系统的稳态误差为

r (t ) t
e ss
1
r (t ) t
e ss
1
2
Kp
0型 I型 II型
Kv
0
Ka
0 0
ess
1
1
2
1 K
K
p
KvKp1来自 1Ka
K
0 0
Kv
K
0
Ka
三、系统稳定误差的计算


综述，系统的稳态误差与输入信号形式有 关，对于一个结构确定的系统，如果给定 输入形式不同，其稳态误差就不同；同时 稳态误差与系统结构也密切相关，如果给 定信号一定，不同结构的系统稳态误差也 不同。 按静态误差系数法计算稳态误差的方法， 是基于拉氏变换的终值定理，只能使用阶 跃、斜坡及加速度或他们的组合，如果输 入是其他任意时间函数，以上结论则不能 成立。
ess
特征方程为D( s) 1 Gk ( s) an s n an 1s n 1 ... a2 s 2 a1s a0 0
n n 1 2 a s a s ... a s 等式两边同除以 n n 1 2 a1s a0 1 Gk ( s) 0 1 0 则 n n 1 2 an s an 1s ... a2 s 得 a1s a0 Gk ( s) 该系统为Ⅱ型系统 an s n an 1s n 1 ... a2 s 2 开环增益为 a0 a1s a0 K 2 a2 n2 n 3 s (an s an 1s ... a2 )
ess
1、先求取系统的开环传递函数 Gk ( s)
Gk (s)
C(s)
设开环传递函数为 Gk ( s) M ( s) 即，开环传递函数 N ( s) 与闭环传递函数 M (s) 有相同的零点 Gk ( s ) M (s) N (s) GB ( s ) a s a0 1 Gk ( s ) 1 M ( s ) N ( s ) M ( s ) 得 Gk ( s ) 1 ? N (s)


s

G0 ( s)
G0 ( s) 1 式子中 G0 ( s) ，当s趋于零的时候，

结论：系统的稳态误差与开环传递函数有关，其实 只跟开环传递函数 Gk ( s) 中的积分环节个数和K有 关。K又称为开环增益。
二、系统类型


定义： K为系统开环传递函数的增益，简称系统开环增 益或开环放大倍数。计算为开环传递函数中，除 去积分环节，令s=0后，得到的数值即为K。 为开环传递函数积分环节的个数，工程上以 积分环节的个数来定义系统结构类型。
一、系统误差及稳态误差概念

系统误差传递函数


sR ( s) sR ( s) ess lim e(t ) lim sE ( s) lim lim t s 0 s 0 1 G1G2 H s 0 1 GK ( s )

在误差信号e(t)中，包含瞬态分量 ets (t ) 和稳态分量 ess (t ) 两部分，由于系统必须稳定，故当时间趋于无穷时， 瞬态分量必须趋于零，因而系统的稳态误差定义为， ess () ess 系统误差的稳态分量 ，常以 表示。 E ( s) 1 对上式 Ge (s) ，根据拉氏变换的终值定 R( s) 1 G1G2 H 理，得
r K
0 p

v K
0 v

a K
0 a
00
2
KK
1

m
2
KK
1
m
[例3]
已知单位反馈的闭环传递函数为
a1s a0 G B (s) an s n an1s n1 ... a2 s 2 a1s a0
r (t ) 2 t t 2
解:
R(s) + -
求
'

如果系统稳定，E(s)的稳态值又叫系统的稳 态误差。根据拉氏变换的终值定理，系统 稳态误差表达式为：
ess lim e(t ) lim sE ( s)
t s 0
一、系统误差及稳态误差概念

闭环系统基本结构形式如下：
R(s) + E(s) G1(s) + H(s)
D(s)
G2(s) C(s)

R( s) A / s A为一常值，代入稳态误差公式得
1 A A A ess lim s 1 Gk ( s) s 1 lim Gk ( s) 1 K p s 0
s 0
K 式子中 K p lim Gk (s) lim ，称为静态位置误差 s 0 s 0 s 系数。
E(s) R(s) C (s) H (s) R(s) E(s)G1G2 R( s) E ( s) 1 E ( s ) G ( s ) 整理得 传递函数为 e 1 G1G2 H R( s) 1 G1G2 H
其中 G1G2 H ，为闭环系统的开环传递函数。
一、系统误差及稳态误差概念
则 : 0型系统 型系统 型系统
K
p
p
1 K
ss
1 有差 ess 1 K
K K
p
e 0 e 0
ss
无差
三、系统稳定误差的计算 2、斜坡输入下的稳态误差
A s 2 A s ess lim lim s 0 1 Gk ( s ) s 0 sGk ( s )

该系统的误差定义有两种：
E ( s) C ' ( s) C ( s) R( s ) C ( s) H ( s)
1. 输出端定义
这种方法只有数学意义，因实际系统中无法测量 E ( s ) R( s ) B( s ) R( s ) C ( s ) H ( s ) 2. 输入端定义 这种定义方法的结果，不是严格按照输出的期望值与实际值的差。 但它可以测量，所以工程上应用较多；另外对于单位反馈系统而言， 输出的理想值就是输入，以上两种定义是完全相同的。（以后误差分 析计算中，未加说明时，都用此法）
时域分析法
稳态误差计算

控制系统稳态误差是控制精度（准确度） 的一种度量，是控制系统的稳态性能指标。 实际中产生稳态误差的原因有很多。 本节中只讨论由于系统结构、参数及输入 信号不同而引起的稳态误差。


一、系统误差及稳态误差概念

定义（理论）：系统输出的希望值与实际 值之差叫做系统的误差。
E ( s) C ( s) C ( s)
[例3]
已知单位反馈的闭环传递函数为
a1s a0 G B (s) an s n an1s n1 ... a2 s 2 a1s a0
r (t ) 2 t t 2
解:
求
继续求开环传递函数的分母 GB ( s ) Gk ( s ) 1 Gk ( s )
[例3]
已知单位反馈的闭环传递函数为
a1s a0 G B (s) an s n an1s n1 ... a2 s 2 a1s a0
r (t ) 2 t t 2
解:
求
ess
2、求给定信号的稳态误差
2 2 a2 ess 0 0 则系统总稳态误差为： K a0
[例1] 求 解:
单位反馈 G k ( s)
24 s( s 2)( s 3)
1
K p, Kv, Ka
I型系统
G k ( s) 2 3 1 1 s ( s 1)( s 1)
24
K 24 /( 2 3) 4,
K
p
,
2
3
K
v
K 4
K
a
0
[例2] r (t ) (1 t t 2) 1(t ),
K2 s(s 1)
四、减小或消除稳态误差的措施

增大开环增益，或增大扰动作用前，前向通 道增益。 在系统前向通道或扰动作用点前设置串联积 分环节。 值得注意的是：在反馈控制系统中，设置串 联积分环节或增大开环增益以消除或减小稳 态误差的措施，必然会导致降低系统的稳定 性，甚至会造成系统不稳定，恶化动态性能。 故权衡考虑系统稳定性、稳态误差与动态性 能之间关系，成为系统校正设计的主要内容。
2
则
令
K a s Gk ( s)
0型系统
A ess Ka
K a 0, ess K a 0, ess
K a K , ess A K
I型系统
II型系统
三、系统稳定误差的计算
输入信号作用下的稳态误差
系统 型别 静态误差 系数 阶跃输入 斜坡输入 抛物线输入
r (t ) 1(t )

0 0型系统 1 型系统 2 型系统
三、系统稳定误差的计算

由 ess lim
s 0
sR ( s ) 1 GK ( s )
并将系统的类型与开环增益代入得
1 [ s lim R(s)]
s 0
ess
K lim s
s 0
三、系统稳定误差的计算 1、阶跃输入下的稳态误差
R(s) + -
求 e ss
K 1 (s 1)
Km 2 S (T m s 1)
C(s)
解:(1) 判稳 特性方程 T m s s K 1 K m s K 1 K m 0 稳定的充要条件: K 1 K m K 1 K m T m 0 即: T m
3 2
(2)求稳态误差ess
研究扰动作用下误差，令r(t)=0，则系统误差为 即在扰动下，理性的输出为0
E ( s) C ( s)
整理得
E(s) C(s) G2 (s)[ D(s) X (s)] G2 (s)[ D(s) G1 (s) E(s)] G2 G2 ( s) E ( s) D( s ) D( s ) 1 G1G2 1 Gk ( s)
总结:从稳态误差公式可看出，一个线
性系统的稳态误差与其结构及参数有 关，与外部信号输入信号形式有关。
另外：从公式上看，稳态误差与闭环
系统的开环传递函数有关！
二、系统类型

纽
设单位反馈系统的开环传递函数为： K ( 1s 1)...( m s 1) K
Gk ( s) s (T1s 1)...(Tn s 1)
s 0
令
K v lim sGk ( s)
0型系统 I型系统
静态速度误差系数,
A ess Kv
K v 0, ess K v , ess 0
A K v K , ess K
II型系统
三、系统稳定误差的计算 3、加速度输入下的稳态误差
A s 3 A s ess lim lim 2 s 0 1 Gk ( s ) s 0 s Gk ( s )
[例4]
R(s)
已知系统如图所示
+ E(s)
D(s)
G1 (s)
+
G 2 ( s)
C(s)
+
已知 G1 (s) K1 G2 ( s)
求 D( s ) N 时系统的稳态误差 s G2 ( s) 解：essd lim sE ( s) lim [ 1 G ( s) D( s)] s 0 s 0 k K2 N K2 N s (s 1) lim [ s ] lim K2 s s (s 1) K1 K 2 s 0 s 0 1 K1 s (s 1) 结论：扰动下系统的 N 稳态误差与扰动作用点 K1 前面环节增益成反比， 与扰动量大小成正比
结论如下： 若要减小扰动下 的误差，则应增 大G1的增益
四、扰动作用下系统的稳态误差
扰动下，系统的稳态误差为：
essd
G2 ( s) lim sE ( s) lim [ s D( s)] 1 Gk ( s) s 0 s 0
结论： 对于一个系统，扰动作用点位置不同，稳态误差就不同。所 以，扰动作用下产生的稳态误差，与D(s)的形式和开环传递函 数有关，还与其作用点位置有关。
线性系统下，三个信号组合下的稳态误差计算，可以运用 叠加原理，分别求取每个信号的稳态误差，再相加。 系统为Ⅱ型系统，则 K , K , K K a0 p v a a2
四、扰动作用下系统的稳态误差 D(s)
R(s) +
E(s)
G1 (s)
+ +
G 2 ( s)
C(s)
系统常处于各种扰动的作用下如负载力矩的变动，电源电压的波动等。 根据系统误差的定义： E ( s) R( s) C ( s)