江苏省镇江市2016届高三上学期期中考试统测数学试卷理科含附加题(word版有答案)

江苏省镇江市2016届高三上学期期中考试统测理科
数学Ⅰ试题
一、选择题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程， 请把答案写在答题纸的指定位置上）
1.设集合}0|{},3,2,1,0{2=-==x x x A U ，则=A C U
2.从甲、乙、丙3名候选学生中选取2名作为青年志愿者，则甲被选中的概率 为
3. 若复数R m i
i
m ∈-+(12,i 是虚数单位）为实数，则=m
4.根据如图所示的伪代码，最后输出的实数a 的值为
5.在ABC ∆中，如果4:3:2sin :sin :sin =C B A , 那么=C tan
6.方程0sin lg =-x x 的解的个数是
7.函数x x f lg 2
1
)(-=
的定义域是 8.若函数)0(cos )sin()(πϕ<<+=x x x x f 是偶函数， 则ϕ的值等于
9.实系数一元二次方程02=++c bx ax ，则“0<ac ”是“该方程有实数根” 的 条件（在“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分又不必要”中选择一个合适的填写）
10.若实数y x ,满足0,0>>y x ，且)2(log log log 222y x y x +=+，则y x +2 的最小值为
11.若06254≤+⨯-x x ，则函数x x x f --=22)(的值域是
12.已知函数⎪⎩⎪
⎨⎧≥+<<=2,2220|,log |)(2x x x x x x f ，若,0c b a <<<满足)()()(c f b f a f ==，
则
)
(c f ab
的范围是 13.设),2(,ππ
βα∈，且ββααsin )cos(
sin =+，则βtan 的最小值是 14.函数)10(ln )(<<-=a a x a x f x ，若对于任意]1,1[-∈x ，不等式1)(-≤e x f
恒成立，则实数a 的取值范围是
二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．（本题满分14分）
在ABC ∆中,角C B A ,,所对应的边分别是c b a ,,. （1）若A A sin 2)4
sin(=+
π
,求A 的值；
（2）若A C B A sin 2sin sin ,2
1
cos =+=,试判断ABC ∆的形状，并说明理由.
16．（本题满分14分）
已知函数x x
x f 2log 4log )(22=.
（1）解不等式0)(>x f ;（2）当]4,1[∈x 时,求)(x f 的值域.
17．（本题满分14分）
已知R a ∈,函数ax x a x x f ++-=23)1(21
31)(.
（1）求函数)(x f 的单调区间;
（2）若1>a ,函数)(x f y =在]1,0[+a 上最大值是)1(+a f ,求实数a 的取值范围.
18．（本题满分16分）
已知函数2)4
sin(222sin )(++
-=π
x a x x f ,设x x t cos sin +=,且)4
3,4(π
π-
∈x .
（1）试将函数)(x f 表示成关于t 的函数)(t g ,并写出t 的范围; （2）若0)(≥t g 恒成立,求实数a 的取值范围;
（3）若方程0)(=x f 有四个不同的实数根,求a 的取值范围.
19．（本题满分16分）理科
广告公司为某游乐场设计某项设施的宣传画，根据该设施的外观，设计成 的平面图由半径为2m 的扇形AOB 和三角区域BCO 构成，其中A O C ,,在一条直 线上，4
π
=∠ACB ,记该设施平面图的面积为2)(m x S ，rad x AOB =∠，
其中
ππ<<x 2
.
（1）写出)(x S 关于x 的函数关系式; （2）如何设计AOB ∠,使得)(x S 有最大值?
20．（本题满分16分）
记函数x e x f =)(的图像为C ,函数k kx x g -=)(的图像记为l . （1）若直线l 是曲线C 的一条切线,求实数k 的值;
（2）当)3,1(∈x 时,图像C 恒在直线l 上方,求实数k 的取值范围; （3）若图像C 与直线l 有两个不同的交点B A ,,其横坐标分别是21,x x , 设21x x <,求证: 2121x x x x +<.
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数学Ⅱ(附加题)
21.【选做题】本题包括A, B,C,D 四小题，每小题10分，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
A.【选修4-1:几何证明选讲】(本小题满分10分)
如图，PA 是圆O 的切线，A 为切点，PO 与圆O 交于点OP AQ C B ⊥,,,垂足为Q ， 若2,4==PC PA ,求AQ 的长.
B.【选修4-2:矩阵与变换】(本小题满分10分)
已知矩阵⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=d c A 33，若矩阵A 属于特征值6的一个 特征向量为⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=111α，属于特征值1的一个特征向量为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=232α，
求矩阵A ,并写出A 的逆矩阵.
C.【选修4-4:坐标系与参数方程】(本小题满分10分) 在极坐标系中，求圆θρcos 2=的圆心到直线1)3
sin(2=+π
θρ的距离.
D.【选修4-5:不等式选讲】(本小题满分10分)
若0,0>>b a ,且ab b
a =+1
1,求33b a +的最小值.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 22．(本小题满分10分) 已知函数x e x f x 2)(12-=-.
（1）求函数)(x f 的导数)(x f '; （2）证明:当R x ∈时,0)(≥x f 恒成立.
23．(本小题满分10分) 已知数列}{n a 满足3221--=+n n n a a a ,*N n ∈,2
1
1=a .
（1）计算432,,a a a ;
（2）猜想数列的通项n a ,并用数学归纳法证明.
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参考答案
二、解答题
15.解：（1）由题意，若sin()4A A π
+=，
A A A += ……2分
即
22
A A =， ……4分 可得tan 1A =，由A (0,π)∈， ……5分 故4
A π
=
； ……7分
（2）△ABC 中，sin sin 2sin B C A +=，由正弦定理可得：2b c a +=，……9分
由1
cos 2
A =得：2221cos 22b c a A bc +-==， ……10分
故222b c a bc +-=， 又2b c a +=， ……9分 则222()33b c a bc a +-==， 故22
(
)2
b c a bc +==， ……11分 可得2()0b c -=，故b c =， ……13分 则b c a ==， 故△ABC 为正三角形. ……14分 【说明】本题是由国庆作业题改编，考查了和角公式，三角形中的边角关系、考查正余弦定理，三角变换；考查学生的字母符号处理能力、运算、书写表达能力. 16.(1)函数2
22222()log log 2(log log 4)(log 2log )4
x
f x x x x =⋅=-+ 222(lo
g )log 2,(0,)x x x =--∈+∞ ……4分 令222()(log )log 20f x x x =-->， 则2log 2x >或2log 1x <-，故4x >或1
02
x <<. ……7分 （2）若[1,4]x ∈，则20log 2x ≤≤，
2222219
()(log )log 2(log )24f x x x x =--=--， ……10分
当21log 2x =
即x =时，min 9
()4
f x =-；当2lo
g 2x =即4x =时，max ()0f x =. 故()f x 值域为9
[,0]4-. ……14分
【说明】本题是由模考题改编，考查二次型函数的性质；考查学生的转化与化归的能力，运算、书写表达能力.
17.解：3211
()(1).32
f x x a x ax =-++，定义域为R ，
2()(1)f x x a x a '=-++(1)()x x a =--. …… 2分 （1）①若1a >，令()0f x '>，得1x <或x a >，
令()0f x '<，得1x a <<； ……4分
②若1a =，则'()0f x ≥恒成立，()f x 在定义域R 上单调递增； ……5分 ③若1a <，令'()0f x >，得x a <或1x >，
令'()0f x <，得1a x <<. ……7分 综上：若1a >，()f x 单调增区间为(,1)-∞和(,)a +∞，单调减区间为(1,)a ；
若1a =，()f x 单调增区间为R ，无单调减区间；
若1a <，()f x 单调增区间为(,)a -∞和(1,)+∞，单调减区间为(,1)a .……8分 （2）由（1）知：()f x 在[0,1]上单调递增，在[1,]a 上单调递减，
在[,1]a a +上单调递增， ……10分 若函数()y f x =在[]0,1a +上最大值是()1f a +，
则必有(1)(1)f a f +≥成立， ……12分
即331111
(1)(1)(1)(1)3232
a a a a a a +-+++≥-++， 即3230a a -≤，解得：3a ≤. ……13分 故若函数()y f x =在[]0,1a +上最大值是()1f a +，则(1,3]a ∈. …… 14分 【说明】本题考查了用导数研究三次函数的单调区间,考查了分类讨论思想，考查了三次函数在给定区间最值的确定，考查了解不等式.
18.解：π
()sin 2sin()22sin cos 2(sin cos )24f x x x x x a x x =-++=-++, …… 2分
（1）因为π3π(,)44x ∈-，π
sin cos )4t x x x =+=+∈, ……3分
所以2sin 21x t =-. ……4分
从而2()g()21f x t t at ==-+,t ∈. …… 6分
（2）由g()0t ≥恒成立，可得1
2a t t ≤+在（上恒成立,
记1
()2h t t t
=+≥，当且仅当1t =时等号成立,
所以min 2(t)2a h ≤=,即1a ≤. ……10分 (3) 若方程()0f x =有四个不同的实数根，
等价于方程2210t at -+=在上有两个不同的实数根， ……12分 根据根的分布可知：
由(0)0g >，0>，得a <
……13分 由2440a ∆=->，得11a a <->或者 ……14分
又0a <<， ……15分
解得1a < ……16分 【说明】本题考查了三角恒等变换；考查恒成立问题的处理方法；考查整体思想和换元法；
考查了函数与方程思想.
19.解：(1)由已知可得1
,242AOB CBO x S lr x ∠=-=π=扇形， ……2分
在△BCO 中由正弦定理可得：
sin sin CO BO
CBO C
=
∠，所以2(sin cos )CO x x =-， ……4分 从而21
sin 2sin 2sin cos 2CBO S BO CO BOC x x x ∆=⋅⋅∠=-， ……6分
所以2()2sin 2sin cos 22sin (sin cos )2S x x x x x x x x x =-+=-+,().2x <<π
π……8分
(2) π
()2(sin 2cos2)2)24S x x x x '=-+=-+, ……10分
由3π
()0,4
S x x '==
解得， ……12分 令π3π
()0,24S x x '><<解得， ∴增区间是3(,)24ππ;
令3π
()0,π,4
S x x '<<<解得 ∴减区间是3(,)4ππ; ……14分
所以()S x 在34πx =
处取得最大值是23π
2m 2
+. ……15分 答：设计成34
π
=
AOB ∠时，该设施的平面图面积最大是23π2m 2+. ……16分
【说明】本题是原创题，考查了正弦定理、扇形的面积公式、导数的应用；考查函数思想；
考查阅读理解能力、数学建模的能力、运算能力. 20.解：（1）直线l 过定点(1,0)，()e x f x '=，
设切点坐标00(,e )x x ，00()=e x k f x '=, ……1分 所以切线l 的方程为：000e e ()x x y x x -=-， ……2分 把点(1,0)代入000e e ()x x y x x -=-，解得02x =, ……3分 所以2(2)e k f '==. ……4分 （2）由已知可得：当()1,3x ∈时，不等式e x kx k >-恒成立.
即：当()1,3x ∈时，e ()1
x k h x x <=-, ……5分
而2e (2)
()(1)x x h x x -'=-， ……6分
当(1,2)x ∈时，函数()h x 递减；当(2,3)x ∈时，函数()h x 递增, ……7分 所以2min ()(2)e h x h ==，
故()2min (2)e k h x h <==， ……8分 （3）由已知可得1212,e (1)e (1)x x k x k x =-⋅⋅⋅=-⋅⋅⋅①② ……9分 ②-①得21
2
1
211221
e e e e (),0x x x x k x x x x k x x --=-<=
>-由可得 ②×①得1221212e (1)x x k x x x x +=--+ ……10分 要证1212x x x x <+，只需证12
12122e 10x x x x x x k
+--=-< ……11分
即证2112
2
2
21e e e
x x x x k x x +⎛⎫-<= ⎪-⎝⎭
,即证12
21
2
2121e e e
,()x x x x x x x x +-<>- ……12分 只需证()12
212
21e
e e x x x x x x +-<- 只需证()21122
2
21e
e
x x x x x x ---<-，令
21
02
x x t -=>， 即证：e e 20t t t --->. ……14分 记()e e 2,()e +e 20t t t t t t t ϕϕ--'=--=->恒成立，
所以()(0)0t ϕϕ>=，故1212.x x x x <+ ……16分 【说明】本题由模考题改编，考查曲线切线的求法、考查函数的性质；考查变量代换法；考查函数思想、方程思想、等价转换思想、分析能力．
理科附加题参考答案
21A ．选修4—1：几何证明选讲 证明：连接AO ．设圆O 的半径为r ．
因为PA 是圆O 的切线，PBC 是圆O 的割线，
所以2
PA PB PC =⋅， …… 3分 因为4PA =，2PC =，
所以2
42(22)r =⨯+，解得3r =． …… 5分 所以235PO PC CO =+=+=，3AO r ==， 由PA 是圆O 的切线得PA AO ⊥，故在Rt APO V 中，
因为AQ PO ⊥，由面积法可知，11
22AQ PO AP AO ⨯⨯=⨯⨯，
即4312
55
AP AO AQ PO ⨯⨯=
==. …… 10分
（第21题A 图）
【说明】本题由模考题改编，考查圆的切割线定理，切线的性质，计算等面积转化，考查了等价转换思想、计算能力． 21B. 选修4—2：矩阵与变换
解：由矩阵A 属于特征值6的一个特征向量为α1＝11⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
可得，
33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 11⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝611⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
即6c d +=， ……3分 由矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α2＝32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
可得33c d ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 32⎡⎤⎢⎥⎣⎦＝32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即322c d -=-， ……6分 解得24c d =⎧⎨=⎩，即A ＝3324⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， ……8分
所以A 的逆矩阵是2
1321132⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦. ……10分 【说明】本题由模考题改编，考查矩阵的特征值与特征向量，考查了逆矩阵的求法，考差
了学生的运算能力．
21C. 选修4—4：坐标系与参数方程
解：将圆2cos ρθ=化为普通方程为2220x y x +-=，
圆心为(1,0)， ……4分 又2sin()13
π
ρθ+=
，即12(sin )12ρθθ+=，
10y +-=， ……8分
故所求的圆心到直线的距离d =
……10分 【说明】本题由模考题改编，考查曲线切线的极坐标方程，参数方程与直角方程的相互转化，考查直线与圆的位置关系． 21D ．选修4－5：不等式选讲 解：因为0,0a b >>
，所以
11a b + ……3分
又因为
11
a b
+2ab ≥，
当且当a b = ……6分
所以33a b +≥，
当且当a b = ……9分 所以33a b +
的最小值为 ……10分 【说明】本题由模考题改编，考查了基本不等式以及取得等号成立的条件，放缩法，考查了学生的转化与化归的能力和计算的能力． 22.解：（1）函数21()e 2x f x x -=-，定义域为R ，
21'()(21)'2x f x e x -=⨯--2122x e -=-， ……3分
（2）由题意21'()22x f x e -=-，x R ∈ ,'(),()x f x f x 当x R ∈上变化如下表：
当1
2
x =
时()f x 取得极小值也是最小值， 而1
()02
f =，
故()0f x ≥恒成立. ……10分
【说明】本题由模考题改编，考查复合函数的导数，函数的性质，函数的极值． 23．解：（1）由递推公式，得12112
2321234
232
a a a --===-⋅-， 3457
,68a a ==． ……3分
（2）猜想：21
2n n a n
-=
． ……5分 证明：①1n =时，由已知，等式成立． ……6分 ②设*()n k k =∈N 时，等式成立．即21
2k k a k
-=
． ……7分
所以121
2
2214212(1)122123426222(1)
232k k k k a k k k k k a k a k k k k k
+-----++-=====----++⋅-， 所以1n k =+时，等式成立． ……9分
根据①②可知，对任意*n ∈N ，等式成立．
即通项21
2n n a n
-=． ……10分 【说明】本题由模考题改编，考查数学归纳法，对格式的把握，猜想与证明的能力，等价转换思想、分析能力．。