换，并能灵活地将公式变形运用．
．倍角公式
()α：α＝，＝；
()α：α＝＝＝；
()α：α＝.
．倍角公式常用变形
()＝，＝；
()＋α＝，
－α＝；
()α＝，α＝.
()－α＝，＋α＝.
一、填空题
的值是．
．求值：°°°＝.
．函数()＝－－＋的最大值是．
．已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值是．
．若(－α)＝，则(＋α)的值为．
．函数()＝(－)－的最小正周期是．
．已知＝，则＝.
．已知α＋αα－α＝，α∈(，)，则α＝.
.
在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的．弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示)．如果小正方形的面积为，大正方形的面积为，直角三角形中较小的锐角为θ，那么θ的值等于．
．已知角α在第一象限且α＝，则＝.
二、解答题
．求证：＝.
．若＝－，<<，
求的值．。

高三数学一轮复习36二倍角的三角函数随堂训练文苏教版

第6课时二倍角的三角函数一、填空题1．(江苏省高考命题研究专家原创卷)若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－22，则cos α－sin α的值为 ________．解析：cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α22(sin α＋cos α)＝2(cos α－sin α)＝－22⇒cos α－sin α＝－12.答案：－122．已知α是第一象限的角，且cos α＝513，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos(2α＋4π)的值为________．解：∵α是第一象限的角，cos α＝513，∴sin α＝1213. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4cos(2α＋4π)＝22(sin α＋cos α)cos 2α＝22(sin α＋cos α)cos 2α－sin 2α＝22cos α－sin α＝22513－1213＝－13 214. 答案：－13 2143． (江苏省高考名校联考信息优化卷)若函数f (x )＝sin(x ＋α)－2cos(x －α)是偶函数，则cos 2α＝________.解析：∵f (x )＝(cos α－2sin α)sin x ＋(sin α－2cos α)cos x ，故cos α－2sin α＝0， cos α＝2sin α，∴cos 2α＋sin 2α＝5sin 2α＝1，即sin 2α＝15，cos 2α＝1－2sin 2α＝35.答案：354．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tan α·tan β＝________.解析：∵cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝15①cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝35②由①②解得cos αcos β＝25，sin αsin β＝15，则tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝12.答案：125．若锐角α、β满足(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，则α＋β＝______.解析：∵(1＋3tan α)(1＋3tan β)＝4，∴1＋3(tan α＋tan β)＋3tan αtan β＝4，即tan α＋tan β＝3(1－tan αtan β)．∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝3(1－tan αtan β)1－tan αtan β＝ 3.又∵0<α＋β<π，∴α＋β＝π3.答案：π36．(江苏扬州模拟)函数y ＝sin x ＋3cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，π的值域是________．解析：∵y ＝sin x ＋3cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3.又∵π6≤x ≤π，∴π2≤x ＋π3≤4π3. 结合正弦函数的图象与性质得：－32≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤1.∴－3≤2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3≤2. 答案：[－3，2] 二、解答题7．若函数f (x )＝1＋cos 2x 4sin ⎝⎛⎭⎫π2＋x －a sin x2·cos ⎝⎛⎭⎫π－x 2的最大值为2，试确定常数a 的值．解：f (x )＝2cos 2x 4cos x ＋a sin x 2cos x 2＝12cos x ＋a2sin x ＝14＋a 24sin(x ＋φ)，其中角φ满足sin φ＝11＋a 2.由已知，有14＋a 24＝4.解之得a ＝±15.8．已知sin x ＋cos x ＝－15(135°<x <180°)．求2sin x cos x －sin x －cos 3x ＋sin 3x的值．解：∵sin x ＋cos x ＝－15，∴1＋2sin x cos x ＝125.即1＋sin 2x ＝125，∴sin 2x ＝－2425.又∵270°<2x <360°，∴cos 2x ＝725.∴原式＝2sin xcos(2x －x )－sin(2x －x )－cos(2x ＋x )＋sin(2x ＋x )＝2sin x 2sin 2x ·sin x ＋2cos 2x ·sin x ＝1sin 2x ＋cos 2x＝－2517.9．已知△ABC 的面积为3，且满足0＜AB ·AC ≤6.设AB 和AC 的夹角为θ.(1)求θ的取值范围；(2)求函数f (θ)＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋θ－3cos 2θ的最大值与最小值．解：(1)设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则由已知条件可得12bc sin θ＝3,0＜bc cos θ≤6，可得tan θ≥1，又∵θ∈(0，π)，∴θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2.(2)f (θ)＝2sin 2⎝⎛⎭⎫π4＋θ－3cos 2θ＝1－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋2θ－3cos 2θ ＝1＋sin 2θ－3cos 2θ＝sin 2θ－3cos 2θ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋1. ∵θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，2θ－π3∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，∴2≤2sin ⎝⎛⎭⎫2θ－π3＋1≤3. 即当θ＝5π12时，f (θ)max ＝3；当θ＝π4时，f (θ)min ＝2.1． (江苏淮阴模拟)已知：f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x ＋a (a ∈R ，a 为常数)．(1)若x ∈R ，求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，π3上最大值与最小值之和为3，求a 的值．解：f (x )＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋a ＋1. (1)f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π3知2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤1， ∴－1≤2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6≤2，∴f (x )max ＝2＋a ＋1，f (x )min ＝－1＋a ＋1， ∴2a ＋3＝3，解得a ＝0. 2．已知函数f (x )＝1－2sin(2x －π4)cos x.(1)求f (x )的定义域；(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－43，求f (α)的值．解：(1)由cos x ≠0，得x ≠k π＋π2(k ∈Z)，故f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠k π＋π2，k ∈Z}．(2)∵tan α＝－43且α是第四象限的角，∴sin α＝－45，cos α＝35.∴f(α)＝1－2sin(2α－π4)cos α＝1－2(22sin 2α－22cos 2α)cos α＝1－sin 2α＋cos 2αcos α＝(1＋cos 2α)－sin 2αcos α＝2cos2α－2sin αcos αcos α＝2(cos α－sin α)＝2(35＋45)＝145.。

【全程复习方略】(陕西专用)高考数学 3.6 倍角公式和半角公式课时提能演练理北师大版

【全程复习方略】（陕西专用）2013版高考数学 3.6 倍角公式和半角公式课时提能演练理北师大版(45分钟 70分)一、选择题(每小题5分，共30分)1.3－sin70°2－cos 210°＝( )(A)12 (B)22 (C)2 (D)322.(2012·滁州模拟)已知α为第三象限的角，cos2α＝－35，则tan(π4＋2α)＝( )(A)－17 (B)17 (C)－7 (D)73.(2012·宜春模拟)若cos2αsin(α－π4)＝－22，则cos α＋sin α的值为()(A)－72 (B)－12 (C)12 (D)724.已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )(A)－43 (B)54 (C)－34 (D)455.(预测题)已知函数f(x)＝1＋cos2x 4sin(π2＋x)－asin x 2cos(π－x 2)的最大值为2，则常数a 的值为( )(A)15 (B)－15 (C)±15 (D)±10 6.若函数f (x)＝(sinx ＋cosx)2－2cos 2x －m 在[0，π2]上有零点，则实数m 的取值范围为( )(A)[－1，2] (B)[－1,1] (C)[1，2] (D)[－2，－1]二、填空题(每小题5分，共15分)7.化简1＋sin2θ－cos2θ1＋sin2θ＋cos2θ＝ .8.(2012·合肥模拟)已知sin(π4＋α)＝14，则sin2α的值为 .9.(易错题)函数y ＝(acosx ＋bsinx)cosx 有最大值2，最小值－1，则实数(ab)2的值为 .三、解答题(第10题12分，第11题13分，共25分)10.(2012·汉中模拟)已知函数f(x)＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a(x∈R).(1)若f(x)有最大值2，求实数a 的值；(2)求函数f(x)的单调递增区间.11.(2012·阜阳模拟)已知函数f(x)＝2sinxcosx ＋cos2x(x∈R).(1)求f(x)的最小正周期和最大值；(2)若θ为锐角，且f(θ＋π8)＝23，求tan2θ的值.【选做•探究题】已知函数f(x)＝sinx ＋cosx ，f′(x)是f(x)的导函数，(1)求函数F(x)＝f(x)f′(x)＋f 2(x)的值域和最小正周期；(2)若f(x)＝2f′(x)，求1＋sin 2xcos 2x －sinxcosx 的值.答案解析1.【解析】选C.因为3－sin70°2－cos 210°＝3－sin70°2－1＋cos20°2＝2(3－sin70°)3－cos20°＝2(3－sin70°)3－sin70°＝2.故答案为C.2.【解析】选A.cos2α＝－35，∴2cos 2α－1＝－35，2cos 2α＝25，∴cos α＝－55，sin α＝－1－cos 2α＝－255，∴tan α＝2，tan2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43，tan(π4＋2α)＝tan π4＋tan2α1－tan π4tan2α＝1－431＋43＝－173.【解析】选C.∵sin(α－π4)≠0，∴α－π4≠k π，(k ∈Z)即α≠k π＋π4，∴sin α≠cos α.则cos2αsin(α－π4)＝cos 2α－sin 2αsin αcos π4－cos αsin π4＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)22(sin α－cos α)＝－2(cos α＋sin α)＝－22.∴cos α＋sin α＝12. 4.【解析】选D.sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1，又tan θ＝2，故原式＝4＋2－24＋1＝45. 5.【解题指南】先利用公式进行三角恒等变形，把f(x)化成f(x)＝Acos(ωx ＋φ)的形式，再利用最大值求得a.【解析】选C.因为f(x)＝2cos 2x 4cosx ＋12asinx ＝12(cosx ＋asinx)＝1＋a 22cos(x －φ)(其中tan φ＝a)，所以1＋a 22＝2，解得a ＝±15. 6.【解析】选A.f(x)＝(sinx ＋cosx)2－2cos 2x －m＝1＋sin2x －2cos 2x －m＝1＋sin2x －1－cos2x －m ＝2sin(2x －π4)－m ，又∵0≤x ≤π2，∴0≤2x ≤π， ∴－π4≤2x －π4≤3π4， ∴－1≤2sin(2x －π4)≤2，故当－1≤m ≤2时，f(x)在[0，π2]上有零点. 7.【解题指南】分子、分母分别用倍角公式变换注意约分.【解析】原式＝1＋2sin θ·cos θ－(1－2sin 2θ)1＋2sin θ·cos θ＋(2cos 2θ－1)＝2sin θ·cos θ＋2sin 2θ2sin θ·cos θ＋2cos 2θ＝2sin θ·(cos θ＋sin θ)2cos θ·(sin θ＋cos θ)＝tan θ. 答案：tan θ 8.【解析】sin(π4＋α)＝22cos α＋22sin α＝14，∴cos α＋sin α＝24，平方得1＋sin2α＝18，∴sin2α＝－78. 答案：－789.【解析】y ＝acos 2x ＋bsinxcosx＝a ·1＋cos2x 2＋b 2sin2x ＝12a 2＋b 2sin(2x ＋φ)＋a 2∴⎩⎪⎨⎪⎧ 12a 2＋b 2＋a 2＝2－12a 2＋b 2＋a 2＝－1， ∴a ＝1，b 2＝8，∴(ab)2＝8.答案：8【方法技巧】三角恒等变换的特点和变换技巧 (1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍半角公式等进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.(2)对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角恒等变换的重要特点.(3)在三角变换时要选准解决问题的突破口，要善于观察角的差异，注意拆角和拼角的技巧；观察函数名称的异同，注意切化弦、化异为同的方法的选用；观察函数式结构的特点等.①注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧：(ⅰ)常值代换，特别是“1”的代换，如：1＝sin 2θ＋cos 2θ等；(ⅱ)项的分拆与角的配凑；(ⅲ)降次与升次；(ⅳ)万能代换.②对于形如asin θ＋bcos θ的式子，要引入辅助角φ并化成a 2＋b 2sin(θ＋φ)的形式，这里辅助角φ所在的象限由a ，b 的符号决定，φ角的值由tan φ＝b a确定.对这种思想，务必强化训练，加深认识. 10.【解析】(1)f(x)＝2cos 2x ＋3sin2x ＋a ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋1＋a ，当sin(2x ＋π6)＝1，f(x)有最大值为3＋a ， ∴3＋a ＝2，解得a ＝－1；(2)令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)，∴函数f(x)的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z). 11.【解析】(1)f(x)＝2sinxcosx ＋cos2x＝sin2x ＋cos2x ＝2(22sin2x ＋22cos2x) ＝2sin(2x ＋π4). ∴f(x)的最小正周期为2π2＝π，最大值为 2. (2)∵f(θ＋π8)＝23， ∴2s in(2θ＋π2)＝23. ∴cos2θ＝13. ∵θ为锐角，即0＜θ＜π2，∴0＜2θ＜π. ∴sin2θ＝1－cos 22θ＝223. ∴tan2θ＝sin2θcos2θ＝2 2. 【误区警示】在求解(2)时要注意θ的范围，从而确定sin2θ的正负，继而确定tan2θ的正负.【选做•探究题】【解题指南】(1)先求出f ′(x)，代入F(x)进行三角恒等变换得到F(x)＝Asin(ωx ＋ϕ)＋B 的形式，求其性质；(2)根据f(x)＝2f ′(x)求出tanx 的值，化简所求的式子后代入.【解析】(1)∵f ′(x)＝cosx －sinx ，∴F(x)＝f(x)f ′(x)＋f 2(x).＝cos 2x －sin 2x ＋1＋2sinxcosx＝1＋sin2x ＋cos2x＝1＋2sin(2x ＋π4) ∴函数F(x)的值域为[1－2，1＋2]， ∴最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)∵f(x)＝2f ′(x) ⇒sinx ＋cosx ＝2cosx －2sinx ，∴cosx ＝3sinx ⇒tanx ＝13，∴1＋sin2xcos2x－sinxcosx＝2sin2x＋cos2xcos2x－sinxcosx＝2tan2x＋11－tanx＝11923＝116.。

高中数学 3.2同角三角函数关系及诱导公式课时提能训练

【全程复习方略】2013版高中数学 3.2同角三角函数关系及诱导公式课时提能训练苏教版(45分钟 100分)一、填空题(每小题5分，共40分)1.(2012·南通模拟)设α为第四象限角，且cos α=23，则tan α=______. 2.sin690°=_________. 3.cos94π+tan(-76π)+sin21π的值为_______. 4.(2012·连云港模拟)若cos(2π-α)=35,α∈(-2π,0),则sin(π+α)=_____. 5.已知函数f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),且f(2 011)=3,则f(2 012)的值是_______.6.已知sin(4π+α)=2，则sin(34π-α)的值为______. 7.若sin α是5x 2-7x-6=0的根，则233sin()sin()tan (2)22cos()cos()sin()22ππ-α--απ-αππ-α+απ+α=______. 8.(2012·苏州模拟)已知sin(540°+α)=-45,则cos(α-270°)=_____,若α为第二象限角，则2sin(180)cos(360)tan(180)︒-α+α-︒︒+α［］=_______. 二、解答题(每小题15分，共45分)9．已知tan α,1tan α是关于x 的方程x 2-kx+k 2-3=0的两个实根，且3π＜α＜72π，求cos α+sin α的值． 10.已知sin(3π-α32π+βαcos(π+β),且0<α<π，0<β<π,求α和β的值.11.化简sin(n )sin(n )sin(n )cos(n )α+π+α-πα+πα-π (n ∈Z). 【探究创新】(15分)东升中学的学生王丫在设计计算函数 f(x)=2sin (3x)cos(x 2)sin(x)cos(x)1tan(x)π--π+π-+π++π-的值的程序时，发现当sinx 和cosx 满足方程2y 2+1)y+k=0时，只要使上述方程有根，无论输入任意实数k ，f(x)的值都不变，你能说明其中的道理吗？这个定值是多少？答案解析1.【解析】∵α为第四象限角，∴sin α=sin tan 3cos 2α=-∴α==-α答案:-22.【解析】sin690°=sin(720°-30°)=-sin30°=1.2-答案：-123.【解析】原式=cos(2π+4π)-tan(π+6π)+0cos tan 46ππ=-==答案：64.【解析】由已知得cos α=35,又α∈(-2π,0),∴sin α=4,5=-∴sin(π+α)=-sin α=45. 答案：455.【解析】∵f(2 011)=asin(2 011π+α)+bcos(2 011π+β)=asin(π+α)+bcos(π+β)=-asin α-bcos β=3.∴asin α+bcos β=-3,∴f(2 012)=asin(2 012π+α)+bcos(2 012π+β)=asin α+bcos β=-3.答案：-36.【解题指南】此题先利用(4π+α)+( 34π-α)=π，再利用诱导公式求解.【解析】sin(34π-α)=sin(4π+α7.【解题指南】利用方程求出sin α，把所给的式子化简，代入即可求.【解析】由已知得sin α=3,5-则原式=2cos (cos )tan 15.sin (sin )(sin )sin 3α-αα=-=α-α-αα 答案：538.【解析】由已知得sin α=45,cos(α-270°)=-sin α=-45,因为α为第二象限角,所以cos α=-35,所以tan α=-43.22sin(180)cos(360)(sin cos )3.tan(180)tan 100︒-α+α-︒α+α==-︒+αα［］答案：435100- -9．【解析】∵tan α·1tan α=k 2-3=1,∴k=±2,而3π＜α＜72π，则tan α+1tan α=k=2，得tan α=1，则sin α=cos α=2-，∴cos α+sin α.【变式备选】已知sinx+cosx=m(|m|,且|m|≠1),求(1)sin 3x+cos 3x ；(2)sin 4x+cos 4x.【解析】由sinx+cosx=m,得1+2sinxcosx=m 2,即sinxcosx=2m 1,2-(1)sin 3x+cos 3x=(sinx+cosx)(1-sinxcosx)=m(1-2m 12-)=33m m 2-.(2)sin 4x+cos 4x=1-2sin 2xcos 2x=1-2(2m 12-)242m 2m 1.2-++=10.【解题指南】求α,β的某个三角函数值，再根据范围确定角的大小.【解析】将所给两式变形可化为sin βsin α ①cos βα ②则①2+②2，得cos 2α=12,cos α=±2,∵0<α<π,∴α=4π或34π,当α=4π时，cos βcos 4π==∵0<β<π,∴β=6π.当α=34π时,cos β3cos 4π=∵0<β<π,∴β=56π.11.【解题指南】本题对n 进行讨论.在不同的n 值下利用诱导公式进行化简.【解析】①当n=2k,k ∈Z 时，原式=sin(2k )sin(2k )2.sin(2k )cos(2k )cos α+π+α-π=α+πα-πα②当n=2k+1,k ∈Z 时,原式()()()()sin 2k 1sin 2k 12.sin 2k 1cos 2k 1cos α++π+α-+π==-α++πα-+πα［］［］［］［］【方法技巧】诱导公式中的分类讨论(1)关键抓住题中的整数n 应分成奇数和偶数两种类型，分别加以讨论.(2)有时利用角所在的象限讨论.不同的象限角的三角函数值符号不一样，诱导公式的应用和化简的方式也不一样.【变式备选】若sin α=13,则cos(2k 12+π+α)+ cos(2k 12-π-α)(k ∈Z)=_________.【解析】原式=cos(k π+2π +α)+cos(k π-2π-α),当k 为偶数时，原式=cos(2π+α)+cos(2π+α)=-2sin α=-23，当k 为奇数时，原式=-cos(2π+α)-cos(2π+α)=2sin α=23，故原式=±23.答案:±23【探究创新】【解析】因为f(x)=2sin (3x)cos(x 2)sin(x)cos(x)1tan(x)π--π+π-+π++π-222sin xcosx sin x cos xsinx cosx,sinx sinx cosx sinx cosx 1cosx-=+==+---又因为sinx,cosx 是2y 2+1)y+k=0的两根,所以sinx+cosx=12,所以f(x)=sinx+cosx=12,始终是个定值，与变量无关.这个定值是12.。

2013高中新课程数学(苏教版四)3.2 二倍角的三角函数活页规范训练含答案

错误!1．2cos2错误!－1＝________。

解析2cos2错误!－1＝cos 错误!＝错误!。

答案错误!2。

错误!错误!＝________。

解析错误!错误!＝sin2错误!－cos2错误!＝－cos错误!＝错误!.答案错误!3．已知sin错误!＋cos错误!＝错误!，则cos 2θ＝________.解析将sin错误!＋cos错误!＝错误!平方得，1＋sin θ＝错误!,即sin θ＝－错误!,于是cos 2θ＝1－2×错误!2＝－错误!.答案－错误!4．已知sin α＝错误!，则sin4α－cos4α的值为________．解析sin4α－cos4α＝sin2α－cos2α＝－cos 2α＝2sin2α－1＝2×错误!－1＝－错误!。

答案－错误!5．已知sin错误!＝－错误!,则sin 2x的值等于________．解析∵sin错误!＝错误!·(sin x＋cos x）＝－错误!，sin x＋cos x＝－错误!，（sin x＋cos x)2＝sin2x＋sin 2x＋cos2x＝1＋sin 2x＝错误!2＝错误!，∴sin 2x＝－错误!。

答案－错误!6．已知cos α＝错误!，cos(α－β)＝错误!，且0＜β＜α＜错误!，(1)求tan 2α的值；（2)求β。

解（1）由cos α＝17,0＜α＜错误!,得sin α＝错误!＝错误!＝错误!。

∴tan α＝错误!＝错误!×错误!＝4错误!,于是tan 2α＝错误!＝错误!＝－错误!.（2）由0＜β＜α＜错误!，得0＜α－β＜错误!.又∵cos（α－β)＝错误!,∴sin（α－β)＝错误!＝错误!＝错误!。

由β＝α－（α－β)得：cos β＝cos［α－(α－β）］＝cos αcos（α－β）＋sin αsin（α－β）＝17×错误!＋错误!×错误!＝错误!，所以β＝错误!.综合提高限时30分钟7．若cos(α＋β）cos α＋sin(α＋β）sin α＝－错误!，β是第二象限角，则tan 2β的值是________．解析由已知cos（α＋β－α)＝－错误!，即cos β＝－错误!；又β是第二象限角，∴sin β＝错误!，∴tan β＝－错误!，∴tan 2β＝错误!＝错误!＝错误!。

苏教版数学高一3.2《二倍角的三角函数》同步检测(2) (2)

3.2《二倍角的三角函数》同步检测（2）一、填空题（每小题5分，共30分）1．设f （tan x ）=tan 2x ，则f （2）的值等于 .2．当tan ≠0时，tan 与sin α的值的符号 .3．已知tan(α＋)＝2，则2sin 2cos 1cos 2ααα-+的值为 . 4.1＋cos 100°－1－cos 100°等于 .5．函数f(x)＝2cos 2 2x ＋sin x 的最小正周期是________． 6．若tan θ=3，则sin 2θ-cos 2θ的值为________．二、解答题(共70分)7．（15分）求cosπ7cos 2π7cos 4π7的值.8. （20分）若x ∈[－π3，π4]，求函数y ＝2cos 21x +＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值．9．(20分)已知f(x)＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ，a ∈R .(1)若f(x)有最大值为2，求实数a 的值；(2)求函数y ＝f(x)的单调区间．10.（15分）已知5πsin ,(,π)132αα=∈，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值答案一、填空题 1.43- 解析：由f （tan x ）=tan 2x = 22tan 1tan x x-可知， f （x ）= 221x x -，∴ f （2）= 22212⨯-= 43-. 2. 同号解析：∵sin α＝2sin 2αcos 2α，tan 2α＝sin 2cos2αα，∴sin α与tan 2α同号．3. －16 解析：由tan(α＋π4)＝tan 11tan αα+-＝2得tan α＝13, 原式＝222sin cos cos 2cos αααα-＝tan α－12＝13－12＝－16. 4. －2sin 5° 解析：原式＝2cos 250°－2sin 250° ＝2(cos 50°－sin 50°)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 50°－22sin 50° ＝2sin(45°－50°)＝－2sin 5°.5.2π 解析：化简得f (x )＝1＋2sin(x ＋π4)，∴T ＝2π1＝2π.6. 75 解析：sin 2θ-cos 2θ=22222sin cos sin cos sin cos θθθθθθ+-+=222tan tan 11tan θθθ+-+=75. 二、解答题7. 解：原式=ππ2π4π2sin cos cos cos 7777π2sin 7=2π2π4π2sin cos cos 777π4sin 7=4π4π2sin cos 77π8sin 7=8πsin 7π8sin 7=πsin 7π8sin 7-=18-. 8．解：y ＝2cos 21x +＋2tan x ＋1＝2222(sin cos )2cos x x x+＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.∵x ∈[－π3，π4]，∴tan x ∈[－3，1]，令tan x ＝t ，则有y ＝g(t)＝(t ＋1)2＋1,∴当t ＝tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y min ＝1；当t ＝tan x ＝1，即x ＝π4时，y max ＝5. 9. 解：(1)f(x)＝2cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋3sin 2x ＋a ＝2(32sin 2x ＋12cos 2x)＋1＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋1＋a. 当2x ＋π6＝π2＋2k π(k ∈Z )时，f(x)取最大值，解得x ＝π6＋k π(k ∈Z )时，f(x)取最大值3＋a .由3＋a ＝2，解得a ＝－1. (2)令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π－π3≤x ≤k π＋π6，k ∈Z ，即单调递增区间是πππ,π36k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z )．同理，可求得单调递减区间是π2ππ,π63k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z )． 10. 解：∵5sin ,(,π)132ααα=∈ ，∴12cos 13α==-， ∴sin 2α = 2sin αcos α = 169120-， cos 2α = 211912sin169α-=， tan 2α = 119120-.。

2013高中新课程数学(苏教版四)第九课时二倍角的正弦、余弦、正切(三)

第九课时二倍角的正弦、余弦、正切(三)教学目标：灵活应用和、差、倍角公式，掌握和差化积与积化和差的方法；培养学生联系变化的观点，提高学生的思维能力.教学重点：和角化归的二倍角公式的变形式的理解与应用.教学难点：二倍角公式的变形式的灵活应用。

教学过程:Ⅰ。

课题导入现在我们进一步探讨和角、差角、倍角公式的应用.先看本章开始所提问题，在章头图中,令∠AOB＝θ，则AB＝a sinθ，OA＝a cosθ,所以矩形ABCD的面积S＝a sinθ·2a cosθ＝a2·2sinθcosθ＝a2sin2θ≤a2当sin2θ＝1，即2θ＝90°，θ＝45°时,a2sin2θ＝a2＝S不难看出,这时A、D两点与O点的距离都是错误!a，矩形的面积最大,于是问题得到解决。

Ⅱ.讲授新课［例1］求证sin2错误!＝错误!分析:此等式中的α可作为错误!的2倍。

证明:在倍角公式cos2α＝1－2sin2α中以α代替2α,以错误!代替α,即得cosα＝1－2sin2错误!∴sin2错误!＝错误!请同学们试证以下两式:(1）cos2错误!＝错误!(2)tan2错误!＝错误!证明：(1)在倍角公式cos2α＝2cos 2α－1中以α代替2α、以错误!代替α，即得cos α＝2cos 2错误!－1, ∴cos 2错误!＝错误!(2)由tan 2错误!＝错误! sin 2错误!＝错误! cos 2错误!＝错误!得tan 2错误!＝错误!这是我们刚才所推证的三式，不难看出这三式有两个共同特点：（1)用单角的三角函数表示它们的一半即半角的三角函数；（2）由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”（即用此式可达到“降次”的目的）.这一组式子也可称为半角公式，但不要求大家记忆，只要理解并掌握这种推证方法.另外,在这三式中，如果知道cos α的值和错误!角的终边所在象限，就可以将右边开方，从而求得sin α2、cos 错误!与tan 错误!。

2013高中新课程数学(苏教版四)第七课时二倍角的正弦、余弦、正切(一)

第七课时二倍角的正弦、余弦、正切（一)教学目标：掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能用上述公式进行简单的求值、化简、恒等证明;引导学生发现数学规律，让学生体会化归这一基本数学思想在发现中所起的作用，培养学生的创新意识.教学重点：二倍角公式的推导及简单应用.教学难点：理解倍角公式，用单角的三角函数表示二倍角的三角函数。

教学过程：Ⅰ。

课题导入前一段时间，我们共同探讨了和角公式、差角公式，今天,我们继续探讨一下二倍角公式。

我们知道,和角公式与差角公式是可以互相化归的.当两角相等时，两角之和便为此角的二倍，那么是否可把和角公式化归为二倍角公式呢？请同学们试推。

先回忆和角公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ当α＝β时，sin（α＋β）＝sin2α＝2sinαcosα即：sin2α＝2sinαcosα(S2α)cos（α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ当α＝β时cos（α＋β）＝cos2α＝cos2α－sin2α即：cos2α＝cos2α－sin2α(C2α)tan(α＋β）＝错误!当α＝β时，tan2α＝错误!Ⅱ.讲授新课同学们推证所得结果是否与此结果相同呢?其中由于sin2α＋cos2α＝1,公式C2α还可以变形为：cos2α＝2cos2α－1或：cos2α＝1－2sin2α同学们是否也考虑到了呢？另外运用这些公式要注意如下几点：(1)公式S2α、C2α中，角α可以是任意角；但公式T2α只有当α≠错误!＋kπ及α≠错误!＋错误!(k∈Z）时才成立，否则不成立（因为当α＝错误!＋kπ,k∈Z时，tanα的值不存在；当α＝错误!＋错误!，k∈Z时tan2α的值不存在).当α＝错误!＋kπ（k∈Z）时，虽然tanα的值不存在，但tan2α的值是存在的,这时求tan2α的值可利用诱导公式：即:tan2α＝tan2（错误!＋kπ)＝tan（π＋2kπ)＝tanπ＝0（2）在一般情况下，sin2α≠2sinα例如:sin错误!＝错误!≠2sin错误!＝1;只有在一些特殊的情况下，才有可能成立［当且仅当α＝kπ(k∈Z）时，sin2α＝2sinα＝0成立］.同样在一般情况下cos2α≠2cosαtan2α≠2tanα(3）倍角公式不仅可运用于将2α作为α的2倍的情况，还可以运用于诸如将4α作为2α的2倍，将α作为错误!的2倍,将错误!作为错误!的2倍,将3α作为错误!的2倍等等.下面,来看一些例子:［例1]已知sinα＝错误!，α∈（错误!，π），求sin2α，cos2α，tan2α的值.解:∵sinα＝错误!，α∈(错误!，π）∴cosα＝－1－sin2α＝－错误!＝－错误!∴sin2α＝2sinαcosα＝2×错误!×（－错误!）＝－错误!，cos2α＝1－2sin2α＝1－2×(错误!）2＝错误!，tan2α＝sin2αcos2α＝－错误!×错误!＝－错误!.练习题:1。

数学苏教必修课后导练：二倍角的三角函数含解析

课后导练基础达标 1.sin15°·sin30°·sin75°的值等于( ) A.43 B.83 C.81 D.41解析：原式=sin15°×21×cos15°=41sin30°=81. 答案：C2.设f(tanx)=tan2x,则f(2)的值等于( )A.54B.34-C.32- D.4 解析：∵f （tanx ）=tan2x=xx2tan 1tan 2-，∴f （x ）=212x x-.∴f （2）=3421222-=-⨯. 答案：B3.若tanθ=31,则cos 2θ+21sin2θ的值是( ) A.56- B.54- C.54 D.56解析：cos 2θ+21sin2θ=cos 2θ+sinθcosθ=1tan tan 1cos sin cos sin cos 2222++=++θθθθθθθ =561)31(3112=++. 答案：D4.设5π＜θ＜6π，cos2θ=a ，那么sin 4θ等于（） A.21a +-B.21a --C.21a+- D.21a --解析：由5π＜θ＜6π，得25π＜2θ＜3π，45π＜2θ＜23π，则sin4θ=2122cos1a --=--θ，故选D.答案：D 5.cos 48π-sin 48π等于（） A.0 B.22 C.1 D.-22解析：原式=（cos 28π+sin 28π）（cos 28π-sin 28π） =cos 28π-sin 28π=cos 4π=22.答案：B 6.已知sinx=215-，则sin2（x-4π）的值等于___________. 解析：sin2（x-4π）=-sin （2π-2x ）=-cos2x=2sin 2x-1=2（215-）2-1=2-5.答案：2-57.已知tan （α+4π）=2，则cos2α+3sin 2α+tan2α=_________________. 解析：由tan （α+4π）=2，得tanα=31，∴cos 2α+3sin 2α+αα2tan 1tan 2- =ααααα22222cos sin sin 3sin cos ++-+αα2tan 1tan 2- =αααα222tan 1tan 2tan 1tan 21-+++=2037.答案：2037 8.已知cos2θ=32，求sin 4θ+cos 4θ的值. 解：原式=（22cos 1θ-）2+（22cos 1θ+）2=.18112)32(122cos 122=+=+θ9.化简cos17π·cos172π·cos 174π·cos 178π.解：原式=.16117sin1617sin 17sin 161716sin 178sin 21716sin 174sin 2178sin 172sin 2174sin 17sin 2172sin ===•••ππππππππππππ 10.已知tan 2α=2,求αααα2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+的值.解：∵tan 2α=2,∴原式=αααα2sin )2cos 1(2sin )2cos 1(+++-=ααααααcos sin 2cos 2cos sin 2sin 222++ =αααααααtan )cos (sin cos )cos (sin sin =++=.3421222tan 12tan222-=-•=-αα综合运用 11.tan12π+12tan1π的值等于( )A.2B.3C.4D.6解析：原式=12sin 12cos12cos 12sinππππ+ =.46sin212cos12sin1==πππ答案：C 12.化简（sin2α+cos 2α）2+2sin 2(4π-2α)等于 ( ) A.2+sinα B.2 C.2+sinα-cosα D.2+sinα+cosα 解析：原式=1+sinα+1-cos （2π-α）=1+sinα+1-sinα=2. 答案：B13.已知sinα=-54,且π＜α＜23π，则cos 2α=_________________. 解析：∵π＜α＜23π，∴2α∈（2π，43π） ∴cos 2α＜0,又cosα=35-，∴cos2α=-cosα+21=55-.答案：55-14.求证：（1）1+sinα=2cos 2（4π-2α）; (2)1-sinα=2cos 2(4π+2α). 证明：（1）1+sinα=1+cos(2π-α)=2cos 2(22απ-)=2cos 2(4π-2α),即1+sinα=2cos 2(4π-2α)成立.（2）1-sinα=1+cos(2π+α)=2cos 2(22απ-)=2cos 2(4π+2α),∴1-sinα=2cos 2(4π+2α)成立.15.已知tan2θ=22-,2π＜2θ＜π,求)4sin(21sin 2cos 22θπθθ+--的值.解：∵tan2θ=θθ2tan 1tan 2-=2-,∴2tan 2θ-tanθ-2=0, ∴tanθ=2或tanθ=-22. ∵2π＜2θ＜π, ∴4π＜θ＜2π, ∴tanθ＞0,故tanθ=2.∴原式=2232121tan 1tan 1sin cos sin cos +-=+-=+-=+-θθθθθθ.拓展探究16.已知cos （4π+x ）=53，1217π＜x ＜47π，求x x x tan 1sin 22sin 2-+的值.思路分析：本题已知4π+x 的余弦值.因此在解决问题时可视角4π+x 为整体来考虑；又由于cos （4π+x ）=53，也可用和角余弦公式展开出现单角的三角函数，根据问题的特征，对所求式子先化切为弦，再依据已知条件求值.解法1：∵原式=xx x x x x tan 1cos sin cos sin 22sin -•+=sin2x·xxtan 1tan 1-+=sin2x·xxtan 4tan1tan 4tanππ-+=sin2x·tan （4π+x ）①由1217π＜x ＜47π，知35π＜4π+x ＜2π 又由cos （4π+x ）=53，得sin （4π+x ）=,54)53(1)4(cos 122-=--=+--x π∴tan （4π+x ）=.345354)4cos()4sin(-=-=++x x ππ又sin2x=-cos （2x+2π）=-cos[2（4π+x ）]=-[2cos 2（4π+x ）-1]=1-2cos 2（4π+x ）=1-2×257259=，将上述结果代入①式有：原式=7528)34(257-=-⨯. 解法2：∵xx xx x xx x cos sin 1sin 2cos sin 2tan 1sin 22sin 22-+=-+=xx x x x x sin cos )cos (sin cos sin 2-+①由cos （4π+x ）=53，得cos 4πcosx-sin 4πsinx=53，∴有cosx-sinx=523 ②∴（cosx-sinx ）2=2518，即2sinxcosx=257③ 又（cosx+sinx ）2=1+2sinxcosx=2532257=, ∵1217π＜x ＜47π，cos ＞0，sinx ＜0，且|cosx|＜|sinx|,∴cosx+sinx ＜0. ∴cosx+sinx=524-④ 将②③④代入①得原式=.7528523)524(257-=-⨯。

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课时提能演练(二十一)(45分钟 100分)一、填空题(每小题5分，共40分)1.函数()22x x f x sin cos 22=-的最小正周期是______.2.已知cos α=13,cos(α+β)=13-,且α、β∈(0,2π)，则cos(α-β)的值等于______.3.已知函数f(x)=sin 2ωωxcos ωx,x ∈R,又11f (),f ()22α=-β=，若|α-β|的最小值为34π，则正数ω的值为______. 4.若θ∈(,42ππ),sin2θ=116,则cos θ-sin θ的值是_______.5.(2012·苏州模拟)已知11tan ,tan 73α=β=，且α,β∈(0,π)，则α+2β=______.6.(2012·宿迁模拟)已知43cos()(,2)252ππα+=α∈π且，则sin2α=______.7.对于函数f(x)=2sinxcosx ，下列说法中正确的是______. ①f(x)在(,42ππ)上是递增的； ②f(x)的图象关于原点对称； ③f(x)的最小正周期为2π； ④f(x)的最大值为2.8.函数23y cos(2x )x 4π=--的最小正周期为______.二、解答题(每小题15分，共45分)9.化简：42212cos x 2cos x 2.2tan(x)sin (x )44-+ππ-+ 10.已知sin(2α-β)=35,sin β=1213-,且α∈(2π,π),β∈(-2π,0)，求sin α的值.11.(2012·无锡模拟)已知函数f(x)=2cos 2x+(1)求函数f(x)在区间,63ππ-［］上的值域；(2)在△ABC 中，若f(C)=2,2sinB=cos(A-C)-cos(A+C),求tanA 的值. 【探究创新】 (15分)(1)求证：111.sin2x tanx tan2x=- (2)将(1)中的x 换成2x,能得到什么结论？(3)在已有结论的基础上，探索下式的结果，并给出证明.*n1111(n N ).sin2x sin4x sin8x sin2x+++⋯+∈答案解析1.【解析】f(x)=22x x sin cos 22- =22x x (cos sin )cosx,T 2.22--=-∴=π 答案：2π2.【解析】∵α∈(0,2π),∴2α∈(0,π). ∵cos α=1,3∴27cos22cos 1,9α=α-=-∴sin2α=而α，β∈(0,2π),∴α+β∈(0,π),∴sin(α+β=∴cos(α-β)=cos ［2α-(α+β)］ =cos2αcos(α+β)+sin2αsin(α+β)=7123()().939327-⨯-+= 答案：23273.【解题指南】将f(x)化简整理可得f(x)的最大值、最小值与f(α)、f(β)的关系，从而获取f(x)的周期，即可解得ω.【解析】∵()1cos2x f x x 22-ω=+ω 1sin(2x )26π=+ω-，由题意知f(x)的14个周期为3123,4424ππ∴⨯=πω，∴ω=1.3答案：134.【解析】∵θ∈(,)42ππ,∴cos θ-sin θ＜0, ∵(sin θ-cos θ)2=1-sin2θ=1151,1616-=∴cos θ-sin θ=4-.答案：【误区警示】由θ的范围判断cos θ-sin θ的正负一定要准确.5.【解析】∵1tan ,36πβ=<∴β<222tan 33tan21,2,11tan 441915tan ,2,7612βπβ===<∴β<-β-πα=<∴α<∴α+β<π 又tan(α+2β)=13tan tan2741,131tan tan2174+α+β==-αβ-⨯ 由α+2β<512π知α+2β=4π.答案：4π6.【解题指南】由已知先求sin α，结合α的范围求cos α，然后用二倍角公式求解.【解析】44cos()sin ,sin ,255πα+=-α=∴α=- 又α∈(32π,2π),∴3cos ,5α== ∴sin2α=2sin αcos α=43242().5525⨯-⨯=- 答案：2425-7.【解析】∵f(x)=2sinxcosx=sin2x,其增区间为［k ,k 44πππ-π+］,k ∈Z 且f(x)是奇函数, 图象关于原点对称，最小正周期T=π，f(x)max =1. 答案：②8.【解析】23y cos(2x )x 4π=--2x221cos2x222=-+--=-+-sin(2x)4π=+T=π.答案：π【方法技巧】三角恒等变换的特点和变换技巧(1)三角恒等变换就是利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式、倍半角公式等进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上. (2)对于三角变换，由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异，而且还会有所包含的角，以及这些角的三角函数种类方面的差异，因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，这是三角恒等变换的重要特点．(3)在三角变换时要选准解决问题的突破口，要善于观察角的差异，注意拆角和拼角的技巧；观察函数名称的异同，注意切化弦、化异为同的方法的选用；观察函数式结构的特点等.①注意掌握以下几个三角恒等变形的常用方法和简单技巧：(ⅰ)常值代换，特别是“1”的代换，如：1=sin2θ+cos2θ等；(ⅱ)项的分拆与角的配凑；(ⅲ)降次与升次；(ⅳ)万能代换.②对于形如asinθ+bcosθ的式子，要引入辅助角ϕ)θ+ϕ的形式，这里辅助角ϕ所在的象限由a,b 的符号决定，ϕ角的值由b tan aϕ=确定.对这种思想，务必强化训练，加深认识.9.【解析】原式=4221(4cos x 4cos x 1)2sin(x)42cos (x)4cos(x)4-+π-π--2222(2cos x 1)4sin(x)cos(x)44cos 2x cos 2x 1cos2x.2cos2x 22sin(2x)2-=ππ--===π- 10.【解题指南】先根据已知条件确定2α-β的范围，求其余弦值，再求β的余弦值，通过变换把2α写成(2α-β)＋β并求其余弦值，最后求sin α. 【解析】∵2π＜α＜π,∴π＜2α＜2π. 又∵-2π＜β＜0,∴0＜-β＜2π.∴π＜2α-β＜52π. 而sin(2α-β)=35＞0,∴5422,cos(2).25ππα-βα-β=＜＜又∵1250sin .cos .21313π-ββ=-∴β=＜＜且∴cos2α=cos ［(2α-β)+β］ =cos(2α-β)cos β-sin(2α-β)sin β =4531256().51351365⨯-⨯-= 又cos2α=1-2sin 2α,∴29sin ,130α= 又α∈(2π,π),∴sin 130α=11.【解析】2sin(2x )1.6π=++因为5x ,2x .63666πππππ-≤≤-≤+≤所以所以1sin(2x )1.26π-≤+≤所以-1≤2sin(2x+6π)≤2,所以f(x)∈［0,3］,即函数f(x)在［,63ππ-］上的值域为［0,3］. (2)由f(C)=2得,2sin(2C+6π)+1=2, 所以sin(2C+6π)=1.2在△ABC 中,因为0<C<π,所以132C .666πππ<+<所以52C ,66ππ+=所以C=3π,所以A+B=23π.因为2sinB=cos(A-C)-cos(A+C), 所以2sinB=2sinAsinC.因为22B A,C .2sin(A)333πππ=-=-=所以即所以sinA tanA cosA === 【探究创新】【解题指南】在(1)(2)的基础上分析，找出sin2n x 同n 1n 11tan2x tan2x-及的关系，进而求出结论. 【解析】(1)111cos2x 1cos2xsin2x tan2x sin2x sin2x sin2x++=+= =22cos x 1111..2sinxcosx tanx sin2x tanx tan2x =∴=- (2)111.sin4x tan2x tan4x=- (3)由(1)(2)得：111sin2x tanx tan2x=-111sin4x tan2x tan4x111sin8x tan4x tan8x=-=-…*n n 1n111(n N )sin2x tan2x tan2x-=-∈ 将以上式子两边分别相加得：n *n1111sin2x sin4x sin8x sin2x11(n N ).tanx tan2x+++⋯+=-∈。

2013版高中全程复习方略课时提能训练：3.6二倍角的三角函数(苏教版·数学文)

苏教版高三数学复习课件3.6 二倍角的三角函数

【全程复习方略】2013版高中数学 3.6倍角公式和半角公式、积化和差与和差化积课件 理 新人教B版

苏教版数学高一学案 3.2 二倍角的三角函数

2013高中新课程数学(苏教版必修四)3.2 二倍角的三角函数 活页规范训练 Word版含答案]

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