云南省昆明市官渡区第一中学2021-2022高二数学下学期期中试题 理.doc

结束
开始 1?x <
输入x 2y x = 10?x <
cos y x =
31y x =+
输出y 是
否
是
否
云南省昆明市官渡区第一中学2021-2022高二数学下学期期中试题
理
第 Ⅰ 卷 选择题 （共60分）
一、
选择题（每小题5分，共60分）
1. i 是虚数单位，复数 31i
z i
+=
+的虚部是( ) A ．0 B ．－1 C ．1 D ．－i
2.已知{}
2
=|230A x x x --≤,{}
2
=|+0B x x px q +<，满足{}=|-12A B x x ⋂≤<，则p
与q 的关系为( )
A. 0p q -=
B. +0p q =
C. +5p q =-
D. 2+4p q =-
3.在正项等比数列{}n a 中，244a a =，3=14S ，数列{}n b 满足2log n n b a = ，则数列{}n b 的前6项和是( )
A ．0
B ．2
C ．3
D ．5
4.函数()()sin f x A x ωφ=+(A ，ω，φ 为常数，0A >，0ω>)的部分图象如图所示，则()0f 的值（ ）A 2 B ．
2
2
C ．0
D ．2- 5．根据如图所示的程序框图，若输出y 的值为4，则输入的x 值为( )
A ．2-
B ．1
C ．2-或1-
D ．2-或1
6. 一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有下列结论:
①AB EF ⊥; ②AB 与CM 所成的角为60︒; ③EF 与MN 是异面直线; ④//MN CD .
其中正确的是( )
A.①②
B.③④
C.②③
D.①③
7. 函数2log ,0()2,0x
x x f x a x >⎧=⎨-+≤⎩
有且只有一个零点的充分不必要条件是( ) A.0a <
B.1
02
a <<
C.
1
12
a << D.0a ≤或1a >
8.已知函数()f x 是定义在 R 上的奇函数，且当(],0x ∈-∞时，()2x
f x e ex a -=-+，则
函数()f x 在 x ＝1处的切线方程为( ) A ．0x y += B ．10ex y e -+-= C ．+10ex y e --= D ．0x y -=
9. ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，向量(=1p →
，,()=cos sin q B B →
，，
p →
∥q →
且cos cos 2sin b C c B a A += ，则C ＝( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
10. 已知双曲线22
221x y a b
-= (a ＞0，b ＞0)，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交
于M ，N 两点，O 为坐标原点，若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为( )
A ．
12-+ B ．12 C ．12+ D ． 12
-+ 11. 设()22x
x
f x -=- ，若当 ,02πθ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭
时，()2
130cos 1f m f m θ⎛⎫-+-> ⎪-⎝⎭恒成立，则实数 m 的取值范围是( )
A ．(),-∞-2
B ．(],-∞-2∪[)1+∞，
C ．()21-，
D ．(),-∞-2∪()1+∞，
12. 函数()f x 的定义域为D ，若满足① ()f x 在 D 内是单调函数；②存在[],a b ⊆D 使 ()f x 在[],a b 上的值域为,22
a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
，那么就称()y f x =为“成功函数”，若函数
()()()log 0,1x a f x a t a a =+>≠且是“成功函数”，则 t 的取值范围为( )
A ．(0，+∞)
B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
C ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
D ． 10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦
第II 卷 非选择题（共90分）
二、填空题（每小题5分，共20分）
13. 9
x
⎛
+ ⎝
展开式中的常数项为__________．
14. 已知ABC ∆的面积为4
，=3=50AB AC AB AC →→→→
⋅<，，，则BC →=_______. 15.现采用随机模拟的方法估计某运动员射击4次,至少击中3次的概率：先由计算器给出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1表示没有击中目标，2，3，4，5，6，7，8，9表示击中目标，以4个随机数为一组,代表射击4次的结果,经随机模拟产生了20组随机数: 7527 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698 0371 6233 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281 根据以上数据估计该射击运动员射击4次至少击中3次的概率为__________.
16. 已知球面上有A B 、、C 、D 四点, =1AB ,=3BC ,AC BD =
,且 BD ⊥平面ABC ,则此球的体积为______________.
三、解答题（第17题10分，其它题12分，共70分） 17．(本小题满分10分)
已知()
cos sin m x x x ωωω→
=+，()cos sin ,2sin n x x x ωωω→
=-，其中0ω>，若函数()f x m n →→
=⋅，且()f x 的对称中心到()f x 对称轴的最近距离不小于4
π
． （1）求ω 的取值范围；
（2）在ABC ∆ 中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，且1a =，2b c += ，当ω取最大值时，()1f A =，求ABC ∆ 的面积． 18．(本小题满分12分)
正项数列{}n a 的前n 项和n S 满足：()()
2
2
2
10n n S n n S n n -+--+=
（1）求数列{}n a 的通项公式；
服务时间/小时
（2）令()2212n n
n b n a +=
+，数列{}n b 的前n 项和为n T .证明：对于任意的*
n N ∈，
都有564
n T <.
19.（本小题满分12分）
某市规定，高中学生三年在校期间参加不少于80小时的社区服务才合格．教育部门在全市随
机抽取200位学生参加社区服务的数据，按时间段[)7580，
，[)8085，，[)8590，，[)9095，，[]95，100（1）求抽取的200位学生中，参加社区服务时间不 少于90小时的学生人数，并估计从全市高中学生中 任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时 的概率；
（2）从全市高中学生（人数很多）中任意选取3位 学生，记ξ为3位学生中参加社区服务时间不少于
90小时的人数．试求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ.
20.（本小题满分12分）
正ABC ∆的边长为4，CD 是 AB 边上的高，E ，F 分别是AC ， BC 的中点，现将
ABC ∆沿CD 翻折成直二面角A DC B --，如图2.在图2中：
（1）求二面角E DF C -- 的余弦值；
（2）在线段BC 上找一点P ，使 AP DE ⊥
21. （本小题满分12分）
已知椭圆2
22:1(1)x C y a a
+=> 的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆
()()22
:313M x y -+-=相切
（1）求椭圆C 的方程；
（2）若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P Q 、两点，且0AP AQ →→
⋅=，求证：直线l 过定点，并求该定点坐标.
22．（本小题满分12分）
已知函数()e sin x
f x x =
（1）求函数()f x 的单调区间； （2）当0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，()f x kx ≥，求实数k 的取值范围
官渡一中高二年级2021-2022下学期期中考试
数学理科参考答案
一、选择题（本题满分60分，每小题5分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B D C A D D A B A C D C
二、填空题（本题满分20分，每小题5分）
13、84 14、7 15、0.75 16、43
三、解答题（本题满分70分）
17（本题满分10分）
解：（1）
．
∵ω＞0，∴，
由题意知，即，∴0＜ω≤1．
故ω的取值范围是(0，1]．
（2）由（Ⅰ）知ω的最大值为1，所以，
∵f ( A )＝1且0＜A ＜π．
∴，∴，
由余弦定理，
∴b 2 + c 2 －bc ＝a 2 ．
又b + c ＝2， a ＝1，∴bc ＝1，∴．
18（本题满分12分）
(1)解：由2
n S －(n 2＋n －1)S n －(n 2＋n )＝0，得[S n －(n 2＋n )](S n ＋1)＝0. 由于{a n }是正项数列，所以S n >0，S n ＝n 2
＋n .
于是a 1＝S 1＝2，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n . 综上，数列{a n }的通项a n ＝2n . (2)证明：由于a n ＝2n ，22
1
(2)n n n b n a +=
+，
则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤
+=
=-⎢⎥++⎣⎦
.
222222222111111
111111632435
112n T n n n n ⎡⎤
=
-+-+-++
-+-⎢⎥(-)(+)(+)⎣⎦
22221111115111621216264n n ⎡⎤⎛⎫=
+--<+= ⎪⎢⎥(+)(+)⎝⎭⎣⎦
19（本题满分12分）
解：（1）根据题意，参加社区服务时间在时间段[)90,95小时的学生人数为
2000.060560⨯⨯=（人），参加社区服务时间在时间段[]95,100小时的学生人数为2000.020520⨯⨯=（人）．所以抽取的200位学生中，参加社区服务时间不少于90小时的
学生人数为80人． 所以从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于90小时的概率估计为6020802
.2002005
P +=
== （2）由（Ⅰ）可知，从全市高中生中任意选取1人，其参加社区服务时间不少于90小 时的概率为2
.5
由已知得，随机变量ξ的可能取值为0,1,2,3． 所以0
3
32
327(0)()()55
125P C ξ==⋅=
；11
232354(1)()()55125
P C ξ==⋅=； 22132336(2)()()55125P C ξ==⋅=；33
03238(3)()()
55125
P C ξ==⋅=．
随机变量ξ的分布列为
P
27
125
54
125
36
125
8
125
因为ξ～
2
(3,)
5
B，所以3
55
E np
ξ==⨯=
20、（本小题满分12分）
解：（1）以点D 为坐标原点，直线DB ，DC ，DA 分别为x 轴、y 轴、x 轴建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (0，0，2)，B (2，0，0)，
．．．
平面CDF 的法向量为．
设平面EDF 的法向量为n ＝( x ，y ，z )，则
即可取．
，
所以，二面角E －DF －C 的余弦值为．
（2）在平面坐标系xDy 中，直线BC 的方程为．
设，则，所以
．
所以，P 是BC 上的一个三等分点且| PC |＝2| BP |．
21（本题满分12分）
（1）解：圆M 的圆心为)1,3(,半径3=r .
由题意知)1,0(A ，)0,(c F ， 直线AF 的方程为
1=+y c
x
，即0=-+c cy x ， 由直线AF 与圆M 相切，得
31
|3|2
=+-+c c c ，
解得22=c ，3122=+=c a ，
故椭圆C 的方程为13
22
=+y x .
（2）证明：法一 由0=⋅AQ AP 知AQ AP ⊥，从而直线AP 与坐标轴不垂直，故可设直线
AP 的方程为1+=kx y ，直线AQ 的方程为11
+-=x k
y . 联立方程组⎪⎩⎪
⎨⎧=++=，，13
12
2y x kx y 整理得06)31(2
2
=++kx x k ， 解得0=x 或2
316k k
x +-=
，
故点P 的坐标为)3131,316(22
2k k k k +-+-，
同理，点Q 的坐标为)3
3
,36(222+-+k k k k .
所以直线l 的斜率为k k k k k k k k k k 413163631313322
2
22
22-=+--++--+-， 所以直线l 的方程为33
)36(412
222+-++--=k k k k x k k y ， 即2
1
412--=x k k y .
所以直线l 过定点)2
1
,0(-.
法二 由0=⋅AQ AP 知AQ AP ⊥，从而直线PQ 与x 轴不垂直，故可设直线l 的方程为
)1(≠+=t t kx y ，
联立得⎪⎩⎪⎨⎧=++=,13
,2
2y x t kx y 整理得0)1(36)31(2
2
2
=-+++t ktx x k . 设),(11y x P ，),(22y x Q ，
则{）（*⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
+-=+-=+,31)1(331622
212
21k t x x k kt x x 由,0)1(3)31(4)6(2
2
2
>-⨯+-=∆t k kt 得1322->t k . 由0=AP ，
得0)1())(1()1()1,()1,(2212122211=-++-++=-⋅-=t x x t k x x k y x y x AP ，
将）
（*代入，得21
-=t ， 所以直线l 过定点)2
1
,0(-.
22（本小题满分12分）
解：（1）()sin cos (sin cos )x
x
x
f x e x e x e x x '=+=+，
令sin cos ),4y x x x π=+=
+当'3(2,2),()0,()44
x k k f x f x ππ
ππ∈-+>单增，
'37(2,2),()0,()44
x k k f x f x ππ
ππ∈++<单减
（2）令()()sin x
g x f x kx e x kx =-=-，即()0g x ≥恒成立， 而'
()(sin cos )x
g x e x x k =+-，
令'
()(sin cos )()(sin cos )(cos sin )2cos x
x
x
x
h x e x x h x e x x e x x e x =+⇒=++-=
优质资料\word 可编辑 - 11 - / 11- 11 - '[0,],()0()2
x h x h x π∈≥⇒在[0,]2π上单调递增，21()h x e π≤≤， 当1k ≤时，'()0,()g x g x ≥在[0,
]2π上单调递增，()(0)0g x g ≥=，符合题意； 当2k e π≥时，'()0()g x g x ≤⇒在[0,]2
π上单调递减，()(0)0g x g ≤=，与题意不合； 当21k e π<<时，'()g x 为一个单调递增的函数，而''2(0)10,()02
g k g e k π
π=-<=->， 由零点存在性定理，必存在一个零点0x ，使得'0()0g x =，当0[0,)x x ∈时，'()0,g x ≤从而()g x 在0[0,)x x ∈上单调递减，从而()(0)0g x g ≤=，与题意不合， 综上所述：k 的取值范围为(,1]-∞。