高中数学 第八章 向量的数量积与三角恒等变换测评素养练(含解析)新人教B版必修第三册-新人教B版高一

第八章测评

(时间:120分钟满分:150分)

一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.函数y=sin 3x+cos 3x 的最小正周期是() A.6π

B.2π

C.2π

3

D.π

3

解析由y=sin3x+cos3x ⇒y=√2

√22sin3x+√2

2cos3x =√2sin 3x+π

4

,

可知该函数的最小正周期T=2π

|ω|=2π3

,故选C .

2.已知a ·b =√3,|b |=1,则a 在b 方向上的投影的数量为() A.√3

B.2

C.3

D.√2

在b 方向上的投影的数量为|a |cos θ=a ·b |b |

=

√3

1

=√3,故选A .

3.已知sinα+2cosα

sinα-2cosα=5,则cos 2α+1

2sin 2α=() A.-2

5

B.3

C.-3

D.2

5

因为sinα+2cosα

sinα-2cosα=5,所以tanα+2

tanα-2=5⇒tan α=3,cos 2α+1

2sin2α=

cos 2α+sinαcosαcos 2α+sin 2α

=

1+tanα1+tan 2α

=

1+31+9

=2

5

,故选D .

4.已知|a |=4,|b |=3,(2a -3b )·(2a +b )=61,则a 与b 的夹角为() A.π

6

B.π

3

C.2π

3

D.π

2

|a |=4,|b |=3,又(2a -3b )·(2a +b )=4|a |2-3|b |2-4a ·b =37-4a ·b =61,∴a ·b =|a |·|b |·cos <a ,b >=-6,cos <a ,b >=-1

2,<a ,b >=120°,

因此向量a 与b 的夹角为2π

3.故选C .

5.若cos θ=-3

5,且180°<θ<270°,则tan θ

2的值为() A.2

B.-2

C.±2

D.±1

2

cos θ=-35,且180°<θ<270°,

∴90°<θ

2<135°, ∴tan θ

2=-√1-cosθ

1+cosθ=-2.

6.

如图所示,等边三角形ABC 的边长为2,D 为边AC 上的一点,且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,△ADE 也是等边三角形,若BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BD

⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =449

,则λ的值是() A.2

3

B.√3

3

C.3

4

D.1

3

⃗⃗⃗ ·BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +ED ⃗⃗⃗⃗⃗ )=BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AE ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AE

⃗⃗⃗⃗⃗ ·ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =22+2·2λcos π3

-2·2λ+2·2λcos π3

+4λ2+4λ2cos 2π3

=2λ2+4=449

⇒λ2=4

9

,

因为λ>0,所以λ=2

3

,故选A .

7.已知向量a =(-1,2),b =(x ,4),且a ∥b ,则|a +b |= ()

A.5

B.5√3

C.3√5

D.√5

a ∥

b ,∴-4-2x=0,∴x=-2.

∴b =(-2,4),∴a +b =(-3,6),∴|a +b |=3√5.

故选C .

8.已知sin(α+2β)=3

4,cos β=1

3,α,β为锐角,则sin(α+β)的值为() A.3√7-2√2

12

B.

3-2√1412

C.

3√7+2√2

12

D.

3+2√14

12

sin(α+2β)=3

4,cos β=1

3,α,β为锐角,

又cos(2β)=2cos 2β-1=-7

9<0,

所以α+2β大于90°.由同角三角函数关系, 可得cos(α+2β)=-√7

4,sin β=

2√2

3

, 所以sin(α+β)=sin[(α+2β)-β] =sin(α+2β)cos β-cos(α+2β)sin β =3

4

×1

3--√7

4

×

2√23

=

3+2√14

12

,故选D .

二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得2分,有选错的得0分.

9.已知曲线C 1:y=cos x ,C 2:y=cos x (cos x+√3sin x )-1

2,则下面的结论不正确的是()

A.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12

倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π

12

个单位,得到曲线

C 2

B.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的1

2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π

6个单位,得到曲线C 2

C.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π

12个单位,得到曲线C 2