高一数学高效课堂资料57专题三训练带解析

三角恒等变换的应用策略 (1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关 系；注意公式的逆用和变形使用． (2)把形如 y＝asin x＋bcos x 化为 y＝ a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期 性、单调性、最值与对称性．
[训练] (2019·山东东营模拟)已知函数 f(x)＝2sin xsinx＋π6. (1)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当 x∈0，

π2时，求函数 f(x)的值域．
解 (1)f(x)＝2sin x 23sinx＋12cosx
＝
1－cos 3× 2
2x＋12sin
2x＝sin2x－π3＋
23.
所以函数 f(x)的最小正周期为 T＝π.
由－π2＋2kπ≤2x－π3 ≤π2＋2kπ，k∈Z，
故 f(x)的值域为0， 1＋ 23.
10°＝
sin 40°c·2ossin1100°°－60°＝－2sicno4s01°0c°os 40°＝－csoins 8100°°＝－ccooss 1100°°＝－1.
• 三角函数给角求值问题的解题策略
• 一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换转化为求特殊角的三角函数值 问题，另外此类问题也常通过代数变形(比如：正负项相消、分子分母相约等)的方式来求值．
考向 3：给值求角问题
设 α，β 为钝角，且 sin α＝ 55，cos β＝－31010，则 α＋β 的值为( C )
A．34π
B．54π
C．74π
D．54π或74π
解析 ∵α，β 为钝角，sin α＝ 55，cos β＝－31010，
∴cos α＝－255，sin β＝ 1100，
∴cos(α＋β)＝cos
A．0
B．
2 2
C．1
DFra Baidu bibliotek12
解析 由 2tan αsin α＝3，得2csoisn2αα＝3， 即 2cos2α＋3cos α－2＝0， ∴cos α＝12或 cos α＝－2(舍去)． ∵－π2＜α＜0，∴sin α＝－ 23， ∴cosα－π6＝cos αcos π6＋sin αsin π6＝0.
α.]
2．化简：sins2inα－α－2cπ4os2α＝___2___2_co_s__α______. 解析 原式＝2sin22αcosαα－－c2ocsoαs2α＝2 2cos α.
• (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征．
• (2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式 之间的共同点．
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高一数学 市实验中学 数学组
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自主
考点一 三角函数式的化简
完成
1.
＋2α 1＋cos 2α ·
cos2α＋α等于(
D
)
A．－sin α
B．－cos α
C．sin α
D．cos α
解析
原式＝
－sin ＋cos
2α 2α
2α －sin
α＝2sin2cαo·sc2oαs·sαin·coαs2α＝cos
(2)(2017·全国卷Ⅰ)已知 α∈0，π2，tan α＝2，则 cosα－π4＝____3_1_01_0_________.
解析 cosα－π4＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝ 22(cos α＋sin α)．又由 α∈0，π2，tan
考向 2：给值求值问题
(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知 sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则 sin(α＋β) ＝____－__12__________
解析 ∵sin α＋cos β＝1，① cos α＋sin β＝0，② ∴①2＋②2 得 1＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＋1＝1， ∴sin αcos β＋cos αsin β＝－12，∴sin(α＋β)＝－12.
α＝2，知 sin α＝255，cos α＝ 55，
∴cosα－π4＝
22×
55＋2
5
5＝3
10 10 .
• 解三角函数的给值求值问题的基本步骤 • (1)先化简所求式子或所给条件． • (2)观察已知条件与所求式子之间的联系． • (3)将已知条件代入所求式子，化简求值．
[训练 1] cos 310°－sin 1170°＝( D )
A．4
B．2
C．－2
D．－4
解析
cos 310°－sin 1170°＝cos 310°－sin110°＝
3sin sin
1100°°c－osco1s0°10°＝
1
－
2sin 20°
＝－122sisnin2200°°＝－4.
[训练 2] 已知 2tan αsin α＝3，α∈－π2，0，则 cosα－π6的值是( A )
αcos
β－sin
αsin
β＝
2 2 >0.
又 α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈32π，2π，∴α＋β＝74π.
[变式探究] π
本例中，若 α，β 为锐角，sin α＝ 55，cos β＝31010，则 α＋β＝
_____4___________.
解析 ∵α，β 为锐角，∴cos α＝255，sin β＝ 1100，
∴cos(α＋β)＝cos
αcos
β－sin
αsin
β＝2
5
53 ×
1010－
5 5×
1100＝
2 2.
又 0<α＋β<π，∴α＋β＝π4.
三角函数给值求角问题的解题策略 对于给值求角问题，通过先求角的某个三角函数值来求角，在选取函数时，遵循 以下原则： (1)已知正切函数值，选正切函数． (2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数． 若角的范围是0，π2，选正弦或余弦函数皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦函 数较好；若角的范围为－π2，π2，选正弦函数较好．
多维
考点二 三角函数式的求值
探究
三角函数式的求值是三角函数的基本考点，主要依据三角函数的有关公式进行适 当的化简与求值，属于基础题．
考向 1：给角求值问题
sin 40°(tan 10°－ 3)＝( B )
A．－12
B．－1
C．
3 2
D．－
3 3
解析
sin 40°(tan 10°－
3)＝sin
40°sin 10°－ 3cos cos 10°
师生
考点三 三角恒等变换的综合应用
共研
(2017·浙江卷)已知函数 f(x)＝sin2x－cos2x－2 3sin xcos x(x∈R)． (1)求 f23π的值； (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间．
解 (1)由 sin 23π＝ 23，cos 23π＝－12， 得 f23π＝ 232－－122－2 3× 23×－12， 所以 f23π＝2. (2)由 cos 2x＝cos2x－sin2x 与 sin 2x＝2sin xcos x 得 f(x)＝－cos 2x－ 3sin 2x＝－2sin2x＋π6， 所以 f(x)的最小正周期是 π.
解得－1π2＋kπ≤x≤51π2＋kπ，k∈Z，
所以函数 f(x)的单调递增区间是 －1π2＋kπ， 51π2＋kπ，k∈Z.
(2)当 x∈0，

π2时，2x－π3∈－π3，
23π，
sin2x－π3∈－ 23， 1，f(x)∈0， 1＋ 23.