【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修2：第一章 立体几何初步 单元同步测试]

第一章测试时间120分钟满分150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在下列四个选项中，只有一项是符合题意的)1．下列说法正确的是()A．三点确定一个平面B．四边形一定是平面图形C．梯形一定是平面图形D．平面α与平面β有不同在一条直线上的三个交点解析梯形有两条边平行，过两条平行直线有且只有一个平面．答案 C2．室内有直尺，无论怎样放置，在地面上总有这样的直线，它与直尺所在的直线()A．异面B．相交C．平行D．垂直答案 D3．若直线a⊥b，且直线a∥平面α，则直线b与平面α的位置关系是()A．bαB．b∥αC．bα或b∥αD．b与α相交或bα或b∥α答案 D4．若三球的半径之比是1:2:3，则半径最大的球的体积是其余两球的体积和的()A．4倍B．3倍C．2倍D．1倍解析设三个球的半径依次为a,2a,3a，V最大＝43π(3a)3＝36πa3，V1＋V2＝43πa3＋43π(2a)3＝363πa3＝12πa3，V最大V1＋V2＝3.答案 B5．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的主视图与左视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为()答案 C6．用a，b，c表示三条不同的直线，γ表示平面，给出下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；③若a∥γ，b∥γ，则a∥b；④若a⊥γ，b⊥γ，则a∥b.其中真命题的序号是()A．①②B．②③C．①④D．③④解析根据公理4，知①正确；根据垂直于同一平面的两直线平行可知④正确．答案 C7．在空间四边形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，则有()A．面ABC⊥面DBC B．面ABC⊥面ADCC．面ABC⊥面ADB D．面ADC⊥面DBC解析如图，在四面体ABCD中，∵AD⊥BC，AD⊥BD，BD∩BC＝B，∴AD⊥面BCD.又AD面ADC，∴面ADC⊥面BCD.答案 D8．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC，D为AB的中点，下列说法中正确的个数有()①CD⊥面ABB1A1；②BC1∥面A1DC；③面ADC⊥面ABB1A1.A．0个B．1个C ．2个D ．3个解析 ∵ABC －A 1B 1C 1为直三棱柱，AC ＝BC ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ，由两平面垂直的性质定理，可知CD ⊥面ABB 1A 1，又CD 面ADC ，故面ADC ⊥面ABB 1A ，故①、③正确，对于②连接AC 1，BC 1，设A 1C ∩AC 1＝O ，则O 为AC 1的中点，又D 为AB 的中点，∴OD ∥BC 1.又OD 面A 1DC ，BC 1面A 1DC ，∴BC 1∥面A 1DC ，故②正确． 答案 D9．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )A.73 m 3B.92 m 3C.72 m 3D.94 m 3解析 由三视图可知，原几何体如图所示，故V ＝3×13＋12×13＝3＋12＝72 m 3.答案 C10．如图，平行四边形ABCD 中，AB ⊥BD ，沿BD 将△ABD 折起到A ′BD ，使面A ′BD ⊥面BCD ，连接A ′C ，则在四面体A ′BCD 的四个面中，互相垂直的平面有( )①面ABD ⊥面BCD ；②面A ′CD ⊥面ABD ；③面A ′BC ⊥面BCD ；④面ACD ⊥面ABC .A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析 由于面ABD ⊥面BCD ，故①正确．又AB ⊥BD 则A ′B ⊥BD ，则A ′B ⊥BD ，∴A ′B ⊥面BCD ，故面A ′BC ⊥面BCD ，又CD ⊥BD ，∴面A ′CD ⊥面ABD ，故②③正确，④显然不正确．答案 C二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中横线上)11．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________． 解析 由三视图知，该几何体是由圆柱中间除去正四棱柱得到的，所以体积是4π×4－2×2×4＝16π－16.答案 16π－1612．若正三棱台的上、下底面的边长分别为2和8，侧棱长为5，则这个棱台的高为________．解析 由题可知，上底面三角形的高为2sin60°＝3，下底面三角形的高为8sin60°＝43，故棱台的高h ＝52－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(43－3)×232＝13. 答案1313．已知圆锥的表面积为a m 2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径为________．解析 设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则πl ＝2πr ，即l ＝2r ，S圆锥表＝πr2＋πrl＝3πr2＝a，则r＝3πa 3π.答案3πa3πm14．如图四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E为SA 上的点，当E满足条件：________时，SC∥面EBD.解析当E为SA的中点时，设AC∩BD＝O，连接EO，EB，ED，∵ABCD为平行四边形，∴O为AC的中点．∴EO∥SC，又SC面EBD，OE面EBD，∴SC∥面EBD.答案E为SA的中点15．如图所示，平面α⊥平面β，在α与β的交线l上，取线段AB ＝4，AC、BD分别在平面α和平面β内，AC⊥l，BD⊥l，AC＝3，BD ＝12，则线段CD的长为________．解析 连接BC ，∵AC ⊥l ，∴∠CAB ＝90°， CB ＝AC 2＋AB 2＝32＋42＝5. 又BD ⊥l ，α⊥β， ∴BD ⊥平面α. 又BC α，∴BD ⊥BC . ∴CD ＝BD 2＋BC 2 ＝122＋52＝13. 答案 13三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤)16．(12分)已知圆台的上、下底面半径分别是2,5，且侧面积等于两底面面积之和，求该圆台的母线长．解 设圆台的母线长为l ，则圆台的上、下底面面积为S 上＝π·22＝4π，S 下＝π·52＝25π，∴圆台的两底面面积之和S ＝S 上＋S 下＝29π， 又圆台的侧面积S 侧＝π(2＋5)·l ＝7πl ， 由7πl ＝29π，得l ＝297， 即母线长为297.17．(12分)如图所示，已知E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 的边AB ，BC ，CD ，DA 上的点，且EH ∥FG .求证：EH ∥BD .证明 ∵EH ∥FG ，EH ⃘面BDC ，FG 面BDC ， ∴EH ∥面BDC ，又EH 面ABD ，面ABD ∩面BDC ＝BD ， ∴EH ∥BD .18．(12分)如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若AB＝CB＝2，A1C＝6，求三棱柱ABC－A1B1C1的体积．解(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形，所以OC＝OA1＝ 3.又A1C＝6，则A1C2＝OC2＋OA21，故OA1⊥OC.因为OC∩AB＝O，所以OA1⊥平面ABC，OA1为三棱柱ABC－A1B1C1的高．又△ABC的面积S△ABC＝3，故三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝S△ABC×OA 1＝3.19．(13分)如图，已知P A 垂直于正方形ABCD 所在平面，E ，F分别是AB ，PC 的中点，∠PDA ＝45°.(1)求证：EF ∥面P AD ； (2)求证：面PCE ⊥面PCD .证明 (1)设PD 中点为G ，连接FG ，AG ，∵F ，G 分别为PC ，PD 的中点， ∴FG 綊12CD .又E 为AB 的中点， ∴AE 綊FG .即四边形EFGA 为平行四边形． ∴EF ∥AG .又EF面P AD，AG面P AD，∴EF∥面P AD.(2)P A⊥面ABCD，∴P A⊥AD，P A⊥CD.又∵在Rt△P AD中，∠PDA＝45°，∴P A＝AD，∴AG⊥PD.又CD⊥AD，CD⊥P A，且P A∩AD＝A，∴CD⊥面P AD，CD⊥AG，又PD∩CD＝D，∴AG⊥面PCD.由(1)知EF∥AG，∴EF⊥面PCD，又EF面PCE，∴面PCE⊥面PCD.20．(13分)如图①，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，E，F分别为AC，AB的中点，将△AEF沿EF折起，使A′在平面BCEF 上的射影O恰为EC的中点，得到图②.(1)求证：EF⊥A′C；(2)求三棱锥F—A′BC的体积．解(1)证法1：在△ABC中，EF是等腰直角△ABC的中位线，在四棱锥A′—BCEF中，EF⊥A′E，EF⊥EC，∴EF⊥平面A′EC，又A′C平面A′EC，∴EF⊥A′C.证法2：同证法1 EF⊥EC，∴A′O⊥EF，∴EF⊥平面A′EC.又A ′C 平面A ′EC ，∴EF ⊥A ′C . (2)在直角梯形EFBC 中，EC ＝2，BC ＝4， ∴S △FBC ＝12BC ·EC ＝4. 又∵A ′O 垂直平分EC ， ∴A ′O ＝A ′E 2－EO 2＝3，∴三棱锥F —A ′BC 的体积V F —A ′BC ＝V A ′—FBC ＝13S △FBC ·A ′O ＝13×4×3＝433.21．(13分)如图所示，已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，O 是底面ABCD 对角线的交点．(1)求证：C 1O ∥平面AB 1D 1； (2)求证：A 1C ⊥平面AB 1D 1；(3)若AA 1＝2，求三棱锥A 1—AB 1D 1的体积． 解 (1)证明：设B 1D 1的中点为O 1，∵ABCD —A 1B 1C 1D 1为正方体， ∴C 1O 1綊AO .故AOC 1O 1为平行四边形．∴AO 1∥C 1O ，又AO 1面AB 1D 1，C 1O 面AB 1D 1，∴C 1O ∥面AB 1D 1.(2)证明：∵B 1D 1⊥A 1C 1，B 1D 1⊥CC 1，A 1C 1∩C 1C ＝C 1. ∴B 1D 1⊥面ACC 1A 1，A 1C 面ACC 1A 1.∴B 1D 1⊥A 1C . 同理可证A 1C ⊥AB 1.又AB 1∩B 1D 1＝B 1，∴A 1C ⊥面AB 1D 1.(3)VA 1—AB 1D 1＝VA —A 1B 1D 1＝13×12×2×2×2＝43.。