英德中学20222022年数学期末模拟考试题(答案)

英德中学2022～2022年高二数学选修〔2-1〕期末模拟测试题〔答案〕

二、填空题〔4×4=16分〕 13、

2

1

(c a +) 14、必要 充分 15、2 16、7 三、解做题〔共74分〕 17、〔12分〕将命题“正偶数不是质数〞改写成“假设那么〞的形式,并写出它的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.

解：原命题：假设一个数是正偶数,那么这个数不是质数.〔假命题〕 逆命题：假设一个数不是质数,那么这个数是正偶数.〔假命题〕 否命题：假设一个数不是正偶数,那么这个数是质数.〔假命题〕 逆否命题：假设一个数是质数,那么这个数不是正偶数.〔假命题〕

18、〔12分〕顶点在原点, 焦点在x 轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为15. 求抛物线的方程.

解：依题意可设抛物线方程为：ax y =2

〔a 可正可负〕,与直线y=2x+1截得的弦为AB ；

那么可设A 〔x 1,y 1〕、B 〔x 2,y 2〕联立⎩⎨⎧+==1

22x y ax y 得01)4(42=+-+x a x

即：4421a x x --

=+ 4

1

21=x x 15]1)4

4[(5]4))[(1(2

212212=---

=-++=a x x x x k AB 得：a=12或-4

所以抛物线方程为x y 122

=或x y 42

-=

19、〔12分〕9x 2+5

y 2

=1的焦点F 1、F 2,在直线l ：x +y －6=0上找一点M,

求以F 1、F 2为焦点,通过点M 且长轴最短的椭圆方程．

解：由15

922=+y x ,得F 1〔2,0〕,F 2〔-2,0〕,F 1关于直线l 的对称点F 1/〔6,4〕,连F 1/F 2交l 于一点,即为所求的点M,∴2a =|MF 1|+|MF 2|=|F 1/

F 2|=4

5,∴a =25,又c=2,∴b 2=16,故所求椭圆方程为

116

2022=+y x ． 20、〔12分〕A 是△BCD 所在平面外一点,M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心.假设BD=4,试求MN 的长.

x

y

z

H

G F

E A B

C

D

A 1

B 1

C 1

D 1

解：连结AM 并延长与BC 相交于E,又连结AN 并延长与CD 相交于E,那么E 、F 分别为BC 及CD 之中点. 现在MN =AE AF AM AN 3

2

32-=

- =EF AE AF 32)(32

=

-=)(32CE CF -=)(3

1)2121(32CB CD CB CD -=-=BD 31

∴MN=|MN |=

31|BD |=31BD=3

4 21、〔12分〕给定双曲线12

2

2

=-y x .过A 〔2,1〕的直线与双曲线交于两点P 1及P 2,求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程．

解：设),(111y x P ,),(222y x P 代入方程得12212

1

=-y x ,12

222

2=-y x ． 两式相减得： 0))((2

1

))((21212121=-+-

-+y y y y x x x x . 又设中点P 〔x,y 〕,将x x x 221=+,y y y 221=+代入,当21x x ≠时得

02222121=---

x x y y y x ·.又2

12121--=--=x y x x y y k , 代入得0422

2=+--y x y x . 当弦P P 12斜率不存在时,其中点P 〔2,0〕的坐标也满足上述方程.因此所求轨迹方程

是17

)21

(47)1(82

2

=--

-y x . 22、〔14分〕在棱长为1的正方体

1111

ABCD A B C D -中,,E F 分别是

1,D D BD

的中点,G 在棱CD 上,且

1

4CG CD =,H 为1C G 的中点,应用空间向量方法求解以下问题.

〔1〕求证：

1EF B C

⊥;

〔2〕求EF 与

1C G

所成的角的余弦;

〔3〕求FH 的长.(16分)

解：以D 为坐标原点,建立如下图的空间直角坐标系D-xyz.那么

1

E 0,0,)

2（,

11113(,,0),(0,1,0),(1,1,1),(0,1,1),(0,,0)224F C B C G

1111111

(,,),(1,0,1)

222

11

00

22

EF EF B C EF B C EF B C B C =-=--∴⋅=-++=⊥⊥则即

〔2〕

222111117

(0,,1)0()1444C G C G =-∴=+-+=

,由〔1〕知 222113()()1222EF =++=⇒111313

0()022428EF C G ⋅=⋅+⋅+-⋅=

11151

cos ,17

EF C G EF B C EF C G ⋅∴=

=

⋅

故EF 与1C G

所成角的余弦值为51

17.

〔3〕11

C G H 为的中点,7111

H 0,,),(,,0)8222F ∴（又

22217114141

(0)()(0)FH 282288FH ∴=-+-+-=即＝

四、参考题

23．〔05广东卷〕〔本小题总分值14分〕 如图3所示,在四面

体P —ABC

中,PA=BC=6,PC=AB=10,AC=8,PB=342.F 是线段PB 上一点,3417

15

=

CF ,点E 在线段AB 上,且EF ⊥PB. 〔Ⅰ〕证实：PB ⊥平面CEF ；

〔Ⅱ〕求二面角B —CE —F 的大小.

〔I 〕证实：∵2

2

2

1006436PC AC PA ==+=+

∴△PAC 是以∠PAC 为直角的直角三角形,同理可证

△PAB 是以∠PAB 为直角的直角三角形,△PCB 是以∠PCB 为直角的直角三角形. 故PA ⊥平面ABC