离散数学---集合

特定的一些集合的表示符号
自然数集N={0，1，2，…} ， ， ， 自然数集 整数集合Z={…-2，-1，0，1，2，…} 整数集合 ， ， ， ， ， 有理数集合Q={xx=P⁄⁄q，p,q∈Z} 有理数集合 ， ∈ 实数集合R={ x x是实数 是实数} 实数集合 是实数 复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=复数集合C={x x=a+bi,a,b∈R,i=-1}
E B A
集合的相等
2、 相等： 、 相等： 定义： 相等， 定义：若 A⊆ B，且B⊆ A则 称A，B相等， ⊆ ， ⊆ 则 ， 相等 记 作A=B。 。 即 ∀ x∈A则 x∈B， 并且有 ∀ x∈B则 x∈A。 ∈ 则 ∈ ， 并且有∀ ∈ 则 ∈ 。 若A，B 不相等记 作 A≠ B
真子集： 真子集：
集合的说明： 集合的说明：
1、描述法中A={ x 1≤x≤5}与A={y1≤y≤5} 、描述法中 与 是表示同一个集合 2、集合中元素是无序的。 、集合中元素是无序的。 {a,b,c},{a,c,b},{b,c,a}表示同一个集合 。 表示同一个集合。 表示同一个集合 3、集合中的元素可能也是集合， 、集合中的元素可能也是集合， 例：A={1，{2}，2，{3，4}，{6}} ， ， ， ， ， =5， {2}∈ A,{6}∈ A=5，2∈A，{2}∈A，6∉A,{6}∈A
求幂集的过程
写出A的全部子集 设A={0，1，2}写出 的全部子集。 ， ， 写出 的全部子集。 元子集： 解：A的0元子集：∅ 的 元子集 A的1元子集：{0}，{1}，{2} 元子集： ， ， 的 元子集 A的 2元子集 ： {0， 1}， {0， 2}， {1， 2}。 元子集： ， ， ， ， ， 。 的 元子集 元子集： ， ， A的3元子集：{0，1，2} 的 元子集 A共有 个子集，即P（A）=8 共有8个子集， （ ） 共有 个子集 一般地如果 ， 一般地如果A=n， 元子集有1个即空集 则A的0元子集有 个即空集∅， 的 元子集有 个即空集∅ A的1元子集共有 n1个， 元子集共有C 的 元子集共有 A的 2元子集共有 2n个，…， 元子集共有C 的 元子集共有 ， A的m元子集共有 mn个，… 元子集共有C 的 元子集共有 n元子集共有 nn=1个， 元子集共有C 元子集共有 个 所以A的子集个数为 的子集个数为C 所以 的子集个数为 0n+ C1n+…+ Cnn=2n
(1)∅⊆ A， (2){∅}⊆ A， (3)a⊆ A, ∅⊆ ， ∅⊆ ， ⊆ (4){a}⊆ A ⊆ (7)A ⊆ P(A) (5) {a}⊆ P(A) (6) ∅ ⊆ P(A) ⊆
定义： 定义：若A⊆ B且A ≠ B ，则称 A为 ⊆ 且 为 B的真子集。记 作 A ⊂ B ，或 B ⊃ A 的真子集。 的真子集 对一切x如果x 必有x 对一切x如果x∈A必有x∈B，并且存在一个 x0∈B且x0∉A。
三、特殊的集合
1、 空集： 、 空集： 定义： 不含任何元素的集合称为空集， 定义 ： 不含任何元素的集合称为空集 ， 记 作∅。 例如： 例如：Z={xx2+1=0,x∈R}，这是空集。 ∈ ，这是空集。 定理：空集是任何集合的子集。 定理：空集是任何集合的子集。 证明： 证明： ∅ ⊆ A ⇔ ∀ x(x∈∅ x∈A) ⇔1 ∈∅ ∈
推论：空集是唯一的。 推论：空集是唯一的。 证明： 是两个空集， 证明：设 ∅1 ，∅2 是两个空集， 由定理， 由定理，∅1⊆∅2 ∅2⊆∅1， 空集是唯一的。 ∴∅1=∅2∴空集是唯一的。
2、 全集： 、 全集：
在所研究的同一个问题中， 在所研究的同一个问题中，如果涉及到 的集合均是某一个集合的子集， 的集合均是某一个集合的子集，则 称该集 合是全体。 合是全体。记 作 Ε。 全集的概念是相 对。要看具体研究的问 题。
第三章 集合的基本概念
集合(set)：集合是数学中最基本的概念之一， ：集合是数学中最基本的概念之一， 集合 不能以更简单的概念来定义(define)，只能给 ， 不能以更简单的概念来定义 出它的描述(description)。一些对象的整体就 。 出它的描述 称为一个集合， 称为一个集合，这个整体的每个对象称为该 集合的一个元素 集合的一个元素(member或element)。 元素 或 。
显 然 ， 对 任 意 集 合 A ， 有 φ ∈ P(A) 和 A∈P(A) ∈
例题： 判断下列结论是否正确。 例题：A={a, ∅}判断下列结论是否正确。 判断下列结论是否正确
(1)∅∈ ， (2){∅}∈A, ∅∈A， (3)a∈A, ∅∈ ∅∈ ∈ (4){a}∈A, (5){a}∈P(A) (6)a∈P(A) ∈ ∈ ∈ (7)∅∈ ∅∈P(A) (8)A∈ (7)∅∈P(A) (8)A∈P(A)
一、集合的定义和表示
用大写字母A, B, C等表示集合，用小写 等表示集合， 用大写字母 等表示集合 字母a, 字母 b, c等表示集合的元素 等表示集合的元素 a∈A表示：a是集合 的元素，或说 属于 ∈ 表示 表示： 是集合 的元素，或说a属于 是集合A的元素 集合A 集合 a∉A表示：a不是集合 的元素，或说 不 ∉ 表示 表示： 不是集合 的元素，或说a不 不是集合A的元素 属于集合A 属于集合
通常使用两种方法来给出一个 集合： 集合：
列元素法：列出某集合的所有元素， 列元素法：列出某集合的所有元素，如： A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}表示所有小于 的 表示所有小于10的 表示所有小于 自然数所构成的集合 B = {a, b, …, z} 表示所有小写英文字母所构成 的集合 性质概括法： 性质概括法：使用某个性质来概括集合中的元 素，如： A = { n | n 是小于 的自然数 是小于10的自然数 的自然数} C = { n | n 是质数 表示所有质数所构成的集合 是质数}
பைடு நூலகம்
1、 包含： 、 包含：
二、集合的关系
定义：A，B两集合，∀x∈A⇒x∈B，记A⊆B。即 定义： ， 两集合， ∈ ⇒ ∈ ， ⊆ 。 两集合 是： A⊆B ⇔ ∀x(x∈A x∈B) ⊆ ∈ ∈ 读作A包含于 ； 包含了A。 读作 包含于B；或B ⊇ A，读作 包含了 。称： 包含于 ，读作B包含了 A是B的子集。 的子集。 是 的子集 注意：可能A⊆B或B⊆A， 注意：可能 ⊆ 或 ⊆ ， 也可能两者均不成立， 也可能两者均不成立， 不是两者必居其一。 不是两者必居其一。 例 ： N ⊆Z ⊆Q ⊆R 。 显然，任何集合A 显然，任何集合A⊆A。
3、 幂集： 、 幂集：
定义： 是一个集合， 定义：设A是一个集合，由A的所有子集 是一个集合 的所有子集 组成的集合称为A的幂集 ， 组成的集合称为 的幂集， 记 作 P(A)或 的幂集 或
。 2A。 。
该定义可以写作P(A)={u| 该定义可以写作P(A)={u|u⊆ A} P(A)={u 例如， 例如，A = {0, 1}，则 ， P(A) = { {}, {0}, {1}, {0, 1} }