D4-4有理函数积分

令 x 3,
得 4A 1,
A 1 4
令 x 1,
得 4B 1,
B1 4
所以： x2
1 2x

3

1
4 x3

1 4
x1
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例2
将 4 分解为简单分式之和．
x3 4x
解：
x3
4 4x

4 x( x2 4)

A
x
Bx C x2 4
例1
将
1 x2 2x 3
分解为简单分式之和．
解
1

1
?A B?
x2 2x 3 ( x 3)( x 1) x 3 x 1
1 A( x 1) B( x 3)
求 A、B 的方法一（比较系数法）:
上式化为： 1 ( A B)x ( A 3B)


d(sin sin3
x x
)
ln csc 2x cot 2x
11 2 sin2
C x
真比分如较式所果系的以分数分母：：解是原nAA个则 不B14: ,同 0因, 式B的A－乘3积B14
1
, 则真分式可
以分解成 n项之和 , 相应的分子次数比分母低一次.
x2
1

2x 3
A x3

B, x1
1 A(x 1) B(x 3)
求 A、B 的方法二（特殊值代入法）:

dtan x tan2 x
2
1 arctan tan x C
2
2
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例12

4sin x 7cos x d x 2sin x cos x
练习册P29,三(5)
解 令 4sin x 7cos x
A(2sin x cos x) B(2sin x cos x)
) 2x2 2x 4
3x 5

2
x


(
x
3x 5 2)( x
1)
d
x
11 2
2x

(
x
3
2

x
3) 1
d
x
2x2 x 1
2 ( x2 x 2) 3x 5
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二、特殊有理函数的积分
例7

2x 3 x2 3x
真分式的分解原则:
如果分母是 n 个不同因式的乘积 , 则真分式可 以分解成 n项之和 , 相应的分子次数比分母低一次.
2. 有理函数真分式的积分
例3
5x 1
2x2 5x 3 d x
解
原式=

(2x
5x 1 1)( x
3)
d
x


(
1 2x
1

x
2
)d 3
x
有理函数真1分ln式| 2的x 积1分| 步2ln骤| ：x 3 | C （1）分母2 在实数范围内因式分解；
（2）分解成几个部分因式之和；
（3）各部分因式分别积分。
例4
求
dx
x（2 x 1)
1
A Bx C
x（2 x 1)

x1
x2
解
原式
1 x ( x2

1 )d x x1
ln | x | 1 ln | x 1 | C 有理函数真分式的x 积分步骤：
（1）分母在实数范围内因式分解；


(1 t

1t 1 t2
)
d
t
2t sin x 1 t 2
1 t2 cos x 1 t 2
2 d x 1 t2 dt
2. 特殊情形: 特殊方法.
例11
求

1

1 cos2
x
dx
解
原式

sin2
dx x 2 cos2
x


(tan2
x
dx 2) cos2
x

第四节 有理函数的积分举例
一、有理函数的积分 有理函数： a0 xn a1 xn1 an (1) b0 xm b1 xm1 bm 当 n m 时，分式(1)为真分式； 当 n m 时，分式(1)为假分式．
有理函数: 两个多项式的商所表示的函数
1. 有理函数真分式的分解
1
2
( x6 2) x6 x( x6 2)
d
x


1 2
(1 x

x5 x6
)d 2
x
1[ln | x | 1 ln | x6 2 |] C
2
6
三、三角函数有理式的积分
由常数与三角函数经过有限次四则运算构成
的函数称为三角函数的有理式.
例如
1
,
2sin x cos x
本题的解法。
习题 P192
• 1（1）（2）（3）（4）（5）（8) （13） • 2（1）（2） • 3（1）（4）（6）（8）
例1. 求

(sin
x
1 cos
x
)2
dx
解法 2
sin x cos x 2 sin( x )
4
原式
1
2
dx sin2( x

4
)
4 A( x2 4) x(Bx C )
即 4 ( A B)x2 Cx 4A
真∴分式A的C分B0解 0原,则故: A 1, B 1, C 0. 如果4分A母 4是 n 个不同因式的乘积 , 则真分式可
以分解成 n项之和 , 相应的分子次数比分母低一次.
4
d
x
分子凑微分
解 积分= d( x2 3x 4) x2 3x 4
ln | x2 3x 4 | C
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例8
1 x( x6 2) d x
分子分母同乘以 x5
解法1
原式＝
x5
1
x6( x6 2) d x 6
1 d(x6) x6(x6 2)
2cot x sin x sin2 x 2
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1. 一般情形: 万能代换.
令 tan x t, 2
此时： sin
x

1
2t t
2
,
1 t2
cos
x
1

t2
,
2 dx 1 t 2 d t
cos
sxinxscions2s2i22x2nxs2in2xcsoi2xnscc22oo22xxss
关于有理式分解(不记)：
1 2x A Bx C x( x 1)2 x ( x 1)2
5x 7 ( x 2)( x2 3x 5)

A x2

Bx c ( x2 3x 5)
x2
ABC



( x 1)( x 2)( x 3) x 1 x 2 x 3
令x6 u 1 6
1 u(u 2)
du

1 12

(
1 u

1 u
)du 2
1 [ ln | u | ln | u 2 | ] C 12
例8

1 x(x6
2)
d
x
解法2 (欣赏) 分子加、减同一项
原式＝

1 x( x6 2) d x

1 2

2 x( x6 2) d x
即 4sin x 7cos x (2B A)sin x (2A B)cos x
A2, B3
原式 [ 2 (2sin x cos x) 3 ]d x 2sin x cos x
2ln | 2sin x cos x | 3x c
注：形如

psin x qcos x d x 的积分都是 a sin x bcos x
2
2
2t sin x 1 t 2
，
cos
x

1 1

t t
2 2
，dx

1
2 t
2
d
t
例10

sin
x
cos x cos
x

1
d
x
解：令 tan x t
2 1 t2
原式
2t 1 t2
1 t2

1 1

t t
2 2
1
2 1 t2
dt

1 t t (1 t 2 ) d t
x 222x11
ta2nt2anx 2
x 2
1tant2axn2 2
x 2
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例9
求

sin
dx x tan
x
解：令
x tan
t
2
原式=
1
2t 1 t2

2t 1 t2

1
2 t
2
d
t

1 2
(1 t)dt t
1 (ln | t | 1 t2) c
x 0 ) x 1
1
x2 ( x 1)( x 1) 1
x2
1
( x 1)
x1
x1
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例6
2x2 x 1 x2 x 2 d x
2
x2 x 2 2x2 x 1
解
原式 (2
3x 5 x2 x 2) d x
（2）分解成几个部分因式之和；
（3）各部分因式分别积分。
3. 有理函数假分式的积分
x 1
例5 求
x2 dx
x1
解
积分=

x2 1 1 dx
x1

(x
1
1) x1
d
x
1 x2 x ln | x 1 | c 2
x 1 x2 0x 0 ) x2 x

1 2
csc2( x )dx
4
1 cot( x ) C
2
4
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例2 求
解: 原式
sin2 x cos2 x sin3 x cos x dx


sin
dx x cos
x

cos x sin3 x
dx
2 csc(2x)d x