专题一 选择、填空题常用的10种解法(作业)

组合练一
一、选择题
1．(2017·邢台模拟)集合A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{y |y ＝x ，0≤x ≤4}，则下列关系正确的是( ) A ．A ⊆∁R B B ．B ⊆∁R A C ．∁R A ⊆∁R B
D ．A ∪B ＝R
解析：依题意得B ＝{y |0≤y ≤2}，因此B ⊆A ，∁R A ⊆∁R B ，选C. 答案：C
2．(2017·河南八市联考)复数z ＝3＋i 1＋i ＋3i 在复平面内对应的点所在的象限为( )
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
解析：z ＝3＋i 1＋i ＋3i ＝(3＋i )(1－i )(1＋i )(1－i )＋3i ＝4－2i
2＋3i ＝2－i ＋3i ＝2＋2i ，故z 在复平面内对应的点在第一象限，
故选A. 答案：A
3．函数f (x )＝1
x
＋ln|x |的图象大致为( )
解析：因为f (1)＝1，排除A 项；当x >0时，f (x )＝1x ＋ln x ，f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1
x 2，所以当0<x <1时，f ′(x )<0，
f (x )单调递减，当x >1时，f ′(x )>0，f (x )单调递增，排除D 项，又f (－1)＝－1，所以排除C 项，故选B. 答案：B
4．已知直线l ，m ，平面α，l ⊄α且m ∥α，则“l ∥m ”是“l ∥α”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：利用线面平行的判定和性质判断充分性和必要性．若l ⊄α，m ∥α，l ∥m ，则l ∥α，所以充分性成立；反之，若l ∥α，l ⊄α，m ∥α，则l ，m 的位置关系不确定，可能平行、相交或异面，所以必要性不成立， 故“l ∥m ”是“l ∥α”的充分不必要条件，故选A. 答案：A
5．(2017·湖南东部五校联考)函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2e x －
1，x ＜2，
log 3(x 2
－1)，x ≥2，则不等式f (x )＞2的解集为( ) A ．(－2,4)
B ．(－4，－2)∪(－1,2)
C ．(1,2)∪(10，＋∞)
D ．(10，＋∞)
解析：当x ＜2时，令2e x －1＞2，解得1＜x ＜2；当x ≥2时，令log 3(x 2－1)＞2，解得x ＞10，故选C. 答案：C
6．(2017·重庆模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A.2
3 B.43 C.53
D.73
解析：依题意，题中的几何体是由一个直三棱柱与一个三棱锥所组成的，其中该直三棱柱的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1,2)、高为1；该三棱锥的底面是一个直角三角形(直角边长分别为1,2)、高为1，因此该几何体的体积为12×2×1×1＋13×12×2×1×1＝4
3，选B.
答案：B
7．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线的方程是y ＝3
2x ，且双曲线的一个焦点在抛物线y 2＝
47x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A.x 221－y 2
28＝1 B.x 24－y 2
3＝1 C.x 228－y 2
21
＝1 D.x 23－y 2
4
＝1 解析：双曲线的渐近线方程是y ＝±b a x ，所以b a ＝3
2，抛物线的准线方程为x ＝－7，所以c ＝7，由a 2＋
b 2＝
c 2，可得a 2＝4，b 2＝3，故选B. 答案：B
8．(2017·南昌模拟)已知点P 在直线x ＋3y －2＝0上，点Q 在直线x ＋3y ＋6＝0上，线段PQ 的中点为M (x 0，y 0)，且y 0＜x 0＋2，则y 0
x 0的取值范围是( )
A.⎣⎡⎭⎫－1
3，0 B.⎝⎛⎭
⎫－1
3，0 C.⎝⎛⎭
⎫－1
3，＋∞ D.⎝
⎛⎫－∞，－1
3∪(0，＋∞) 解析：线段PQ 的中点M (x 0，y 0)的轨迹方程为x 0＋3y 0＋2＝0，由y 0＜x 0＋2，得x 0＞－2， 则y 0x 0＝－1
3(x 0＋2)x 0＝－23x 0－1
3∈⎝⎛⎭⎫－∞，－13∪(0，＋∞)． 答案：D 二、填空题
9．(2017·南昌模拟)从1,2,3,4,5,6,7,8中随机取出一个数为x ，执行如图所示的程序框图，则输出的x 不小于40的概率为________．
解析：依次执行程序框图中的语句，输出的结果分别为13,22,31,40,49,58,67,76，所以输出的x 不小于40的概率为5
8.
答案：58
10．(2017·东北三省四市模拟)在某次数学考试中，甲、乙、丙三名同学中只有一个人得了优秀．当他们被问到谁得到了优秀时，丙说：“甲没有得优秀．”乙说：“我得了优秀．”甲说：“丙说的是真话．”事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得优秀的同学是________．
解析：分析题意只有一人说假话可知，甲与丙必定说的都是真话，故说假话的只有乙，即乙没有得优秀，甲也没有得优秀，得优秀的是丙． 答案：丙
11．(2016·广西模拟)已知在三角形ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，面积S ＝a 2－(b －c )2，b ＋c ＝8，则S 的最大值是________．
解析：因为S ＝a 2－(b －c )2，所以12bc sin A ＝－(b 2＋c 2－a 2)＋2bc ，所以1
2
bc sin A ＝2bc －2bc cos A ，
所以sin A ＝4(1－cos A )，所以sin A ＝817，所以S ＝12bc sin A ＝417bc ≤417⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋c 22＝64
17.
答案：64
17
12．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ln x ，x ≥1，ln x x ，0<x <1，对于正数x ，有x ＝f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2 017＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＋2 016＋…＋f ⎝⎛⎭⎫1
x ＋1＋f (x )＋
f (x ＋1)＋…＋f (x ＋2 017)，则x ＝________.
解析：当x >1时，f (x )＝x ln x ，则0<1
x
<1，所以f ⎝⎛⎭⎫1x ＝ln 1x 1x
＝－x ln x ， 所以f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝0，x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2 017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2 016＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋f (x )＋f (x ＋1)＋…＋f (x ＋2 017)＝f (x )．
又f (1)＝0，所以当x ≥1时，x ＝f (x )＝x ln x ，所以ln x ＝1，所以x ＝e>1，符合题意； 当0<x <1时，0<x ＝f (x )＝ln x
x <0，矛盾，故x ＝e.
答案：e
组合练二
一、选择题
1．(2017·赣州摸底)已知复数z ＝1＋3i ，则z 2
z －2＝( )
A ．2
B ．－2
C ．2i
D ．－2i
解析：z 2
z －2＝(1＋3i )21＋3i －2＝－2＋23i －1＋3i ＝2，故选A.
答案：A
2．(2017·衡阳模拟)命题“若x ≥a 2＋b 2，则x ≥2ab ”的逆命题是( ) A ．若x ＜a 2＋b 2，则x ＜2ab B ．若x ≥a 2＋b 2，则x ＜2ab C ．若x ＜2ab ，则x ＜a 2＋b 2
D ．若x ≥2ab ，则x ≥a 2＋b 2
解析：命题的逆命题是“若x ≥2ab ，则x ≥a 2＋b 2”．故选D. 答案：D
3．(2017·宜昌模拟)下列函数中，周期为π的奇函数是( ) A ．y ＝sin x cos x B ．y ＝sin 2x C ．y ＝tan 2x
D ．y ＝sin 2x ＋cos 2x
解析：y ＝sin 2x 为偶函数；y ＝tan 2x 的周期为π
2
；y ＝sin 2x ＋cos 2x 为非奇非偶函数，故B 、C 、D 都不正确，
选A. 答案：A
4．已知命题p ：函数f (x )＝|cos x |的最小正周期为2π；命题q ：函数y ＝x 3＋sin x 的图象关于原点中心对称，则下列命题是真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∨q C ．(綈p )∧(綈q )
D ．p ∨(綈q )
解析：因为命题p 为假，命题q 为真，所以p ∨q 为真命题． 答案：B
5．(2017·山西四校联考)已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 夹角的正弦值为( ) A ．－12
B ．－32
C.12
D.32
解析：∵a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝ 22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝－1
2，
又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝
3
2
. 答案：D
6．(2017·郑州模拟)已知a ，b ，c 是锐角△ABC 中角A ，B ，C 的对边，若a ＝4，c ＝6，△ABC 的面积为63，则b 为( ) A ．13 B ．8 C ．27
D ．2 2 解析：因为S △ABC ＝12ac sin B ＝12×4×6×sin B ＝63，所以sin B ＝32，又△ABC 为锐角三角形，所以B ＝π
3，
所以b 2＝16＋36－2×4×6×cos π
3＝28，故b ＝27，选C.
答案：C
7．某健康协会从某地区睡前看手机的居民中随机选取了n 人进行调查，得到如图所示的频率分布直方图．已知睡前看手机时间不低于20分钟的有243人，则n 的值为( )
A ．180
B ．270
C ．360
D ．450
解析：依题意，睡前看手机不低于20分钟的频率为1－0.01×10＝0.9，故n ＝243
0.9
＝270，故选B. 答案：B
8．(2017·甘肃模拟)如图，F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，过F 1的直线l 与双曲线
的左、右两支分别交于点B ，A .若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A.7 B ．4 C.233
D. 3
解析：依题意得|AB |＝|AF 2|＝|BF 2|，结合双曲线的定义可得|BF 1|＝2a ，|BF 2|＝4a ，|F 1F 2|＝2c ，由△ABF 2是等边三角形，可知∠F 1BF 2＝120°，由余弦定理，可得4a 2＋16a 2＋2·2a ·4a ·12＝4c 2，整理得e ＝c
a ＝7，
故选A. 答案：A 二、填空题
9．如图，若f (x )＝log 3x ，g (x )＝log 2x ，输入x ＝0.25，则输出的h (x )＝________.
解析：当x ＝0.25时，f (x )＝log 314∈(－2，－1)，g (x )＝log 21
4＝－2，所以f (x )＞g (x )，所以h (x )＝g (x )＝－2.
答案：－2
10．(2017·武汉调研)如图①②③④所示，它们都是由小正方形组成的图案，现按同样的规则进行排列，记第n 个图案包含的小正方形的个数为f (n )，则
(1)f (5)＝________；(2)f (n )＝________.
解析：观察规律，上、下两个部分是对称的． (1)f (5)＝2(1＋3＋5＋7)＋9＝41.
(2)f (n )＝2(1＋3＋5＋…＋2n －3)＋2n －1＝2n 2－2n ＋1. 答案：(1)41 (2)2n 2－2n ＋1
11．(2017·陕西师大附中模拟)采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1,2，…，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9.抽到的32人中，编号落入区间[1,450]的人做问卷A ，编号落入区间[451,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C .则抽到的人中，做问卷C 的人数为________． 解析：由
960
32
＝30，设n 抽到的号码为a n ，则a n ＝9＋30(n －1)＝30n －21，由750<30n －21≤960，得25.7<n ≤32.7，所以n 的取值为26,27,28,29,30,31,32，共7个，因此做问卷C 的人数为7. 答案：7
12．若函数f (x )＝ln x ＋(x －b )2(b ∈R)在区间⎣⎡⎦⎤
12，2上存在单调递增区间，则实数b 的取值范围是________． 解析：因为函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤12，2上存在单调递增区间，所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤1
2，2上存在子区间，使得不等式f ′(x )＞0成立，f ′(x )＝1
x ＋2(x －b )＝2x 2－2bx ＋1x .设h (x )＝2x 2－2bx ＋1，则h (2)＞0或h ⎝⎛⎭⎫12＞0，即8－4b ＋1＞0或12－b ＋1＞0，解得b ＜94.
答案：⎝
⎛⎭⎫－∞，94 组合练三
一、选择题
1．(2017·东北三省四市模拟)若复数z 满足i z ＝2－4i ，则z 在复平面内对应的点的坐标是( ) A ．(2,4) B ．(2，－4) C ．(－4，－2)
D ．(－4,2)
解析：由题意得，z ＝2－4i
i ＝－4－2i ，∴z ＝－4＋2i ，故其在复平面内对应的点是(－4,2)，选D.
答案：D
2．函数y ＝e cos x (－π≤x ≤π)的大致图象为( )
解析：∵y ＝e cos x ，x ∈[－π，π]为偶函数，故排除B 、D.又当x ∈[0，π]时u ＝cos x 为减函数，y ＝e u 为增函
数，∴y ＝e cos x 在[0，π]内为减函数．故排除A ，选C. 答案：C
3．“0＜a ＜1”是“ax 2＋2ax ＋1＞0的解集是实数集R ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：要使不等式ax 2＋2ax ＋1＞0的解集为R ， ①当a ＝0时，1＞0恒成立，满足条件；
②当a ≠0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧
a ＞0，
(2a )2
－4a ＜0，
解得0＜a ＜1.
因此要使不等式ax 2＋2ax ＋1＞0的解集为R ，必有0≤a ＜1.
故“0＜a ＜1”是“ax 2＋2ax ＋1＞0的解集是实数集R ”的充分不必要条件，故选A. 答案：A
4．某物业管理中心计划在小区内配置休闲长椅，针对配置休闲长椅的数量对小区居民进行了调查，调查结果如频率分布直方图所示，该物业管理中心根据频率最高的三组的平均数配置长椅，则至少应配置长椅的数量为(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)( )
A ．32条
B ．34条
C ．35条
D ．36条
解析：由于34×0.2＋44×0.3＋54×0.275＝34.85，所以至少应配置长椅35条． 答案：C
5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝7，S 6＝63，则S 9的值是( ) A ．255 B ．256 C ．511
D ．512
解析：∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，∵S 3＝7，S 6＝63， ∴S 9－S 6＝448，∴S 9＝448＋S 6＝448＋63＝511，选C. 答案：C
6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
A ．23＋3π27
B ．33＋43π
27
C ．53＋
3π27
D ．53＋
43π
27
解析：根据几何体的三视图，得该几何体是底部为正三棱柱，上部为一个球体的组合体， 且正三棱柱底面三角形的边长为2，高为5，球的半径为13× 3＝3
3，∴该组合体的体积
V ＝V 三棱柱＋V 球＝12×2×2×32×5＋43π×⎝⎛⎭⎫3
33＝53＋4327π.故选D.
答案：D
7．(2017·开封模拟)过双曲线M ：x 2
－y 2
b
2＝1(b ＞0)的左顶点A 作斜率为1的直线l ，若l 与双曲线M 的两条
渐近线分别相交于点B ，C ，且|AB |＝|BC |，则双曲线M 的离心率是( ) A.10 B. 5 C.
103
D.52
解析：设B (x B ，y B )，C (x C ，y C )，由题意知a ＝1，直线l 的方程为y ＝x ＋1，分别与双曲线的渐近线方程联立解得x B ＝－1 b ＋1，y B ＝b b ＋1，x C ＝1b －1，y C ＝b b －1，又点B 是AC 的中点，所以2b b ＋1＝b
b －1，解得b ＝3，
则c ＝10，故双曲线M 的离心率e ＝c
a ＝10.
答案：A
8．(2017·沈阳模拟)执行如图所示的程序框图，如果输入的a ＝－1，b ＝－2，则输出的a 的值为( )
A ．16
B ．8
C ．4
D ．2
解析：当a ＝－1，b ＝－2时，a ＝(－1)×(－2)＝2＜6；当a ＝2，b ＝－2时，a ＝2×(－2)＝－4＜6；当a ＝－4，b ＝－2时，a ＝(－4)×(－2)＝8＞6，此时输出的a ＝8，故选B. 答案：B 二、填空题
9．(2017·泰安模拟)已知向量a ＝(1，3)，向量a ，c 的夹角是π
3，a ·c ＝2，则|c |等于________．
解析：因为向量a ＝(1，3)，所以向量|a |＝2，又向量a ，c 的夹角是π
3，a ·c ＝2，
所以|c |＝a ·c |a |cos π3＝2
2×
12＝2.
答案：2
10．如图所示的茎叶图记录了甲、乙两人在某5次综合测试中的成绩(均为整数)，其中一个数字模糊不清，则甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为________．
解析：由茎叶图可知，x
甲＝
88＋89＋90＋91＋92
5
＝90，设模糊不清的数字为a (0≤a ≤9，a ∈N)，则x
乙
＝
83＋83＋87＋90＋a ＋995＝88.4＋a 5.若甲的平均成绩不超过乙的平均成绩，则88.4＋a
5
≥90，解得a ≥8，
所以a ＝8或a ＝9，所以甲的平均成绩不超过乙的平均成绩的概率为1
5.
答案：15
11．(2017·江苏启东中学模拟)已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且cos A cos B ＝－a
b ＋2
c ，
则角A 的大小为________．
解析：依题意得(b ＋2c )cos A ＝－a cos B ，由正弦定理得(sin B ＋2sin C )cos A ＝－sin A cos B ， 即sin A cos B ＋cos A sin B ＝－2sin C cos A ，整理得sin(A ＋B )＝sin C ＝－2sin C cos A ，cos A ＝－1
2.
又0＜A ＜π，所以A ＝2π
3.
答案：2π3
12．(2017·池州模拟)已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y －2≤0，x ＋3≥0，
x －y －1≤0，
则
x ＋y －6
x －4
的取值范围是________．
解析：不等式组表示的平面区域如图．
因为x ＋y －6x －4＝x －4＋y －2x －4＝1＋y －2x －4，而y －2x －4为区域内的点与点(4,2)连线的斜率，显然斜率的最小值为0，
点A (－3，－4)与点(4,2)连线的斜率最大为－4－2－3－4＝67，所以1＋y －2x －4的取值范围为⎣⎡⎦⎤1，13
7. 答案：⎣
⎡⎦⎤1，13
7 组合练四
一、选择题
1．已知集合A ＝{x |y ＝x －x 2
，y >0}，B ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫y ⎪⎪
y ＝⎝⎛⎭⎫12x
，0<x <1，则A ∩B ＝( ) A ．(0,1) B.⎝⎛⎭⎫1
2，＋∞ C.⎝⎛⎭⎫
12，1
D ．∅
解析：由x －x 2>0得0<x <1，即A ＝(0,1)；当0<x <1时，y ＝⎝⎛⎭⎫12x ∈⎝⎛⎭⎫12，1，即B ＝⎝⎛⎭⎫12，1，A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫1
2，1，故选C. 答案：C
2．若向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|a ＋2b |＝23，则|b |＝( ) A. 3 B ．1 C ．4
D ．3
解析：因为|a ＋2b |2＝(a ＋2b )2＝|a |2＋4a ·b ＋4|b |2＝22＋8·|b |·cos 60°＋4|b |2＝(23)2，所以|b |2＋|b |－2＝0， 解得|b |＝1.故选B. 答案：B
3．若等比数列的各项均为正数，前4项的和为9，积为81
4，则前4项倒数的和为( )
A.32
B.94 C ．1
D ．2
解析：设等比数列的首项为a 1，公比为q ，则第2,3,4项分别为a 1q ，a 1q 2，a 1q 3，依题意得a 1＋a 1q ＋a 1q 2
＋a 1q 3
＝9，a 1·a 1q ·a 1q 2
·a 1q 3
＝814⇒a 21q 3＝92，两式相除得a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3a 21q 3
＝1a 1＋1a 1q ＋1a 1q 2＋1
a 1q
3＝2. 答案：D
4．(2017·合肥模拟)为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据(x 1 ，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，(x 4，y 4)，(x 5，y 5)．根据收集到的数据可知x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝150，由最小二乘法求得回归直线方程为y ^
＝0.67x ＋54.9，则y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5的值为( ) A ．75 B ．155.4 C ．375
D ．466.2
解析：由x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋x 5＝150，得x ＝30，代入回归直线方程y ^
＝0.67x ＋54.9， 得y ＝75，则y 1＋y 2＋y 3＋y 4＋y 5＝375. 答案：C
5．(2017·昆明模拟)将函数f (x )＝3sin x －cos x 的图象沿着x 轴向右平移a (a ＞0)个单位后的图象关于y 轴对称，则a 的最小值是( ) A.π6 B.π3 C.π2
D.2π3
解析：依题意得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π6，函数f (x －a )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －a －π6的图象关于y 轴对称，因此sin ⎝⎛⎭⎫－a －π6＝±1，所以a ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，即a ＝k π＋π3，k ∈Z ，故正数a 的最小值是π
3，选B.
答案：B
6．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若FP →
＝3FQ →
，则|QF |＝( ) A.8
3 B.52 C ．3
D ．2
解析：设准线l 与x 轴交于M 点，则|FM |＝4，过Q 作x 轴的平行线交l 于点N ，由FP →
＝3FQ →
及抛物线的定义，得|QF |＝|QN |＝23|FM |＝8
3.
答案：A
7．(2017·宁夏吴忠联考)如图，某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向进行海面巡逻，当航行半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若船C 位于A 的北偏东30°方向上，则缉私艇所在的B 处与船C 的距离是( )
A ．5(6＋2)km
B ．5(6－2)km
C ．10(6－2)km
D ．10(6＋2)km
解析：由题意，知∠BAC ＝60°－30°＝30°，∠ABC ＝30°＋45°＝75°， ∠ACB ＝180°－75°－30°＝75°，∴AC ＝AB ＝40×12
＝20(km)．由余弦定理，
得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB ·cos ∠BAC ＝202＋202－2×20×20×cos 30°＝800－4003＝400(2－3)， ∴BC ＝400(2－3)＝
200(3－1)2＝102(3－1)＝10(6－2)km.故选C.
答案：C
8．(2017·济南外国语学校模拟)过双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0) 的右顶点作x 轴的垂线，与C 的一条
渐近线相交于点A .若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ，O 两点(O 为坐标原点)，则双曲线C 的方程为( ) A.x 24－y 2
12＝1 B.x 27－y 2
9＝1 C.x 28－y 2
8
＝1 D.x 212－y 2
4
＝1 解析：由双曲线方程知右顶点为(a,0)，不妨设其中一条渐近线方程为y ＝b
a x ，因此可得点A 的坐标为
(a ，b )．设右焦点为F (c,0)，由已知可知c ＝4，且|AF |＝4，即(c －a )2＋b 2＝16，所以有(c －a )2＋b 2＝c 2，又c 2
＝a 2
＋b 2
，则c ＝2a ，即a ＝c 2＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝42－22
＝12.故双曲线的方程为x 24－y 212
＝1，故选A.
答案：A 二、填空题
9．(2017·广东三校联考)已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N *)，经计算得f (2)＝32，f (4)＞2，f (8)＞5
2，f (16)＞3，
f (32)＞7
2，…，观察上述结果，可归纳出的一般结论为________．
解析：由归纳推理可得f (2n
)≥n ＋2
2
(n ∈N *)．
答案：f (2n )≥n ＋2
2
(n ∈N *)
10．已知命题p ：存在x 0∈R ，mx 2
0＜0，命题q ：对任意x ∈R ，x 2＋mx ＋4≥0，若p ∨(綈q )为假命题，则
实数m 的取值范围是________．
解析：由p ∨(綈q )为假命题，得p 假q 真，由p 假，得m ≥0，由q 真，得－4≤m ≤4，所以实数m 的取值
范围是[0,4]． 答案：[0,4]
11．若函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于原点对称，且f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π
4上单调递减，则ω的取值范围是________．
解析：由函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)(0＜φ＜π)的图象关于原点对称，得函数f (x )是奇函数，所以φ＝k π＋π
2(k ∈Z)．又
0＜φ＜π，所以φ＝π2，故f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π2＝－sin ωx .因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π4上单调递减，所以ω＞0，且π4≤T 4＝
π
2ω
，解得ω≤2.所以ω的取值范围是(0,2]． 答案：(0,2]
12．(2017·武汉调研)定义函数y ＝f (x )，x ∈I ，若存在常数M ，对于任意x 1∈I ，存在唯一的x 2∈I ，使得
f (x 1)＋f (x 2)
2＝M ，则称函数f (x )在I 上的“均值”为M ，已知f (x )＝log 2x ，x ∈[1,22 016]，则函数f (x )＝log 2x 在[1,22 016]上的“均值”为________．
解析：根据定义，函数y ＝f (x )，x ∈I ，若存在常数M ，对于任意x 1∈I ，存在唯一的x 2∈I ，使得
f (x 1)＋f (x 2)
2＝M ，则称函数f (x )在I 上的“均值”为M ，令x 1x 2＝1·22 016＝22 016，当x 1∈[1,22 016]时， 选定x 2＝22 016x 1∈[1,22 016]，可得M ＝12log 2(x 1x 2)＝1 008.
答案：1 008。