江苏省2013年专转本高数真题及答案

江苏省2013年普通高校“专转本”选拔考试
高等数学
试题卷（二年级）
注意事项：
1、本试卷分为试题卷和答题卡两部分，试题卷共3页，全卷满分150分，考试时间120分钟．
2、必须在答题卡上作答，作答在试题卷上无效。

作答前未必将自己的姓名和准考证号准确清晰地填在试题卷和答题卡上的指定位置。

3、考试结束时，须将试题卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分。

在下列每小题中，选出一个正确
答案，请在答题卡上将所选项的字母标号涂黑）
1、当0®x 时，函数()ln(1)f x x x =+-是函数2
)(x x g =的( ) A.高阶无穷小 B.低阶无穷小 C.同阶无穷小 D.等价无穷小
2、曲线22232
x x y x x +=-+的渐近线共有( 
) A. 1条
B. 2条
C. 3条
D. 4条
3、已知函数sin 20
()0
11
x x x
f x x
x x ì<ïï=í
>ï+-î，则点0x =是函数)(x f 的
A 、跳跃间断点
B 、可去间断点
C 、无穷间断点
D 、连续点
4、设1
()y f x =，其中
f 具有二阶导数，则22d y
dx
=
A. 231121()()f f x x x x ¢¢¢-+
B. 43
1121
()()f f x x x x ¢¢¢+C. 23
1121()()f f x x x
x ¢¢¢-- D. 43
1121()()f f x x x
x
¢¢¢-5、下列级数中收敛的是
A 、2
11n n n
¥
=+åB 、1(
)1
n
n n n ¥
=+åC 、
1
!
2
n
n n ¥
=åD 、
1
3
n
n n
¥
=å6、已知函数)(x f 在点1x =处连续，且2
1
()1
lim 12
x f x x ®=-，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为
A. 1y x =-
B. 22y x =-
C. 33y x =-
D. 44y x =- 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）分）
7、设函数1
sin 0()0x x f x x
a x ì¹ï=íï=î
在点0=x 处连续，则常数a = ▲ ． 8、已知空间三点(1(1,1,1),,1,1),(2,3,4),(3,4,5)A B C ，则ABC D 的面积为的面积为
▲ ． 9、设函数)(x y y =由参数方程23
11
x t y t ì=+ïí=-ïî所确定，则2
21
x d y
dx == ▲ ．
10、设向量®
®b a ,互相垂直，且，
，23==®®b a ，则=+®
®b a 2 ▲ ． 11、设1
lim()x
x a x e a x ®+=-，则常数=a ▲ ．
12、幂级数
1
2
n
n
n x n
¥
=å
的收敛域为的收敛域为
▲ ． 三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）分）
13、求极限0
1lim ln(1)x x e x x ®éù
-êú+ëû
． 14、设函数(,)z z x y =由方程3
331z xy z +-=所确定，求dz 及2
2z x ¶¶
． 15、求不定积分2
cos 2x xdx ò
．
16、计算定积分
2
2
024dx x
+-ò
．
17、设函数2
23(,)x y
z f x e
+=，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求
2
z y x
¶¶¶．
18、已知直线10
330x y z x y z -+-=ìí
--+=î平面P 上，又知直线23132x t y t z t =-ìï=+íï=+î
与平面P 平行，求平面P 的方程．方程．
19、已知函数()y f x =是一阶微分方程
dy
y dx
=满(0)1y =的特解，的特解，求二阶常系数非齐次线性
求二阶常系数非齐次线性微分方程32()y y y f x ¢¢¢-+=的通解．的通解．
20、计算二重积分
D
xdxdy òò
，其中D 是由曲线2
4(0)y x x =->与三条直线
,3,0y x x y ===所围成的平面闭区域．所围成的平面闭区域．
四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）分） 21、设平面图形D 由曲线2x y =，y x =
-与直线1y =围成，试求：围成，试求：
（1）平面图形D 的面积；的面积；
（2）平面图形D 绕x 轴旋转一周所形成的旋转体的体积．轴旋转一周所形成的旋转体的体积．
22、已知2
1
132
()(95)x
F x t t dt =
-ò
是函数()f x 的一个原函数，的一个原函数，求曲线
求曲线)(x f y =的凹凸区间与拐点．拐点．
五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）分）
23、证明：当1x >时，2
(1ln )21x x +<-．
24、设函数()f x 在[,]a b 上连续，证明：函数
2()[()()]a b
b
a
a
f x dx f x f a b x dx +=
++-ò
ò
．
江苏省2013年普通高校“专转本”统一考试
高等数学（二年级） 试卷答案
一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）分） 1、C 2、C 3、B 4、B 5、D 6、A 
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）分）
7、0 8、62
9、34 10、2 11、ln y x x cx =+ 12、11[,)22-
三、计算题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）分）
13、原式=2000
1ln(1)ln(1)1lim lim lim ln(1)2x x
x
x x x x e xe xe x xe x x x x x x
®®®+--+-++==+ 20
1
3(1)lim 22
x
x
x
x e e xe x ®++++== 14、令32
(,,)331,3,3,33x y z F x y z z xy z F y F x F z ¢¢¢=+--===-
22222233,,33133111y
x
z z F F z y y z x x y x dz dx dy
x
F z z y F z z z z ¢¢¶¶=-=-==-=-=\=+¢¢¶--¶----2222
2222223()(2)()2211(1)(1)(1)z z y y y z yz z y z x x z z x x x z z z ¶¶¶--¶¶¶¶--=====¶¶¶
--- 15、22221111cos 2sin 2sin 2sin 2sin 2cos 22222x xdx x d x x x x xdx x x xd x
==-=+òòòò 22111111sin 2cos 2cos 2sin 2cos 2sin 2222224
x x x x xdx x x x x x C =+-=+-+ò
16、令2sin ,2cos ,0,0;2,2x t dx tdt x t x t p
======，
则原式=2
22220000222cos 12cos cos 12(1)22cos 1cos 2cos 2cos
22
t t t dt dt dt dt t t
t t p p p p -===-++òòòò 222
00
201
1
tan 12222cos
2t t dt d t p
p p p p
=-=-=
-òò 17、
223232323221
2223,
(22)36x y
x y
x y
x y
z z f e
f x f e e
e
f y
y x
++
++¶¶¢¢¢¢¢¢=××=×+××+¶¶¶
18、直线方向向量12(1,1,1)(1,3,1)(4,2,2),(3,1,2),S S ®®
=-´--=-=-平面P 的法向量
12(4,2,2)(3,1,2)(6,2,10),n S S ®
®
®
=´=-´-=-在第一条直线上任取一点(1,1,1)，该点也在平
面上，所以平面方程为6(1)(2)(1)10(1)0x y z -+--+-=即3570x y z -+-=
19、由dy y dx =得111111,,ln ,,x C C C x x x dy dx dy dx y x C y e e e y e e Ce y y +===+===±=òò
，由(0)1y =得1C =,所以x
y e =，即2
12,320,1,322x
e r y y r r r y -¢¢¢-+==+==，
齐次方程的通解为212x
x
Y C e C e =+.令特解为,,x
x x
y xAe y Ae xAe *
*
¢==+，
,x x x
y Ae Ae xAe *
¢¢=++代入原方程得：,1x x
Ae e A -==-，
所以通解为212x
x
x
y Y C e C e
xe ==+-
20、原式=
33
3cos 4
cos 4
42
2
1
27cos cos (
8cos )3
3cos r
d r rdr
d d p p p q q q
q q
q
q q q
=
=-ò
ò
ò
ò
2
4
11
42
(27tan 8sin )(27tan 8sin )933443
p p p
q q =-=-=-. 四、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）分） 21、（1）1
3
1
232
0215
(2)(2)333
S y y dy y y =
+=×+=ò
（2）
2
2
2
5
2
22
10
10821[1()][1()]()
()4
2802510x
x
x
x V
x dx dx x x
p p p
p p
p p --=
--+-=+
+-=+=òò
22、252
3
3
()2(95)1810,f x x x x x x =-=-23
()3020f x x x ¢=-，13
()20200,f x x
-¢¢=-=解
得1x =，另外0x =为二导不存在的点，为二导不存在的点，通过列表分析得：通过列表分析得：在(,0),(1,)-¥+¥凸，在(0,1)凹， 拐点为(0,0),(1,8)。

五、证明题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）分）
23、令2
()21(1ln ),(1)0.f x x x f =--+=
1
()22(1ln ),(1)0.f x x f x
¢¢=-+=2
2
1(1ln )
2ln ()2
0,x x f x x
x
-+¢¢=-=
>在1x >时。

时。

()()(1)0,()()(1)0f x f x f f x f x f ¢¢¢\>=\>=单调递增，单调递增，，证毕。

，证毕。

24、
22[()]()()a b
a b
a
b
f a b x dx a b x u
f u d a b u +++-+-=+-ò
ò
令
2
2
2
()()()a b b b a b
a b
b
f u du f u du f x dx
+++=-==
òò
ò
2
2
2
[()
()]()()a b
a b a b a
a
a
f x f a b x dx
f x dx
f a b x dx +++\
+
+-=
+
+-ò
ò
ò
22
()()()a b b b
a b a
a
f x dx
f x dx
f x dx ++=
+
=
ò
ò
ò。