中考数学二轮复习专题二解答重难点题型突破题型六二次函数与几何图形综合题试题

题型六 二次函数与几何图形综合题
类型一 二次函数与图形判定
1．(2017·陕西)在同一直角坐标系中，抛物线C 1：y ＝ax 2－2x －3与抛物线C 2：y ＝x 2
＋mx ＋n 关于y 轴对称，C 2与x 轴交于A 、B 两点，其中点A 在点B 的左侧．
(1)求抛物线C 1，C 2的函数表达式； (2)求A 、B 两点的坐标；
(3)在抛物线C 1上是否存在一点P ，在抛物线C 2上是否存在一点Q ，使得以AB 为边，且以A 、B 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出P 、Q 两点的坐标；若不存在，请说明理由.
2．(2017·随州)在平面直角坐标系中，我们定义直线y ＝ax －a 为抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋c(a 、b 、c 为常数，a ≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y 轴上的三角形为其“梦想三角形”． 已知抛物线y ＝－233x 2－43
3
x ＋23与其“梦想直线”交于A 、B 两点(点A 在点B
的左侧)，与x 轴负半轴交于点C.
(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的解析式为__________，点A 的坐标为__________，点B 的坐标为__________；
(2)如图，点M 为线段CB 上一动点，将△ACM 以AM 所在直线为对称轴翻折，点C 的对称点为N ，若△AMN 为该抛物线的“梦想三角形”，求点N 的坐标；
(3)当点E 在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F ，使得以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E 、F 的坐标；
若不存在，请说明理由．
(2017·许昌模拟)已知：如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，4)，与x轴交于点A、B，点A的坐标为(4，0)．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ.当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；
(3)若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为(2，0)．问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
4．(2016·河南)如图①，直线y ＝－4
3x ＋n 交x 轴于点A ，交y 轴于点C(0，4)，抛物
线y ＝23x 2
＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)．点P 为抛物线上一个动点，过点P 作x
轴的垂线PD ，过点B 作BD⊥PD 于点D ，连接PB ，设点P 的横坐标为m.
(1)求抛物线的解析式；
(2)当△BDP 为等腰直角三角形时，求线段PD 的长；
(3)如图②，将△BDP 绕点B 逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′＝∠OAC，当点P 的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P 的坐标.
类型二 二次函数与图形面积
1．(2017·盐城)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝1
2x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴
交于点C ，抛物线y ＝－12
x 2
＋bx ＋c 经过A 、C 两点，与x 轴的另一交点为点B.
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D 为直线AC 上方抛物线上一动点；
①连接BC 、CD ，设直线BD 交线段AC 于点E ，△CDE 的面积为S 1，△BCE 的面积为S 2，求S 1
S 2
的最大值； ②过点D 作DF⊥AC，垂足为点F ，连接CD ，是否存在点D ，使得△CDF 中的某个角恰好等于∠BAC 的2倍？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．
2．(2017·安顺)如图甲，直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C
两点的抛物线y ＝x 2
＋bx ＋c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C ，P ，M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由；
(3)当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值(图乙、丙供画图探究).
3．(2017·周口模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于点A(1，0)和点B，与y 轴交于点C，且其对称轴l为x＝－1，点P是抛物线上B，C之间的一个动点(点P不与点B，C重合)．
(1)直接写出抛物线的解析式；
(2)小唐探究点P的位置时发现：当动点N在对称轴l上时，存在PB⊥NB，且PB＝NB的关系，请求出点P的坐标；
(3)是否存在点P使得四边形PBAC的面积最大？若存在，请求出四边形PBAC面积的最大值；若不存在，请说明理由.
4．(2017·濮阳模拟)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx－3的对称轴为x＝1，与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C，一次函数y＝x＋1经过A，且与y轴交于点D.
(1)求该抛物线的解析式．
(2)如图②，点P为抛物线B、C两点间部分上的任意一点(不含B，C两点)，设点P的横坐标为t，设四边形DCPB的面积为S，求出S与t的函数关系式，并确定t为何值时，S取最大值？最大值是多少？
(3)如图③，将△ODB沿直线y＝x＋1平移得到△O′D′B′，设O′B′与抛物线交于点E，连接ED′，若ED′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分，请直接写出此时平移的
距离．
类型三二次函数与线段问题
1．(2017·南宁)如图，已知抛物线y＝ax2－23ax－9a与坐标轴交于A，B，C三点，其中C(0，3)，∠BAC的平分线AE交y轴于点D，交BC于点E，过点D的直线l与射线AC，AB分别交于点M，N.
(1)直接写出a的值、点A的坐标及抛物线的对称轴；
(2)点P为抛物线的对称轴上一动点，若△PAD为等腰三角形，求出点P的坐标；
(3)证明：当直线l绕点D旋转时，1
AM ＋
1
AN
均为定值，并求出该定值．
2．(2017·焦作模拟)如图①，直线y ＝3
4x ＋m 与x 轴、y 轴分别交于点A 和点B(0，－
1)，抛物线y ＝12
x 2
＋bx ＋c 经过点B ，点C 的横坐标为4.
(1)请直接写出抛物线的解析式；
(2)如图②，点D 在抛物线上，DE ∥y 轴交直线AB 于点E ，且四边形DFEG 为矩形，设点D 的横坐标为x(0＜x ＜4)，矩形DFEG 的周长为l ，求l 与x 的函数关系式以及l 的最大值；
(3)将△AOB 绕平面内某点M 旋转90°或180°，得到△A 1O 1B 1，点A 、O 、B 的对应点分别是点A 1、O 1、B 1.若△A 1O 1B 1的两个顶点恰好落在抛物线上，那么我们就称这样的点为“落点”，请直接写出“落点”的个数和旋转180°时点A 1的横坐标.
3．(2017·武汉)已知点A(－1，1)，B(4，6)在抛物线y＝ax2＋bx上．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图①，点F的坐标为(0，m)(m＞2)，直线AF交抛物线于另一点G，过点G作x轴的垂线，垂足为H.设抛物线与x轴的正半轴交于点E，连接FH、AE，求证：FH∥AE；
(3)如图②，直线AB分别交x轴、y轴于C、D两点．点P从点C出发，沿射线CD方向匀速运动，速度为每秒2个单位长度；同时点Q从原点O出发，沿x轴正方向匀速运动，速度为每秒1个单位长度．点M是直线PQ与抛物线的一个交点，当运动到t秒时，QM＝2PM，直接写出t的值.
类型四二次函数与三角形相似
1．(2016·南宁)如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1，1)，且与直线y＝x－2交
于B，C两点．
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)求证：△ABC是直角三角形；
(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由.
2．(2017·平顶山模拟)如图，抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋1与直线y ＝－ax ＋c 相交于坐标轴上点A(－3，0)，C(0，1)两点．
(1)直线的表达式为__________；抛物线的表达式为__________；
(2)D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作DE 垂直x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，求线段DF 长度的最大值，并求此时点D 的坐标；
(3)P 为抛物线上一动点，且P 在第四象限内，过点P 作PN 垂直x 轴于点N ，使得以P 、A 、N 为顶点的三角形与△ACO 相似，请直接写出点P 的坐标.
3．如图①，二次函数y ＝ax 2
＋bx ＋33经过A(3，0)，G(－1，0)两点． (1)求这个二次函数的解析式；
(2)若点M 是抛物线在第一象限图象上的一点，求△ABM 面积的最大值；
(3)抛物线的对称轴交x 轴于点P ，过点E(0，23
3
)作x 轴的平行线，交AB 于点F ，是
否存在着点Q ，使得△FEQ∽△BEP？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.
4．(2017·海南)抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)．
(1)求该抛物线所对应的函数解析式；
(2)该抛物线与直线y＝错误!x＋3相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x 轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N.
①连接PC、PD，如图①，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；
②连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图②，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM
相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由.
题型六 第23题二次函数与几何图形综合题
类型一 二次函数与图形判定
1．解：(1)∵C 1、C 2关于y 轴对称，
∴C 1与C 2的交点一定在y 轴上，且C 1与C 2的形状、大小均相同，∴a ＝1，n ＝－3， ∴C 1的对称轴为x ＝1，
∴C 2的对称轴为x ＝－1，∴m ＝2，
∴C 1的函数表示式为y ＝x 2－2x －3，C 2的函数表达式为y ＝x 2
＋2x －3；
(2)在C 2的函数表达式为y ＝x 2＋2x －3中，令y ＝0可得x 2
＋2x －3＝0，解得x ＝－3或x ＝1，
∴A(－3，0)，B(1，0)； (3)存在．
设P(a ，b)，则Q(a ＋4，b)或(a －4，b)， ①当Q(a ＋4，b)时，得： a 2－2a －3＝(a ＋4)2
＋2(a ＋4)－3， 解得a ＝－2，
∴b ＝a 2
－2a －3＝4＋4－3＝5， ∴P 1(－2，5)，Q 1(2，5)． ②当Q(a －4，b)时，得： a 2－2a －3＝(a －4)2
＋2(a －4)－3， 解得a ＝2.
∴b ＝4－4－3＝－3，
∴P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3)．
综上所述，所求点的坐标为P 1(－2，5)，Q 1(2，5)； P 2(2，－3)，Q 2(－2，－3).
2．解：(1)∵抛物线y ＝－
233x 2－43
3
x ＋23， ∴其梦想直线的解析式为y ＝－233x ＋23
3
，
联立梦想直线与抛物线解析式可得⎩⎪⎨
⎪⎧y ＝－233x ＋233
y ＝－233x 2
－433
x ＋23
，解得⎩⎨⎧x ＝－2y ＝23 或⎩⎪⎨⎪
⎧x ＝1y ＝0
，
∴A(－2，23)，B(1，0)；
(2)当点N 在y 轴上时，△AMN 为梦想三角形， 如解图①，过A 作AD ⊥y 轴于点D ，则AD ＝2，
在y ＝－233x 2－43
3x ＋23中，令y ＝0可求得x ＝－3或x ＝1，
∴C(－3，0)，且A(－2，23)， ∴AC ＝（－2＋3）2
＋（23）2
＝13，
由翻折的性质可知AN ＝AC ＝13，
在Rt △AND 中，由勾股定理可得DN ＝AN 2－AD 2
＝13－4＝3，
∵OD ＝23，∴ON ＝23－3或ON ＝23＋3，
当ON ＝23＋3时，则MN ＞OD ＞CM ，与MN ＝CM 矛盾，不合题意， ∴N 点坐标为(0，23－3)；
当M 点在y 轴上时，则M 与O 重合，过N 作NP ⊥x 轴于点P ，如解图②，
在Rt △AMD 中，AD ＝2，OD ＝23，∴tan ∠DAM ＝MD
AD ＝3，∴∠DAM ＝60°，
∵AD ∥x 轴，∴∠AMC ＝∠DAM ＝60°， 又由折叠可知∠NMA ＝∠AMC ＝60°， ∴∠NMP ＝60°，且MN ＝CM ＝3， ∴MP ＝12MN ＝32，NP ＝32MN ＝332，
∴此时N 点坐标为(32，33
2
)；
综上可知N 点坐标为(0，23－3)或(32，33
2
)；
(3)①当AC 为平行四边形的边时，如解图③，过F 作对称轴的垂线FH ，过A 作AK ⊥x 轴于点K ，
则有AC ∥EF 且AC ＝EF ，∴∠ACK ＝∠EFH ，
在△ACK 和△EFH 中，⎩⎪⎨⎪
⎧∠ACK ＝∠EFH ∠AKC ＝∠EHF AC ＝EF ，
∴△ACK ≌△EFH(AAS )，
∴FH ＝CK ＝1，HE ＝AK ＝23，
∵抛物线对称轴为x ＝－1，∴F 点的横坐标为0或－2，
∵点F 在直线AB 上，∴当F 点横坐标为0时，则F(0，23
3)，此时点E 在直线AB 下方，
∴E 到x 轴的距离为EH －OF ＝23－233＝433，即E 点纵坐标为－43
3
，∴E(－1，－
43
3
)； 当F 点的横坐标为－2时，则F 与A 重合，不合题意，舍去； ②当AC 为平行四边形的对角线时，
∵C(－3，0)，且A(－2，23)，
∴线段AC 的中点坐标为(－5
2
，3)，
设E(－1，t)，F(x ，y)，则x －1＝2×(－5
2)，y ＋t ＝23，
∴x ＝－4，y ＝23－t ，
代入直线AB 解析式可得23－t ＝－233×(－4)＋233，解得t ＝－43
3，
∴E(－1，－433)，F(－4，103
3
)；
综上可知存在满足条件的点F ，此时E(－1，－433)、F(0，233)或E(－1，－43
3)、
F(－4，103
3
).
3．解：(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a －8a ＋c 4＝c ，解得⎩⎪
⎨
⎪⎧a ＝－1
2c ＝4
， ∴所求抛物线的解析式为y ＝－12
x 2
＋x ＋4；
(2) 设点Q 的坐标为(m ，0)，如解图①，过点E 作EG ⊥x 轴于点G. 由－12x 2
＋x ＋4＝0，得x 1＝－2，x 2＝4，
∴点B 的坐标为(－2，0)，∴AB ＝6，BQ ＝m ＋2，
∵QE ∥AC ，∴△BQE ∽△BAC ，∴EG CO ＝BQ BA ，即EG 4＝m ＋26，∴EG ＝2m ＋4
3
，
∴S △CQE ＝S △CBQ －S △EBQ ＝12B Q·CO－12BQ·EG＝12(m ＋2)(4－2m ＋43)＝－13m 2＋23m ＋83＝－1
3(m
－1)2
＋3，
又∵－2≤m ≤4，
∴当m ＝1时，S △CQE 有最大值3，此时Q(1，0)；
图① 图② (3)存在．在△ODF 中． (ⅰ)若DO ＝DF ，
∵A(4，0)，D(2，0)，∴AD ＝OD ＝DF ＝2，
又∵在Rt △AOC 中，OA ＝OC ＝4，∴∠OAC ＝45°，
∴∠DFA ＝∠OAC ＝45°，
∴∠ADF ＝90°，此时，点F 的坐标为(2，2)， 由－12
x 2
＋x ＋4＝2，
得x 1＝1＋5，x 2＝1－5，此时，点P 的坐标为P(1＋5，2)或P(1－5，2)； (ⅱ)若FO ＝FD ，如解图②，过点F 作FM ⊥x 轴于点M ， 由等腰三角形的性质得：OM ＝MD ＝1，∴AM ＝3， ∴在等腰直角△AMF 中，MF ＝AM ＝3，∴F(1，3)， 由－12x 2
＋x ＋4＝3，得x 1＝1＋3，x 2＝1－3，
此时，点P 的坐标为：P(1＋3，3)或P(1－3，3)； (ⅲ)若OD ＝OF ，
∵OA ＝OC ＝4，且∠AOC ＝90°，
∴AC ＝42，∴点O 到AC 的距离为22，而OF ＝OD ＝2＜22，与OF ≥22矛盾， ∴AC 上不存在点使得OF ＝OD ＝2，
此时，不存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形． 综上所述，存在这样的直线l ，使得△ODF 是等腰三角形．
所求点P 的坐标为(1＋5，2)或(1－5，2)或(1＋3，3)或(1－3，3).
4．解：(1)∵点C(0，4)在直线y ＝－4
3x ＋n 上，
∴n ＝4，∴y ＝－4
3x ＋4，
令y ＝0，解得x ＝3，∴A(3，0)，
∵抛物线y ＝23x 2
＋bx ＋c 经过点A ，交y 轴于点B(0，－2)，∴c ＝－2，6＋3b －2＝0，
解得b ＝－4
3
，
∴抛物线的解析式为y ＝23x 2－4
3x －2；
(2)∵点P 的横坐标为m ，且点P 在抛物线上， ∴P(m ，23m 2－4
3
m －2)，
∵PD ⊥x 轴，BD ⊥PD ，∴点D 坐标为(m ，－2)， ∴|BD|＝|m|，|PD|＝|23m 2－4
3m －2＋2|，
当△BDP 为等腰直角三角形时，PD ＝BD ， ∴|m|＝|23m 2－43m －2＋2|＝|23m 2－4
3
m|.
∴m 2
＝(23m 2－43m)2，解得：m 1＝0(舍去)，m 2＝72，m 3＝12，
∴当△BDP 为等腰直角三角形时，线段PD 的长为72或1
2；
(3)∵∠PBP′＝∠OAC ，OA ＝3，OC ＝4，∴AC ＝5，
∴sin ∠PBP ′＝45，cos ∠PBP ′＝3
5
，
①当点P′落在x 轴上时，如解图①，过点D′作D′N⊥x 轴，垂足为N ，交BD 于点M ，
∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，
由旋转知，P ′D ′＝PD ＝23m 2－4
3
m ，
在Rt △P ′D ′N 中，cos ∠ND ′P ′＝ND′P′D′＝cos ∠PBP ′＝3
5，
∴ND ′＝35(23m 2－4
3
m)，
在Rt △BD ′M 中，BD ′＝－m ，sin ∠DBD ′＝D′M BD′＝sin ∠PBP ′＝4
5，
∴D ′M ＝－4
5m ，∴ND ′－MD′＝2，
∴35(23m 2－43m)－(－4
5
m)＝2， 解得m ＝5(舍去)或m ＝－5，如解图②，
同①的方法得，ND ′＝35(23m 2－43m)，MD ′＝4
5m ，
ND ′＋MD′＝2， ∴35(23m 2－43m)＋4
5m ＝2， ∴m ＝5或m ＝－5(舍去)，
∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43
)，
②当点P′落在y 轴上时，如解图③，
过点D′作D′M⊥x 轴，交BD 于M ，过点P′作P′N⊥y 轴，交MD′的延长线于点N ， ∴∠DBD ′＝∠ND′P′＝∠PBP′，
同①的方法得：P′N＝45(23m 2－43m)，BM ＝3
5m ，
∵P ′N ＝BM ，
∴45(23m 2－43m)＝3
5m ， 解得m ＝25
8或m ＝0(舍去)，
∴P(258，1132
)，
∴P(－5，45＋43)或P(5，－45＋43)或P(258，11
32).
类型二 二次函数与图形面积
1．解：(1)根据题意得A(－4，0)，C(0，2)， ∵抛物线y ＝－12x 2
＋bx ＋c 经过A 、C 两点，
∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝－12×16－4b ＋c 2＝c ， 解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－32c ＝2， ∴y ＝－12x 2－3
2
x ＋2；
(2)①令y ＝0，∴－12x 2－3
2
x ＋2＝0，
解得x 1＝－4，x 2＝1，∴B(1，0)，
如解图①，过D 作DM ∥y 轴交AC 于M ，过B 作BN ⊥x 轴交AC 于N ， ∴DM ∥BN ，∴△DME ∽△BNE ，∴S 1S 2＝DE BE ＝DM
BN ，
设D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴M(a ，1
2a ＋2)，
∵B(1，0)，∴N(1，52)，∴S 1S 2＝DM
BN ＝－12a 2
－2a 5
2＝
－15(a ＋2)2
＋45
； ∴当a ＝－2时，S 1S 2有最大值，最大值是45；
②∵A(－4，0)，B(1，0)，C(0，2)， ∴AC ＝25，BC ＝5，AB ＝5，
∵AC 2＋BC 2＝AB 2
，
∴△ABC 是以∠ACB 为直角的直角三角形，取AB 的中点P ，∴P(－3
2，0)，
∴PA ＝PC ＝PB ＝5
2，∴∠CPO ＝2∠BAC ，
∴tan ∠CPO ＝tan (2∠BAC)＝4
3
，
如解图②，过D 作x 轴的平行线交y 轴于R ，交AC 的延长线于G ， 情况一：∠DCF ＝2∠BAC ＝∠DGC ＋∠CDG ，∴∠CDG ＝∠BAC ，
∴tan ∠CDG ＝tan ∠BAC ＝12，即RC DR ＝1
2
，
令D(a ，－12a 2－32a ＋2)，∴DR ＝－a ，RC ＝－12a 2－3
2a ，
∴－12a 2－3
2a －a ＝12
，
解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－2， ∴x D ＝－2，
情况二：∠FDC ＝2∠BAC ， ∴tan ∠FDC ＝4
3
，
设FC ＝4k ，∴DF ＝3k ，DC ＝5k ， ∵tan ∠DGC ＝3k FG ＝1
2，∴FG ＝6k ，
∴CG ＝2k ，DG ＝35k ，∴RC ＝255k ，RG ＝45
5
k ， DR ＝35k －455k ＝115
5
k ，
∴DR RC ＝1155k 255k ＝－a －12a 2－32a ，解得a 1＝0(舍去)，a 2＝－29
11
， ∴点D 的横坐标为－2或－29
11
.
2．解：(1)∵直线y ＝－x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ， ∴B(3，0)，C(0，3)，
把B 、C 坐标代入抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧9＋3b ＋c ＝0
c ＝3，
解得⎩
⎪⎨⎪
⎧b ＝－4c ＝3，
∴抛物线的解析式为y ＝x 2
－4x ＋3；
(2)∵y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2
－1， ∴抛物线对称轴为x ＝2，P(2，－1)， 设M(2，t)，且C(0，3)，
∴MC ＝22＋（t －3）2＝t 2－6t ＋13，MP ＝|t ＋1|，PC ＝22＋（－1－3）2
＝25， ∵△CPM 为等腰三角形，
∴有MC ＝MP 、MC ＝PC 和MP ＝PC 三种情况，
①当MC ＝MP 时，则有t 2
－6t ＋13＝|t ＋1|，解得t ＝32，此时M(2，32
)；
②当MC ＝PC 时，则有t 2
－6t ＋13＝25，解得t ＝－1(与P 点重合，舍去)或t ＝7，此
时M(2，7)；
③当MP ＝PC 时，则有|t ＋1|＝25，解得t ＝－1＋25或t ＝－1－25，此时M(2，－1＋25)或(2，－1－25)；
综上可知存在满足条件的点M ，其坐标为(2，3
2)或(2，7)或(2，－1＋25)或(2，－1－
25)；
(3)如解图，在0＜x ＜3对应的抛物线上任取一点E ，过E 作EF ⊥x 轴，交BC 于点F ，交x 轴于点D ，
设E(x ，x 2
－4x ＋3)，则F(x ，－x ＋3)， ∵0＜x ＜3，
∴EF ＝－x ＋3－(x 2－4x ＋3)＝－x 2
＋3x ，
∴S △CBE ＝S △EFC ＋S △EFB ＝12EF·OD＋12EF·BD＝12EF·OB＝12×3(－x 2
＋3x)＝－32(x －32)2＋278，
∴当x ＝32时，△CBE 的面积最大，此时E 点坐标为(32，－3
4)，
即当E 点坐标为(32，－3
4)时，△CBE 的面积最大.
3．解：(1)∵A(1，0)，对称轴l 为x ＝－1，∴B(－3，0)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b －3＝09a －3b －3＝0，解得⎩
⎪⎨⎪
⎧a ＝1b ＝2， ∴抛物线的解析式为y ＝x 2
＋2x －3；
(2)如解图①，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，
设抛物线对称轴l 交x 轴于点Q.
∵PB ⊥NB ，∴∠PBN ＝90°， ∴∠PBM ＋∠NBQ ＝90°.
∵∠PMB ＝90°，∴∠PBM ＋∠BPM ＝90°， ∴∠BPM ＝∠NBQ.
又∵∠BMP ＝∠BQN ＝90°，PB ＝NB ，∴△BPM ≌△NBQ ，∴PM ＝BQ.
∵抛物线y ＝x 2
＋2x －3与x 轴交于点A(1，0)和点B ，且对称轴为x ＝－1， ∴点B 的坐标为(－3，0)，点Q 的坐标为(－1，0)， ∴BQ ＝2，∴PM ＝BQ ＝2.
∵点P 是抛物线y ＝x 2
＋2x －3上B 、C 之间的一个动点， ∴结合图象可知点P 的纵坐标为－2，
将y ＝－2代入y ＝x 2＋2x －3，得－2＝x 2
＋2x －3，
解得x 1＝－1－2，x 2＝－1＋2(舍去)， ∴此时点P 的坐标为(－1－2，－2)； (3) 存在．
如解图②，连接AC ，PC.
可设点P 的坐标为(x ，y)(－3＜x ＜0)，则y ＝x 2
＋2x －3， ∵点A(1，0)，∴OA ＝1.
∵点C 是抛物线与y 轴的交点，∴令x ＝0，得y ＝－3，即点C(0，－3)，∴OC ＝3. 由(2)可知S
四边形PBAC
＝S △BPM ＋S
四边形PMOC
＋S △AOC ＝12BM·PM＋12(PM ＋OC)·OM＋12OA·OC＝1
2
(x
＋3)(－y)＋12(－y ＋3)(－x)＋12×1×3＝－32y －32x ＋3
2
，
将y ＝x 2
＋2x －3代入可得S 四边形PBAC ＝－32(x 2＋2x －3)－32x ＋32＝－32(x ＋32)2＋758.
∵－3
2
＜0，－3＜x ＜0，
∴当x ＝－32时，S 四边形PBAC 有最大值758，此时，y ＝x 2
＋2x －3＝－154
.
∴当点P 的坐标为(－32，－154)时，四边形PBAC 的面积最大，最大值为75
8.
4．解：(1)把y ＝0代入直线的解析式得x ＋1＝0，解得x ＝－1，∴A(－1，0)．
∵抛物线的对称轴为x ＝1，∴B 的坐标为(3，0)．
将x ＝0代入抛物线的解析式得y ＝－3，∴C(0，－3)．
设抛物线的解析式为y ＝a(x ＋1)(x －3)，将C(0，－3)代入得－3a ＝－3，解得a ＝1，
∴抛物线的解析式为y ＝(x ＋1)(x －3)＝x 2
－2x －3； (2)如解图①，连接OP.
将x ＝0代入直线AD 的解析式得y ＝1，∴OD ＝1.
由题意可知P(t ，t 2
－2t －3)． ∵S 四边形DCPB ＝S △ODB ＋S △OBP ＋S △OCP ，
∴S ＝12×3×1＋12×3×(－t 2
＋2t ＋3)＋12×3×t ，整理得S ＝－32t 2＋92t ＋6，
配方得：S ＝－32(t －32)2＋758
，
∴当t ＝32时，S 取得最大值，最大值为75
8
；
(3)如解图②，设点D′的坐标为(a ，a ＋1)，O ′(a ，a)．
当△D′O′E 的面积∶△D′EB′的面积＝1∶2时，则O′E∶EB ′＝1∶2. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝1， ∴E(a ＋1，a)．
将点E 的坐标代入抛物线的解析式得(a ＋1)2－2(a ＋1)－3＝a ，整理得：a 2
－a －4＝0，解得a ＝1＋172或a ＝1－17
2
，
∴O ′的坐标为(1＋172，1＋172)或(1－172，1－17
2)，
∴OO ′＝
2＋342或OO′＝34－22
， ∴△DOB 平移的距离为
2＋342或34－2
2
， 当△D′O′E 的面积∶△D ′EB ′的面积＝2∶1时，则O′E∶EB ′＝2∶1. ∵O ′B ′＝OB ＝3，∴O ′E ＝2，∴E(a ＋2，a)．
将点E 的坐标代入抛物线的解析式得：(a ＋2)2－2(a ＋2)－3＝a ，整理得：a 2
＋a －3＝0，解得a ＝－1＋132或a ＝－1－13
2
.
∴O ′的坐标为(－1＋132，－1＋132)或(－1－132，－1－13
2)．
∴OO′＝－2＋262或OO′＝2＋26
2.
∴△DOB 平移的距离为－2＋262或2＋26
2.
综上所述，当△D′O′B′沿DA 方向平移2＋342或2＋26
2
单位长度，或沿AD 方向平移
34－22或－2＋26
2
个单位长度时，ED ′恰好将△O′D′B′的面积分为1∶2两部分. 类型三 二次函数与线段问题
1．(1)解：∵C(0，3)，∴－9a ＝3，解得a ＝－1
3.
令y ＝0，得ax 2
－23ax －9a ＝0，
∵a ≠0，∴x 2
－23x －9＝0，解得x ＝－3或x ＝3 3. ∴点A 的坐标为(－3，0)，点B 的坐标为(33，0)， ∴抛物线的对称轴为x ＝3； (2)解：∵OA ＝3，OC ＝3，
∴tan ∠CAO ＝3，∴∠CAO ＝60°.
∵AE 为∠BAC 的平分线，∴∠DAO ＝30°， ∴DO ＝
3
3
AO ＝1，∴点D 的坐标为(0，1)， 设点P 的坐标为(3，a)．
∴AD 2＝4，AP 2＝12＋a 2，DP 2＝3＋(a －1)2
.
当AD ＝PA 时，4＝12＋a 2
，方程无解．
当AD ＝DP 时，4＝3＋(a －1)2
，解得a ＝0或a ＝2， ∴点P 的坐标为(3，0)或(3，2)．
当AP ＝DP 时，12＋a 2＝3＋(a －1)2
，解得a ＝－4.
∴点P 的坐标为(3，－4)．
综上所述，点P 的坐标为(3，0)或(3，－4)或(3，2);
(3)证明：设直线AC 的解析式为y ＝mx ＋3，将点A 的坐标代入得－3m ＋3＝0，解得m ＝3，
∴直线AC 的解析式为y ＝3x ＋3. 设直线MN 的解析式为y ＝kx ＋1.
把y ＝0代入y ＝kx ＋1，得kx ＋1＝0，解得：x ＝－1
k ，
∴点N 的坐标为(－1k ，0)，∴AN ＝－1k ＋3＝3k －1
k
.
将y ＝3x ＋3与y ＝kx ＋1联立，解得x ＝2
k －3
，
∴点M 的横坐标为2
k －3
.
如解图，过点M 作MG ⊥x 轴，垂足为G.则AG ＝2
k －3
＋ 3.
∵∠MAG ＝60°，∠AGM ＝90°， ∴AM ＝2AG ＝4k －3＋23＝23k －2
k －3
.
∴1AM ＋1AN ＝k －323k －2＋k 3k －1＝k －323k －2＋2k 23k －2＝3k －323k －2＝3（3k －1）2（3k －1）＝3
2. 2．解：(1)∵直线l ：y ＝3
4x ＋m 经过点B(0，－1)，∴m ＝－1，
∴直线l 的解析式为y ＝3
4
x －1，
∵直线l ：y ＝3
4
x －1经过点C ，且点C 的横坐标为4，
∴y ＝3
4
×4－1＝2，
∵抛物线y ＝12x 2
＋bx ＋c 经过点C(4，2)和点B(0，－1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧12×42＋4b ＋c ＝2c ＝－1，解得⎩⎪⎨
⎪⎧b ＝－
54c ＝－1， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－5
4x －1；
(2)令y ＝0，则34x －1＝0，解得x ＝4
3，
∴点A 的坐标为(43，0)，∴OA ＝4
3，
在Rt △OAB 中，OB ＝1，∴AB ＝OA 2
＋OB 2
＝（43）2＋12＝53
， ∵DE ∥y 轴，∴∠ABO ＝∠DEF ，
在矩形DFEG 中，EF ＝DE·cos ∠DEF ＝DE·OB AB ＝3
5DE ，
DF ＝DE·sin ∠DEF ＝DE·OA AB ＝4
5DE ，
∴l ＝2(DF ＋EF)＝2×(45＋35)DE ＝14
5DE ，
∵点D 的横坐标为t(0＜t ＜4)， ∴D(t ，12t 2－54t －1)，E(t ，3
4t －1)，
∴DE ＝(34t －1)－(12t 2－54t －1)＝－12t 2
＋2t ，
∴l ＝145×(－12t 2＋2t)＝－75t 2＋28
5t ，
∵l ＝－75(t －2)2
＋285，且－75＜0，
∴当t ＝2时，l 有最大值28
5
；
(3)“落点”的个数有4个，如解图①，解图②，解图③，解图④所示．
如解图③，设A 1的横坐标为m ，则O 1的横坐标为m ＋4
3，
∴12m 2－54m －1＝12(m ＋43)2－54(m ＋4
3)－1， 解得m ＝712
，
如解图④，设A 1的横坐标为m ，则B 1的横坐标为m ＋4
3，B 1的纵坐标比A 1的纵坐标大1，
∴12m 2－54m －1＋1＝12(m ＋43)2－54(m ＋43)－1，解得m ＝43， ∴旋转180°时点A 1的横坐标为712或4
3
.
3．(1)解：将点A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝ax 2
＋bx 中，
得⎩
⎪⎨⎪⎧a －b ＝1
16a ＋4b ＝6，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝12b ＝－
12
， ∴抛物线的解析式为y ＝12x 2－1
2
x ；
(2)证明：设直线AF 的解析式为y ＝kx ＋m ，
将点A(－1，1)代入y ＝kx ＋m 中，即－k ＋m ＝1， ∴k ＝m －1，
∴直线AF 的解析式为y ＝(m －1)x ＋m. 联立直线AF 和抛物线解析式成方程组， ⎩⎪⎨⎪⎧y ＝（m －1）x ＋m y ＝12
x 2－12x ，解得⎩⎪⎨⎪
⎧x 1＝－1y 1＝1，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2m y 2
＝2m 2
－m ， ∴点G 的坐标为(2m ，2m 2
－m)．
∵GH ⊥x 轴，∴点H 的坐标为(2m ，0)． ∵抛物线的解析式为y ＝12x 2－12x ＝1
2x(x －1)，
∴点E 的坐标为(1，0)．
设直线AE 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，
将A(－1，1)，E(1，0)代入y ＝k 1
x ＋b 1
中，得⎩
⎪⎨⎪⎧－k 1
＋b 1
＝1
k 1
＋b 1
＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 1
＝－12b 1
＝12
，
∴直线AE 的解析式为y ＝－12x ＋1
2.
设直线FH 的解析式为y ＝k 2x ＋b 2，
将F(0，m)、H(2m ，0)代入y ＝k 2x ＋b 2中，得⎩⎪⎨⎪⎧b 2＝m 2mk 2＋b 2＝0，解得：⎩⎪
⎨
⎪⎧k 2＝－1
2b 2＝m
，
∴直线FH 的解析式为y ＝－1
2
x ＋m.∴FH ∥AE ；
(3)解：设直线AB 的解析式为y ＝k 0x ＋b 0，将A(－1，1)，B(4，6)代入y ＝k 0x ＋b 0中，
⎩⎪⎨⎪⎧－k 0＋b 0＝14k 0＋b 0＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 0＝1b 0＝2
， ∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋2.
当运动时间为t 秒时，点P 的坐标为(t －2，t)，点Q 的坐标为(t ，0)．
当点M 在线段PQ 上时，过点P 作PP′⊥x 轴于点P′，过点M 作MM′⊥x 轴于点M′，则△PQP′∽△MQM′，如解图所示．
∵QM ＝2PM ， ∴
QM′QP′＝MM′PP′＝2
3
， ∴QM ′＝43，MM ′＝2
3t ，
∴点M 的坐标为(t －43，2
3t)，
又∵点M 在抛物线y ＝12x 2－1
2x 上，
∴23t ＝12(t －43)2－12(t －4
3
)， 解得t ＝15±1136
，
当点M 在线段QP 的延长线上时，
同理可得出点M 的坐标为(t －4，2t)， ∵点M 在抛物线y ＝12x 2－1
2x 上，
∴2t ＝12×(t －4)2
－12(t －4)，
解得t ＝13±89
2
.
综上所述：当运动时间为15－1136秒、15＋1136秒、13－892秒或13＋89
2
秒时，QM ＝
2PM.
类型四 二次函数与三角形相似 1．(1)解：∵顶点坐标为(1，1)，
∴设抛物线解析式为y ＝a(x －1)2
＋1，
又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2
＋1，解得a ＝－1，
∴抛物线的解析式为y ＝－(x －1)2＋1，即y ＝－x 2
＋2x ，
联立抛物线和直线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2
＋2x
y ＝x －2，
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1
y ＝－3
，
∴B(2，0)，C(－1，－3)；
(2)证明：如解图，分别过A 、C 两点作x 轴的垂线，交x 轴于D 、E 两点， 则AD ＝OD ＝BD ＝1，BE ＝OB ＋OE ＝2＋1＝3，EC ＝3， ∴∠ABO ＝∠CBO ＝45°，即∠ABC ＝90°， ∴△ABC 是直角三角形；
(3)解：假设存在满足条件的点N ，设N(x ，0)，则M(x ，－x 2
＋2x)，
∴ON ＝|x|，MN ＝|－x 2
＋2x|，
由(2)在Rt △ABD 和Rt △CEB 中，可分别求得AB ＝2，BC ＝32， ∵MN ⊥x 轴于点N
∴∠MNO ＝∠ABC ＝90°，
∴当△MNO 和△ABC 相似时有MN AB ＝ON BC 或MN BC ＝ON
AB
，
①当MN AB ＝ON BC 时，则有|－x 2
＋2x|2＝|x|32，即|x|×|－x ＋2|＝13|x|，
∵当x ＝0时M 、O 、N 不能构成三角形， ∴x ≠0，
∴|－x ＋2|＝13，即－x ＋2＝±13，解得x ＝53或x ＝7
3，
此时N 点坐标为(53，0)或(7
3
，0)，
②当MN BC ＝ON AB 时，则有|－x 2＋2x|32＝|x|
2，即|x|×|－x ＋2|＝3|x|，
∴|－x ＋2|＝3，即－x ＋2＝±3，解得x ＝5或x ＝－1， 此时N 点坐标为(－1，0)或(5，0)，
综上可知存在满足条件的N 点，其坐标为(53，0)或(7
3
，0)或(－1，0)或(5，0).
2．解：(1)把A 、C 两点坐标代入直线y ＝－ax ＋c 可得⎩⎪⎨⎪
⎧3a ＋c ＝0c ＝1，解得⎩⎪
⎨
⎪⎧a ＝－1
3c ＝1
， ∴直线的表达式为y ＝1
3
x ＋1，
把A 点坐标和a ＝－13代入抛物线解析式可得9×(－13)－3b ＋1＝0，解得b ＝－2
3
，
∴抛物线的表达式为y ＝－13x 2－2
3x ＋1；
(2)∵点D 为抛物线在第二象限部分上的一点， ∴可设D(t ，－13t 2－23t ＋1)，则F(t ，1
3
t ＋1)，
∴DF ＝－13t 2－23t ＋1－(13t ＋1)＝－13t 2－t ＝－13(t ＋32)2＋3
4
.
∵－13＜0，∴当t ＝－32时，DF 有最大值，最大值为34，此时D 点坐标为(－32，5
4)；
(3)设P(m ，－13m 2－2
3m ＋1)，如解图，
∵P 在第四象限，∴m ＞0，－13m 2－2
3m ＋1＜0，
∴AN ＝m ＋3，PN ＝13m 2＋2
3
m －1，
∵∠AOC ＝∠ANP ＝90°，
∴当以P 、A 、N 为顶点的三角形与△ACO 相似时有△AOC ∽△PNA 和△AOC ∽△ANP ，
①当△AOC ∽△PNA 时，则有OC NA ＝AO PN ，即1m ＋3＝3
13m 2＋2
3m －1，
解得m ＝－3或m ＝10，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)，
∴m ＝10，此时P 点坐标为(10，－39)；
②当△AOC ∽△ANP 时，则有OC NP ＝AO AN ，即113m 2＋23m －1＝3
m ＋3
，
解得m ＝2或m ＝－3，经检验当m ＝－3时，m ＋3＝0(舍去)， ∴m ＝2，此时P 点坐标为(2，－5
3
)；
综上可知P 点坐标为(10，－39)或(2，－5
3
).
3．解：(1)将A 、G 点坐标代入函数解析式，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋33＝0，a －b ＋33＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－3
b ＝23
，
∴抛物线的解析式为y ＝－3x 2
＋23x ＋33；
(2)如解图①，作ME ∥y 轴交AB 于E 点，
当x ＝0时，y ＝33，即B 点坐标为(0，33)， 直线AB 的解析式为y ＝－3x ＋33，
设M(n ，－3n 2
＋23n ＋33)，E(n ，－3n ＋33)，
ME ＝－3n 2＋23n ＋33－(－3n ＋33)＝－3n 2
＋33n ，
S △ABM ＝12ME·AO＝12(－3n 2
＋33n)×3＝－332(n －32)2＋2738，
当n ＝32时，△ABM 面积的最大值是
2738
；
(3)存在；
理由如下：OE ＝233，AP ＝2，OP ＝1，BE ＝33－233＝733
，
当y ＝233时，－3x ＋33＝233，解得x ＝73，即EF ＝7
3
，
将△BEP 绕点E 顺时针方向旋转90°，得到△B′EC(如解图②)， ∵OB ⊥EF ，∴点B′在直线EF 上，
∵C 点横坐标绝对值等于EO 长度，C 点纵坐标绝对值等于EO －PO 长度， ∴C 点坐标为(－233，23
3－1)，
如解图，过F 作FQ ∥B′C，交EC 于点Q ， 则△FEQ ∽△B′EC，由BE EF ＝B′E EF ＝CE
EQ ＝3，
可得Q 的坐标为(－23，－3
3
)；
根据对称性可得，Q 关于直线EF 的对称点Q′(－23，53
3)也符合条件.
4．解：(1)∵抛物线y ＝ax 2
＋bx ＋3经过点A(1，0)和点B(5，0)，
∴⎩
⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋3＝0
25a ＋5b ＋3＝0，解得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝35b ＝－
185
， ∴该抛物线对应的函数解析式为y ＝35x 2－18
5x ＋3；
(2)①∵点P 是抛物线上的动点且位于x 轴下方， ∴可设P(t ，35t 2－18
5
t ＋3)(1＜t ＜5)，
∵直线PM ∥y 轴，分别与x 轴和直线CD 交于点M 、N ， ∴M(t ，0)，N(t ，3
5
t ＋3)，
∴PN ＝35t ＋3－(35t 2－185t ＋3)＝－35(t －72)2＋14720
，
联立直线CD 与抛物线解析式可得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝35x ＋3y ＝35x 2
－185x ＋3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7y ＝365
， ∴C(0，3)，D(7，365
)， 分别过C 、D 作直线PN 的垂线，垂足分别为E 、F ，如解图①，
则CE ＝t ，DF ＝7－t ，
∴S △PCD ＝S △PCN ＋S △PDN ＝12PN·CE＋12PN·DF＝72PN ＝72[－35(t －72)2＋14720]＝－2110(t －72
)2＋102940
， ∴当t ＝72时，△PCD 的面积最大，最大值为102940
； ②存在．
∵∠CQN ＝∠PMB ＝90°，
∴当△CNQ 与△PBM 相似时，有NQ CQ ＝PM BM 或NQ CQ ＝BM PM
两种情况， ∵CQ ⊥PN ，垂足为Q ，
∴Q(t ，3)，且C(0，3)，N(t ，35
t ＋3)， ∴CQ ＝t ，NQ ＝35t ＋3－3＝35t ，∴NQ CQ ＝35
， ∵P(t ，35t 2－185
t ＋3)，M(t ，0)，B(5，0)， ∴BM ＝5－t ，PM ＝0－(35t 2－185t ＋3)＝－35t 2＋185
t －3， 当NQ CQ ＝PM BM 时，则PM ＝35BM ，即－35t 2＋185t －3＝35
(5－t)，解得t ＝2或t ＝5(舍去)，此时P(2，－95
)； 当NQ CQ ＝BM PM 时，则BM ＝35PM ，即5－t ＝35(－35t 2＋185t －3)，解得t ＝349
或t ＝5(舍去)，此时P(349，－5527
)；
综上可知存在满足条件的点P ，其坐标为(2，－95)或(349，－5527
).。