艺术生高考数学专题讲义：考点24 基本不等式及其应用

考点二十四 基本不等式及其应用
知识梳理
1．重要不等式：a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号．
2．基本不等式：ab ≤a ＋b 2
( a ≥0，b ≥0)，当且仅当a ＝b 时取等号． 其中a ＋b 2
称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数.因此基本不等式可叙述为两个非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数；也可以叙述为两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
3.基本不等式的几个常见变形
(1) a ＋b ≥2ab (a ，b ＞0)．
(2) x ＋1x ≥2(x ＞0)，b a ＋a b
≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．
(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．
4.利用基本不等式求最值的条件：一正二定三相等
所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．
5.利用基本不等式求最值问题
已知x >0，y >0，则
(1)和定积最大：若x ＋y ＝s (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值s 24
； (2)积定和最小：若xy ＝p (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值2p .
典例剖析
题型一 基本不等式成立条件问题
例1 若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是________．
①a 2＋b 2>2ab ②a ＋b ≥2ab ③1a ＋1b ≥2ab
④b a ＋a b ≥2 答案 ④
解析 ∵a 与b 可能相等，∴a 2＋b 2≥2ab ，故①不正确；对于②、③，当a <0，b <0时不等式不成立，
故②、③不正确；对于④，由于ab >0，∴b a >0，a b >0，a b ＋b a
≥2a b ·b a
＝2成立(当且仅当a ＝b 时等号成立)．
变式训练 下列不等式中一定成立的是________．
①
x ＋1x ≥2 ②b a ＋a b ≥2 ③sin x ＋1sin x
≥2(x ≠k π，k ∈Z ) ④x ＋
1x ≥2(x >0) 答案 ④
解析 对于选项①，当x <0时显然不成立；
对于选项②，当b a
<0时显然不成立； 对选项③，当sin x <0时显然不成立；
只有选项④正确.
解题要点 在应用基本不等式时，“一正二定三相等”这三者缺一不可.
题型二 利用基本不等式求最值
例2 (1) 若x >0，则x ＋2x
的最小值是________． (2) 当x >1时，函数y ＝x ＋1x －1
的最小值是________． 答案 (1) 2 2 (2) 3
解析 (1) 由基本不等式可得x ＋2x
≥2x ·2x ＝22，当且仅当x ＝2x 即x ＝2时取等号，故最小值是2 2.
(2)y ＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2 (x －1)·1x －1＋1＝3 ⎝⎛⎭⎫当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立. 变式训练 (1)当x >1时，x ＋4x －1
的最小值为________； (2)当x ≥4时，x ＋4x －1
的最小值为________． 答案 (1)5 (2)163
解析 (1)∵x >1，∴x －1>0.∴x ＋4x －1＝x －1＋4x －1
＋1≥24＋1＝5. (当且仅当x －1＝4x －1.即x ＝3时“＝”号成立)∴x ＋4x －1
的最小值为5. (2)∵x ≥4，∴x －1≥3.
∵函数y ＝x ＋4x
在[3，＋∞)上为增函数，
∴当x －1＝3时，y ＝(x －1)＋4x －1
＋1有最小值163. 例3 设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值
解析 ∵0<x <2，∴2－x >0，
∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤2·x ＋2－x 2＝2， 当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号，
∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2.
变式训练 若a ，b 均为大于1的正数，且ab ＝100，则lg a ·lg b 的最大值是________．
答案 1
解析 ∵a >1，b >1，∴lg a >0，lg b >0.
lg a ·lg b ≤(lg a ＋lg b )24＝(lg ab )24
＝1. 当且仅当a ＝b ＝10时取等号．
解题要点 在利用基本不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
题型三 利用1的代换求值
例4 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b
的最小值为________． 答案 4
解析 ∵a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，
∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·a b ＝4， 即1a ＋1b 的最小值为4，当且仅当a ＝b ＝12
时等号成立． 变式训练 已知x >0，y >0且x ＋y ＝1，则8x ＋2y
的最小值为________． 答案 18
解析 ∵x >0，y >0，且x ＋y ＝1， ∴8x ＋2y ＝(8x ＋2y )(x ＋y )＝10＋8y x ＋2x y
≥10＋28y x ·2x y
＝18. 当且仅当8y x ＝2x y
，即x ＝2y 时等号成立， ∴当x ＝23，y ＝13时，8x ＋2y
有最小值18. 解题要点 解决这类条件最值问题通常有两种方法：一是消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解；二是将条件灵活变形，利用常数代换的方法构造和或积为常数的式子，然后利用基本不等式求解最值．
当堂练习
1．若0<x <32
，则y ＝x (3－2x )的最大值是________． 答案 98
2．已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b
的最小值是________． 答案 92
解析 依题意得1a ＋4b ＝12(1a ＋4b )(a ＋b )＝12×[5＋(b a ＋4a b )]≥12
×(5＋2b a ×4a b )＝92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝2，b a ＝4a b ，
a >0，
b >0，即a ＝23，b ＝43时取等号，即1a ＋4b 的最小值是92
. 3. 已知f (x )＝x ＋1x
－2(x <0)，则f (x )有________． 答案 最大值为－4
解析 ∵x <0，∴－x >0，
∴x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x )－2≤－2(－x )·1－x
－2＝－4， 当且仅当－x ＝1－x
，即x ＝－1时，等号成立． 4．已知函数f (x )＝4x ＋a x
(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝______. 答案 36
解析 ∵a >0，x >0，∴f (x )＝4x ＋a x ≥2 4x ·a x
＝4a ⎝⎛⎭
⎫当且仅当4x ＝a x 即a ＝4x 2时等号成立， 又x ＝3时函数取得最小值，∴a ＝4×9＝36.
5．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是________．
答案 (－∞，－2]
解析 ∵1＝2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋
y ，
∴2x ＋y ≤14，∴x ＋y ≤－2. 课后作业
一、 填空题
1．若0＜x ＜1，则当f (x )＝x (4－3x )取得最大值时，x 的值为________．
答案 23
解析 ∵0＜x ＜1，
∴f (x )＝x (4－3x )＝13·3x (4－3x )≤13×⎝⎛⎭⎫3x ＋4－3x 22＝43，
当且仅当3x ＝4－3x ，即x ＝23
时，取得“＝”． 2．已知a >0，b >0，ln(a ＋b )＝0，则ab 的最大值为________．
答案 14
解析 ∵ln(a ＋b )＝0，∴a ＋b ＝1，又a >0，b >0，∴a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14
. 3．函数y ＝x 2＋2x ＋2x ＋1
(x >－1)的图象最低点的坐标为________． 答案 (0,2)
解析 y ＝(x ＋1)2＋1x ＋1＝x ＋1＋1x ＋1
≥2， 当x ＋1＝1x ＋1
，即x ＝0时，y 最小值为2． 4．若x ＞54，则f (x )＝4x ＋14x －5
的最小值为________． 答案 7
解析 f (x )＝4x ＋14x －5＝4x －5＋14x －5
＋5. ∵x ＞54，∴4x －5＞0，∴4x －5＋14x －5
≥2. 故f (x )≥2＋5＝7，等号成立的条件是x ＝32
. 5．已知a ，b 为正实数且ab ＝1，若不等式(x ＋y )(a x ＋b y
)>m 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数m 的取值范围是________．
答案 (－∞，4)
解析 因为(x ＋y )(a x ＋b y )＝a ＋b ＋ay x ＋bx y ≥a ＋b ＋2≥2ab ＋2＝4，当且仅当a ＝b ，ay x ＝bx y
时等号成立，即a ＝b ，x ＝y 时等号成立，故只要m <4即可.
6．下列不等式：①a 2＋1>2a ；②a ＋b ab
≤2；③x 2＋1x 2＋1≥1，其中正确的个数是________． 答案 1
解析 ①②不正确，③正确，x 2＋1x 2＋1＝(x 2＋1)＋1x 2＋1
－1≥2－1＝1. 7．(2015湖南文)若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为________． 答案 2 2
解析 由条件1a ＋2b ＝ab 知a ，b 均为正数．因而可利用基本不等式求解． 由1a ＋2b ＝ab 知a >0，b >0，所以ab ＝1a ＋2b ≥22ab ，即ab ≥22，当且仅当⎩⎨⎧ 1a ＝2b ，1a ＋2b ＝ab ，即a ＝42，b ＝242时取“＝”，所以ab 的最小值为2 2.
8．若向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )相互垂直，则9x ＋3y 的最小值为________．
答案 6
解析 依题意得4(x －1)＋2y ＝0，即2x ＋y ＝2,9x ＋3y ＝32x ＋3y ≥232x ×3y ＝232x ＋
y ＝232＝6，当且仅当2x ＝y ＝1时取等号，因此9x ＋3y 的最小值是6.
9．已知函数f (x )＝4x ＋a x
(x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝________. 答案 36
解析 因为x >0，a >0，所以f (x )＝4x ＋a x ≥24a ＝4a ， 当且仅当4x ＝a x
，即a ＝4x 2时取等号．由题意可得a ＝4×32＝36. 10． (2014年上海卷)若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________．
答案 2 2
解析 x 2＋2y 2≥2x 2·2y 2＝22·xy ＝22，当且仅当x 2＝2y 2时等号成立．
11．已知x >0，y >0，且3x ＋4y ＝12，则xy 的最大值为______．
答案 3
解析 ∵12＝3x ＋4y ≥23x ·4y ，∴xy ≤3.
二、解答题
12．已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，求证：(1＋1a )(1＋1b
)≥9. 证明 方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1，
∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a
， 同理，1＋1b ＝2＋a b ，
∴(1＋1a )(1＋1b )＝(2＋b a )(2＋a b )＝5＋2(b a ＋a b
)≥5＋4＝9. ∴(1＋1a )(1＋1b )≥9(当且仅当a ＝b ＝12
时等号成立)． 方法二 (1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab .由(1)知，1a ＋1b ＋1ab
≥8， 故(1＋1a )(1＋1b )＝1＋1a ＋1b ＋1ab
≥9. 13．(2015湖南理节选)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b
. 证明：a ＋b ≥2；
证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b ab
，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1. 由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.。