不等式总结

不等式总结
一、不等式的性质
1．（不等式建立的基础）两个实数a 与b 之间的大小关系
(1)a b 0a b (2)a b =0a =b (3)a b 0a b －＞＞；－；
－＜＜．⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎩⎪
若、，则＞＞；；＜＜． a b R (4)
a b 1a b (5)a b =1a =b (6)a b 1a b ∈⇔⇔⇔⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪+
2．不等式的性质
(1)a b b a()＞＜对称性⇔
(2)a b b c a c()＞＞＞传递性⎫⎬⎭⇒
(3)a b a c b c()＞＋＞＋加法单调性⇔
a b c 0 ac bc ＞＞＞⎫⎬⎭⇒
(4) (乘法单调性)
a b c 0 ac bc ＞＜＜⎫⎬⎭⇒
(5)a b c a c b()＋＞＞－移项法则⇒
(6)a b c d a c b d()＞＞＋＞＋同向不等式可加⎫⎬⎭⇒ ---不等式相加
(7)a b c d a c b d()＞＜－＞－异向不等式可减⎫⎬⎭⇒ ---不等式相减
(8)a b 0c d 0ac bd()＞＞＞＞＞同向正数不等式可乘⎫⎬⎭⇒---不等式相乘
(9)a b 00c d b d ()＞＞＜＜＞异向正数不等式可除⎫⎬⎭⇒a c --不等式相除
(10)a b 0n N a b ()n n ＞＞＞正数不等式可乘方∈⎫⎬⎭⇒ 乘方法则
(11)a b 0n N a ()n ＞＞＞正数不等式可开方∈⎫⎬⎭⇒b n 开方
(12)a b 01a ()＞＞＜正数不等式两边取倒数⇒
1b ----倒数法则
3．绝对值不等式的性质 (1)|a|a |a|= a (a 0)a (a 0)≥；≥，－＜．⎧⎨⎩
(2)如果a ＞0，那么
|x|a x a a x a 22＜＜－＜＜；⇔⇔
|x|a x a x a x a 22＞＞＞或＜－．⇔⇔
(3)|a ·b|＝|a|·|b|．
(4)|a b | (b 0)＝≠．||||a b
(5)|a|－|b|≤|a ±b|≤|a|＋|b|．
(6)|a 1＋a 2＋……＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋……＋|a n |．
4. 基本不等式
（1）如果a ，b 是正数，那么ab ≤2
b a +，当且仅当a=b 时，等号成立。

注意：基本不等式的证明是利用重要的不等式推导的，即
()()ab 2b a ,2a ,,22≥+≥+∈+即有则ab b b a R
（2）基本不等式又称为均值定理、均值不等式等。

其中2
b a +称为a ，b 的算术平均数，ab 称为a ，b 的几何平均数。

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

（3）均值不等式中“当且仅当”的含义：
①当a=b ，取等号，即a=b ⇒
2
b a +＝ab ②仅当a=b 时取等号，即2b a +＝ab ⇒a=b （4）几种变形公式
ab ≤(2b a +)2≤222b a +(a,b ∈R) ab ≤2b a +≤2
22b a +(a ＞0, b ＞0) 5. 柯西不等式
（1）代数形式：
设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，(a 12＋a 22)( b 12 + b 22)≥(a 1 b 1+ a 2 b 2) 2 （注：等号成立条件：a 1 b 2= a 2 b 1）
（2）向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a 1,a 2,…,a n )，β=(b 1,b 2,…,b n )（n ∈N ，n≥2）
等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R ）。

（3）三角不等式：由|α|＋|β|≥|α+β|可得：设a 1，a 2，b 1，b 2均为实数，则
√(a 12＋a 22)＋√(b 12 + b 22)≥√[(a 1+ b 1)2＋(a 2 + b 2)2] （注：等号成立条件：存在非负实数μ及λ使得μa 1=λb 1，μa 2=λb 2其中“√”表示平方根）
（4）平面三角不等式：设a 1，a 2，b 1，b 2 ，，c 2均为实数，则
√[ (a 1-b 1)2＋(a 2-b 2)2]＋√[ (b 1-c 1) 2＋(b 2-c 2)2]≥√[(a 1-c 1)2＋(a 2-c 2)2] （注：等号成立条件：存在非负实数μ及λ使得μ(a 1- b 1)=λ(b 1- c 1) , μ(a 2- b 2)=λ(b 2- c 2)其中“√”表示平方根）
(5)设α，β，γ为平面向量，则|α-β|+|β-γ|≥|α-γ|。

当α-β，β-γ为非零向量时。

（注：等号成立条件：存在正常数λ，使得α-β＝λ（β-γ）⇔向量α-β与β-γ同向，即夹角为零。

（6）一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2 …，b n 均为实数，则
n n n n b a b a b a b b b a a a +++≥++++++ 22112222122221 注：等号成立n
n b a b a b a ===⇔ 2211 6. 排序不等式：
（1）定义：设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n ; b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n , b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b n ，其中c 1,c 2,……,c n 是b 1,b 2,……，b n 的任一排列，则称a 1 b 1 + a 2 b 2+ ... + a n b n 为这两个实数组的顺序积之和（简称顺序和），称a 1 b n + a 2b {n-1}+ ... + a n b 1 为这两个实数组的反序积之和（简称反序和），称a 1 c 1 + a 2 c 2 +…+ a n c n 为这两个实数组的乱序积之和（简称乱序和）
（2）定理：（排序不等式，又称排序原理）设有两组数 a 1 , a 2 ,… a n ; b 1 , b 2 ,… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤…≤ a n , b 1 ≤ b 2 ≤…≤ b n ，其中c 1,c 2,…,c n 是b 1,b 2,…，b n 的任一排列，那么
a 1
b n + a 2b {n-1}+ ... + a n b 1 ≤ a 1
c 1 + a 2 c 2 +……+ a n c n ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + ……+a n b n.
当且仅当 a 1 = a 2 = ... = a n 或 b 1 = b 2 = ... = b n 时等号成立，即反序和等于顺序和。

排序原理可简记作：反序和≤乱序和≤顺序和。

7. 贝努利不等式：
定理：设x ＞-1，且x≠0，n 为大于1的自然数，则(1+x)n ≥1+nx.
二、不等式的证明
1．不等式证明的依据
(1)a b ab 0a b ab 0
a b 0a b a b 0a b a b =0a =b
实数的性质：、同号＞；、异号＜－＞＞；－＜＜；－⇔⇔⇔⇔⇔
(2)不等式的性质(略)
(3)重要不等式：
①|a|≥0；a 2≥0；(a －b)2≥0(a 、b ∈R)（非负数）
②a 2＋b 2≥2ab(a 、b ∈R ，当且仅当a=b 时取“=”号) ③≥、，当且仅当时取“”号a b +∈+2ab(a b R a =b =)
④ a 3+b 3+c 3≥3abc(a,b,c ∈R +) ⑤33abc c b a ≥++
⑥ |a|－|b|≤|a ±b|≤|a|＋|b|．
⑦ |a 1＋a 2＋……＋a n |≤|a 1|＋|a 2|＋……＋|a n |．
⑧ |x|a x a a x a 22
＜＜－＜＜；⇔⇔
⑨ |x|a x a x a x a 22＞＞＞或＜－．⇔⇔ 2．不等式的证明方法
(1) 比较法：要证明a ＞b(a ＜b)，只要证明a －b ＞0(a －b ＜0)，这种证明不等式的方法叫做比较法．
用比较法证明不等式的步骤是：作差——变形——判断符号．
(2) 综合法：从已知条件出发，依据不等式的性质和已证明过的不等式，推导出所要证明的不等式成立，这种证明不等式的方法叫做综合法．
(3) 分析法：从欲证的不等式出发，逐步分析使这不等式成立的充分条件，直到所需条件已判断为正确时，从而断定原不等式成立，这种证明不等式的方法叫做分析法．
（4）三角换元法：多用于条件不等式的证明，如果所给条件较复杂，一个变量不易用另一个变量表示，这时可考虑用三角代换，将两个变量都用同一个参数表示，此法如果运用恰当，可沟通三角与代数的联系，将复杂的代数问题转化为三角问题。

注意：根据具体问题，常用的三角换元技巧有：
① x 2+y 2=1,可设x=cos α,y=sin α；
② a ≤ x 2+y 2≤b ，可设x=rcos α,y=rsin α, a ≤r 2≤b
③ 对于x 21-
，由于|x|≤1,可设x=cos α（0≤α≤π）或x=sin α(-π/2≤α≤π/2) ④ 对于x 21+
,可设x=tan α(-π/2＜α＜π/2)或x=cot α(0＜α＜π) ⑤ 对于12-x ,可设x=αcos 1 (0≤α＜π/2或π/2＜α≤π)或x=αsin 1 (-π/2≤α＜0或0＜α≤π/2)
⑥ 对于x+y+z=xyz,由于在ΔABC 中有tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,可设x=tanA,y=tanB,z=tanC(A+B+C=π)。

（5）放缩法：要证明不等式A ＜B ，有时可以将它的一边放大或缩小，寻找一个中间量，如将A 放大成C ，即A ＜C ，后证C ＜B ，这种证法叫放缩法。

常用技巧有：舍掉（或加进）一些项，在分式中放大或缩小分子或分母；应用基本不等式放缩。

放缩法的理论依据主要有：不等式的传递性、等量加不等量为不等量、同分子（分母）异分母（分子）的两个分式大小的比较。

证明不等式除以上三种基本方法外，还有反证法、数学归纳法、综合分析法、放缩法、函数法、几何法、其它方法（换元法、判别式法、导数法、构造法）、柯西不等式等。

（5）利用基本不等式比较实数大小或证明不等式
① 利用均值定理求最值，必须满足三个条件：：“一正”各项均为正数 、“二定”和或积为常数、“三相等”
等号必须成立。

和定积最大，积定和最小。

② 构造定值条件的常用技巧：加项变换、拆项变换、统一换元、平方后利用不等式。

③ 基本不等式：
若x ，y 是正数，有x+y=S （和为定值），则当x=y 时，积xy=取最大值42
S ；
若x ，y 是正数，有xy=P （积为定值），则当x=y 时，和x+y=取最小值；2P 。

三、解不等式
1．解不等式问题的分类
(1)解一元一次不等式．
(2)解一元二次不等式．
(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．
①解一元高次不等式；
②解分式不等式；
③解无理不等式；
④解指数不等式；
⑤解对数不等式；
⑥解带绝对值的不等式；
⑦解不等式组．
2．解不等式时应特别注意下列几点：
(1) 正确应用不等式的基本性质．
(2) 正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．
(3) 注意代数式中未知数的取值范围．
3．不等式的同解性
(1)f(x)g(x)0 f(x)0 g(x)0 f(x)0 g(x)0·＞与＞＞或＜＜同解．
⎧⎨⎩⎧⎨⎩
(2)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0·＜与＞＜或＜＞同解．⎧⎨⎩⎧⎨⎩
(3)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0(g(x)0)＞与＞＞或＜＜同解．≠⎧⎨⎩⎧⎨⎩
(4)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0(g(x)0)＜与＞＜或＜＞同解．≠⎧⎨⎩⎧⎨⎩
(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0)
(6)|f(x)|＞g(x)①与f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)同解；②与g(x)＜0同解．
(7)f(x)g(x) f(x)[g(x)] f(x)0g(x)0f(x)0g(x)02＞与＞≥≥或≥＜同解．⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎩
(8)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)02
＜与＜≥同解．
⎧⎨⎩
(9)当a ＞1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a ＜1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＜g(x)同解．
(10)a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0a a 当＞时，＞与＞＞同解．⎧⎨⎩
当＜＜时，＞与＜＞＞同解．
0a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x) f(x)0g(x)0a a ⎧⎨⎪⎩⎪。