计算机05级计算方法试卷A、B及参考答案

计 算 机 系 05 级
计算方法试卷(A)（2008.1）
班级_______________姓名______________学号_____________得分______________ 本卷考试时间为90分钟。

1．（10分）已知,0050.10010001≈具有七位有效数字，试从防止误差的角度给出适当的方法计算1000010001-，并说明理由。

2．（10分）简单叙述秦九韶法（或Horner 方法）计算多项式值的方法思想, 并应用该方法计算多项式322)(245+-+-=x x x x x f 在5.0=x 处的值，写出计算过程并说明计算过程中所需的乘法次数。

3． （10分）选用适当的方法求方程032=-x e x 在5.0 附近的一个根，要求所求根的误差不超过210-=ε。

4． （15分）用LU 分解法或高斯消去法解方程组
5
并利用插值多项式近似计算)(x f 在8.1处的值。

6
7． （15分）简述龙贝格（Romberg ）求积方法的思想， 并选取适当的数值积分方法，求积分dx xe x ⎰102
，要求误差不超过21021-⨯。

8． （15分）写出四阶龙格—库塔（Runge-Kutta ）方法，并选用适当的方法求解初值问题，取2.0=h ， 计算机05级计算方法试卷(B)（2008.1）
班级_______________姓名______________学号_____________得分______________ 本卷考试时间为90分钟。

3．(10分)数列{n x }满足递推公式
122,n n x x -=- ,
若73.130≈=x （有三位有效数字）
，问 ①从0x 计算到k x 时误差有多大？
②上述计算是稳定的？
4．(10分)给出计算多项式334)(345+-+-=x x x x x f 在0x 处的值方法，使其所需乘法次数尽可能少.
6． (10分)用适当数值方法求方程310x x +-= 在区间[0,1] 上的一个根，精度310-=ε。

7． (15分)用Gauss 消去法或LU 分解法解方程组
8
6．(10分)给定数据表
9． (15分)用复化辛普森(Simpson)公式n S 或复化梯形公式n T 近似计算积分2
21ln x dx ⎰，
其中4n =.
10． (15分)用四阶龙格—库塔（Runge-Kutta ）方法求解初值问题，取2.0=h ，
计 算 机 系 05 级
计算方法试卷(A)解答（2008.1）
本卷考试时间为90分钟。

5．（10分）已知,0050.10010001≈具有七位有效数字，试从防止误差的角度给出适当的方法计算1000010001-，并说明理由。

解： 根据防止误差的几个原则，在进行数值计算时，应尽量避免相近数相减。

………………… 4 分 由于，当1>>x 时， x x -+1是相近数相减， 因此在数值计算时要尽量避免. 这里可以利用
来避免相近数相减.
………………… 3 分 据此有
………………… 3 分 说明：对于其他做法适当给分。

6．（10分）简单叙述秦九韶法（或Horner 方法）计算多项式值的方法思想, 并应用该方法计算多项式322)(2
45+-+-=x x x x x f 在5.0=x 处的值，写出计算过程并说明计算过程中所需的乘法次数。

解: 对于n 次多项式0111)(a x a x a x a x P n n n n n ++++=-- , 秦九韶法（或Horner 方法）计算多项式值的方法思想是先将多项式改写为011))(()(a x a x a x a x P n n n ++++=- , 对于给定的点0x , 令
则0p 为多项式在给定点的函数值, 并且计算所需要的乘法次数为n .
………………… 5 分 应用上述方法可得
(1)((((20.51)0.50)0.52)0.51)0.533f =⨯-⨯+⨯+⨯-⨯+=.
所需乘法次数为5次
………………… 5 分 说明：对于其他做法适当给分。

9． （10分）选用适当的方法求方程032=-x e x 在5.0 附近的一个根，要求所求根的误差不超过2
10-=ε。

解: 选用Newton 迭代法,
………………… 5 分
对于本题而言, 2()3x f x e x =-, 00.5x =代入上述迭代公式可得: 计算结果如下:
x1 = 0.9187; x2 = 0.9101; x3 = 0.9100; x4 = 0.9100.
………………… 5 分 说明： 如果答卷上的方法思想基本正确， 但数值计算结果不对，则适当从轻扣分。

10． （15分）用LU 分解法或高斯消去法解方程组
解: 210112101432221120213220131012201012A LU ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
………………… 7 分
设51585b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 令Ly b =, Ux y =解得5530y ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 1310x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
. ………………… 8 分 说明： 如果答卷上的方法思想基本正确， 但数值计算结果不对，则适当从轻扣分。

并利用插值多项式近似计算)(x f 在8.1处的值。

解: 利用Newton 插值多项式, 先计算差商表如下:
1.0 1.0000 0 0 0
1.5 6.0000 10.0000 0 0
2.0 8.0000 4.0000 -6.0000 0
2.5 12.0000 8.0000 4.0000 6.6667
………………… 6 分 所求多项式为
p(x)=6.6667 x^3 - 36.0000 x^2 + 68.3333 x - 38.0000
………………… 6 分 )(x f 在8.1处的值的近似值为p(1.8)= 7.2400
………………… 3 分 说明： 如果答卷上的方法思想基本正确， 但数值计算结果不对，则适当从轻扣分。

6解: 设节点为(,),1,2,3,4i i x y i =
4
21(,)()i i i a b y a bx =Φ=--∑, 令
0,0,a b
∂Φ∂Φ==∂∂ ………………… 5 分 可得
13.5000b+ 7.0000a=34.8
7.0000b + 4.0000a=17.4
解得: b=3.48 a= -1.74
1.74 3.48y x =-+为所求.
………………… 5 分 说明： 如果答卷上的方法思想基本正确， 但数值计算结果不对，则适当从轻扣分。

11． （15分）简述龙贝格（Romberg ）求积方法的思想， 并选取适当的数值积分方法，求积分dx xe x ⎰1
02，要求误差不超过21021-⨯。

解: 龙贝格（Romberg ）求积方法的思想是利用下述变步长的梯形公式：
1
2102
1()22n n n i i h T T f x -+==+∑， 其中1i i h x x -=-， n T 由复化梯形公式给出。

………… 5 分
以及
22241161641,,3315156363
n n n n n n n n n S T T C S S R C C =-=-=-， ………… 6 分
可以从精度相比而言并不是很高的复化梯形公式得到精度较高的计算公式, 而计算量可以充分利用变步长梯形公式的优点.
使用龙贝格（Romberg ）求积方法可得上述积分的计算结果如下:
1.3591 0.8811 0.8597 0.8591
1.0006 0.8610 0.8592
0.8959 0.8593
0.8684 ………… 4 分 说明： 如果答卷上选用其他方法求得结果则一样给分， 另外， 若方法思想基本正确， 但数值计算结果不对，则适当从轻扣分。

12． （15分）写出四阶龙格—库塔（Runge-Kutta ）方法，并选用适当的方法求解初值问题，取2.0=h ，
解: 对于方程000
(,),()n y f x y x x x y x y '=≤≤⎧⎨=⎩四阶龙格-库塔（Runge －Kutta ）方法如下:
对于给定的问题, 应用四阶龙格-库塔（Runge －Kutta ）方法可得如下计算结果:
………… 10 分
k1 =0.2000 k2 = 0.2600 k3 = 0.2660 k4 = 0.3332
y1 =1.2642
k1 =0.3328 k2 = 0.4061 k3 = 0.4135 k4 = 0.4955
y2 =1.6755
k1 =0.4951 k2 =0.5846 k3 =0.5936 k4 = 0.6938
y3 =2.2663
即:
x =0 0.2000 0.4000 0.6000
y =1.0000 1.2642 1.6755 2.2663
………… 5 分
说明： 如果答卷上的方法思想基本正确， 但数值计算结果不对，则适当从轻扣分。

计算机05级计算方法试卷(B)（2008.1）
班级_______________姓名______________学号_____________得分______________ 本卷考试时间为90分钟。

7．(10分)数列{n x }满足递推公式
122,n n x x -=- , 若73.130≈=x （有三位有效数字）
，问 ①从0x 计算到k x 时误差有多大？
②上述计算是稳定的？
解: 设n x 的近似值为n x ,n n n x x ε=-, 由122,n n x x -=-可得122n n x x -=-, 两式相减可得
其中0 1.73ε=.
………………… 5 分
因此0(2)k k εε=-，k x 的误差随着k 的增大而增大, 因而上述计算是不稳定的.
………………… 5 分
8．(10分)给出计算多项式334)(3
45+-+-=x x x x x f 在0x 处的值方法，使其所需乘法次数尽可能少.
解: 对于n 次多项式0111)(a x a x a x a x P n n n n n ++++=-- , 秦九韶法（或Horner 方法）计算多项式值的方法可以保证所用乘法次数最少, 其算法思想是先将多项式改写为
011))(()(a x a x a x a x P n n n ++++=- ,
对于给定的点0x , 令
则0p 为多项式在给定点的函数值, 并且计算所需要的乘法次数为n .
………………… 5 分 应用上述方法可得
000000()((((43)1)0)1)3f x x x x x x =⨯-⨯+⨯+⨯-⨯+.
所需乘法次数为5次
………………… 5 分
12． (10分)用适当数值方法求方程3
10x x +-= 在区间[0,1] 上的一个根，精度310-=ε。

解: 选用Newton 迭代法,
………………… 5 分 对于本题而言, 3
()1f x x x =+-, 00.5x =代入上述迭代公式可得:
计算结果如下:
x1 =0.7143, x2 =0.6832, x3 =0.6823, x4 =0.6823
………………… 5 分
13． (15分)用Gauss 消去法或LU 分解法解方程组 解: 210312103432721121014201121420820012A LU ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
………………… 7 分
设713416b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭, 令Ly b =, Ux y =解得7132y ⎛⎫ ⎪- ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭, 1221x ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪⎝⎭
. ………………… 8 分
解: 差商表:
0.5 2.6250
2.0 18.0000 10.2500
3.5 69.3750 3
4.2500 8.0000
4.0 98.0000 57.2500 11.5000 1.0000
………………… 8 分 Newton 插值多项式为: p(x)= x^3 +2 x^2 + 2
………………… 7 分
6
解: 设节点为(,),1,2,3,4i i x y i =
4
21(,)()i i i a b y a bx =Φ=--∑, 令
0,0,a b
∂Φ∂Φ==∂∂ ………………… 5 分 可得
86b+ 18a=198
18b + 4a=40
解得: b=3.6000 a= -6.2000
6.2000 3.600y x =-+为所求.
………………… 5 分
13． (15分)用复化辛普森(Simpson)公式n S 或复化梯形公式n T 近似计算积分221ln x dx ⎰，
其中4n =.
解: 利用复化辛普森(Simpson)公式
这里1,1/4i x ih h =+=, 2()ln f x x =
………………… 7 分 函数()f x 在上述节点处的函数值为
y 0= 0.0139, y1 = 0.1014, y2 = 0.2357, y3 = 0.3951, y4 = 0.0498, y5 = 0.1644, y6 = 0.3132, y7 = 0, y8 = 0.4805.
代入上述公式可得计算结果为: s4 = 0.1883
………………… 8 分
14． (15分)用四阶龙格—库塔（Runge-Kutta ）方法求解初值问题，取2.0=h ， 解: 对于方程00
0(,),()n y f x y x x x y x y '=≤≤⎧⎨=⎩四阶龙格-库塔（Runge －Kutta ）方法如下: …………………7 分 对于给定的问题, 应用四阶龙格-库塔（Runge －Kutta ）方法可得如下计算结果: k1 = 0.4000, k2 =0.4600, k3 = 0.4660, k4 = 0.5332
y1 = 1.4642
k1 = 0.5328, k2 =0.6061, k3 = 0.6135, k4 = 0.6955
y2 = 2.0755
k1 = 0.6951, k2 = 0.7846, k3 = 0.7936, k4 = 0.8938
y3 = 2.8663
即:
x = 0 0.2000 0.4000 0.6000
y = 1.0000 1.4642 2.0755 2.8663
………………… 8 分。