新高考 高中数学 选修一 课件+类型题2.2.3 两条直线的位置关系

二、两条直线的垂直
对坐标平面内的任意两条直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0 和 l2：A2x ＋B2y＋C2＝0，有 l1⊥l2⇔ A1A2＋B1B2＝0 .
如果 B1B2≠0， 则 l1 的斜率 k1＝－AB11， l2 的斜率 k2＝－AB22. 又可以得出：l1⊥l2⇔ k1k2＝－1 .
知识拓展：
1．两直线相交的判定方法 (1)两直线方程组成的方程组只有一组解，则两直线相交； (2)在两直线斜率都存在的情况下，若斜率不相等，则两直 线相交． 2．直线系方程 (1)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线：Ax＋By＋m＝0(m为 参数且m≠C)． (2)垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线：Bx－Ay＋m＝0(m为 参数)．
又∵l⊥l3，∴3×(1＋λ)＋(－4)(λ－2)＝0，
解得λ＝11，∴直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.
类型二、两条直线的平行关系
例 2、判断下列各小题中的直线 l1 与 l2 是否平行： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2,1)，l2 经过点 M(3,4)，N(－1， －1)； (2)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1,1)，B(2,2)； (3)l1 经过点 A(0,1)，B(1,0)，l2 经过点 M(－1,3)，N(2,0)； (4)l1 经过点 A(－3,2)，B(－3,10)，l2 经过点 M(5，－2)，N(5,5)． [思路探索] 求出斜率，利用“l1∥l2⇔k1＝k2”判断，注意公 式成立的条件．
解：法一 解方程组 x－2y＋4＝0 x＋y－2＝0 得 P(0,2)．
因为
l3
的斜率为3，且 4
l⊥l3，所以直线
l
的斜率为－4，由斜截式 3
可知 l 的方程为 y＝－43x＋2，
即 4x＋3y－6＝0.
法二 设直线 l 的方程为 x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0，
即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0，
(3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交 点的直线：(A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(λ为参数且这些 直线中不包含l2)．
3．两条直线的平行必须注意的两个问题
(1)两条直线平行的条件是斜率都存在且不重合，即两条直
线都不垂直于x轴，否则推导中α1＝α2⇒/ tan α1＝tan α2(∵此时 tan α1，tan α2均无意义)．
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新高考·人教B版 ·选修1
选修一
第二章 平面解析几何
2.2 直线及其方程
2.2.3 两条直线的位置关系
一、两条直线的相交、平行与重合
1、两条直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的位
置关系，可以用方程组
A1x＋B1y＋C1＝0 A2x＋B2y＋C2＝0
2、两条直线l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2的位置关系， 也可用两直线的斜率和在y轴上的截距来进行判断．具体判断方
法如表所示.
位置关系 平行
重合 相交一般 相交垂直
图示
k，b 满足 k1＝k2 且 k1＝k2 且
条件
b1≠b2 b1＝b2
k1≠k2
k1·k2 ＝－1
想一想：若两条直线平行，斜率一定相等吗？ 提示：不一定，垂直于x轴的两条直线，虽然平行，但斜率 不存在．
典型例题
类型一、直线的交点问题
例 1、求经过原点，且经过直线 2x＋3y＋8＝0 和 x－y－1＝0 的交点的直线 l 的方程．
[思路探索] 法一 解交点，求斜率，写方程． 法二 设直线系方程，代点求解．
解 法一 解方程组2x－x＋y－3y＋ 1＝8＝ 0，0， 得xy＝ ＝－ －12， ， 所以直线 2x＋3y＋8＝0 和 x－y－1＝0 的交点坐标为(－1，－ 2)． 又直线 l 经过原点，所以直线 l 的方程为 －y－2－00＝－x－1－00，即 2x－y＝0. 法二 设所求直线方程为 2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0， ∵直线过原点(0,0)，∴8－λ＝0，λ＝8， ∴直线方程为 2x＋3y＋8＋8x－8y－8＝0,10x－5y＝0， 即 2x－y＝0.
解 (1)k1＝12－ －－ －21＝1，k2＝－ －11－ －43＝54，k1≠k2，l1 与 l2 不平 行；
规律方法 本题中的法一是通法通解．法二利用过交点的 直线系方程避免了解方程组的过程，减少了运算量，因此我们 必须熟练掌握这一方法，并能灵活运用它解决求过两直线交点 的直线方程的问题．
练：
求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，
且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程．
无数个 交点
A1＝λA2，B1＝λB2， C1＝λC2(λ≠0)或AA12＝BB12 ＝CC12(A2B2C2≠0)
想一想：若两直线的方程组成的方程组有解，两直线是否 相交 ?
提示：不一定，两条直线是否交于一点，取决于联立两条 直线方程所得的方程组是否有唯一解．若方程组有无穷多个 解，则两条直线重合．
(2)当l1，l2都垂直于x轴且不重合时，由于垂直于同一条直 线的两条直线平行，可推得l1∥l2，这样两条不重合直线平行的 判定的一般结论就是：l1∥l2⇔k1＝k2或l1，l2斜率都不存在．
4．两条直线的垂直必须注意的两个问题 (1)两条直线垂直的条件是斜率都存在且不等于零，否则由 tan α2＝tan(90°＋α1)＝－tan1α1的式子就没有意义． (2)两条直线中，一条斜率不存在，同时另一条斜率等于零， 则两条直线垂直．这样，两条直线垂直的判定就可叙述为：一般 地，l1⊥l2⇔k1·k2＝－1 或一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜 率等于零.
的解的个数进行判断，
也可用直线方程的系数进行判断，方法如下：
方程组 位置关系 交点个数
的解
B1＝0 且 B1C2－ B2C1≠0(A2C1－A1C2≠0) 或A1＝B1≠C1
A2 B2 C2 (A2B2C2≠0)
有唯一 解
相交
有无数 个解
重合
有一个 交点
A1B2－A2B1≠0 或AA12≠BB12(A2B2≠0)