火线100天(四川专版)中考数学一轮复习 第一单元 数与式 第3讲 分式-人教版初中九年级全册数学试

第3讲分式分式的概念
分式概念形如
A
B
(A、B是整式，B中含有①________，且B≠0)的式子叫做分式. 有意义的条件分母不为0.
值为零的条件分子为0，且分母不为0.
分式的基本性质
分式的基本性质A
B
＝
A×M
B×M
，
A
B
＝
A÷M
B÷M
(M是不为零的整式).
约分把分式的分子和分母中的②________约去，叫做分式的约分.
通分
根据分式的③________，把异分母的分式化为④________的分式，这一过程叫做分
式的通分.
分式的运算
分式的乘除法a
b
·
c
d
＝
ac
bd
，
a
b
÷
c
d
＝
a
b
·
d
c
＝
ad
bc
.
分式的乘方(a
b
)n＝
a n
b n
(n为整数).
分式的加减法a
c
±
b
c
＝
a±b
c
，
a
b
±
c
d
＝
ad±bc
bd
.
分式的混合运算
在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，
最后进行加减运算．遇到有括号，先算括号里面的.
【易错提示】分式运算的结果一定要化成最简分式．
1．乘方时一定要先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的奇次方为负．
2．在分式的加减运算中，如需要通分时，一定要先把分母可以分解因式的多项式分解因式后再找最简公分母，分式的乘除运算中，需要约分时，也要先把可以分解因式的多项式先分解因式再约分．
命题点1 分式有意义、值为零的条件
(2014·某某)当分式1x －2
有意义时，x 的取值X 围为________．
当分式的分母为零时，分式无意义；当分式的分母不为零时，分式有意义；当分式的分子为零，且分式的分母不为零时，分式的值为零．
1．当分式1x ＋5
有意义时，x 的取值X 围为________． 2．(2013·某某)若分式x 2－1x ＋1
的值为0，则实数x 的值为________． 3．(2014·凉山)分式
||x －3x ＋3的值为零，则x 的值为() A ．3
B ．－3
C ．±3
D ．任意实数
命题点2 分式的运算
(2015·某某)先化简：(2x 2＋2x x 2－1－x 2
－x x 2－2x ＋1)÷x x ＋1
，然后解答下列问题： (1)当x ＝3时，求原代数式的值；
(2)原代数式的值能等于－1吗？为什么？
【思路点拨】 (1)先进行括号内的异分母加减运算，再进行分式的除法运算；最后代数求值；(2)先假设原代数式的值等于－1，即是原式化简后的值为1，求出未知数x 的值，再看x 的值能否使原代数式有意义，若有意义，则能；否则不能．
【解答】
分式运算的常见技巧有：(1)式子中的某些分式的分子、分母能约分的可先约分，再按运算法则计算化简；(2)当括号外的因式与括号内的分母能约分时，可依照分配律先去括号，再化简计算．对于分式化简求值题目，还必须注意一点：未知数的取值不仅要使得所有分式的分母不为零，而且还要使除式的分子不为零，如本例第(2)小题．
1．(2015·某某)化简x 2x －1＋11－x
的结果是() A ．x ＋1
B.1x ＋1 C ．x －1 D.x x －1 2．(2015·某某)化简：(a a ＋2＋1a 2－4)÷a －1a ＋2
.
3．(2015·某某)化简求值：2a a 2－4÷(a 2
a －2
－a)，其中a ＝3－2.
1．(2015·某某)分式－11－x
可变形为() A ．－1x －1
B.11＋x C ．－11＋x D.1x －1 2．(2014·某某)要使分式x ＋1x －2
有意义，则x 的取值应满足() A ．x ≠2
B ．x ≠－1
C ．x ＝2
D ．x ＝－1
3．(2014·某某)若分式x 2－1x －1
的值为零，则x 的值为() A ．0 B ．1
C ．－1
D ．±1
4．(2015·某某)化简a 2＋2ab ＋b 2
a 2－
b 2－b a －b
的结果是() A.
a a －
b B.b a －b C.a a ＋b D.b a ＋b 5．(2015·某某)如果分式2x x ＋3
有意义，那么x 的取值X 围是________． 6．当x ＝________时，代数式1|x|－1
无意义． 7．(2015·某某)若代数式x 2
－5x ＋62x －6
的值等于0，则x ＝________． 8．(2015·某某)化简2x ＋6x 2－9
得________． 9．(2015·某某)计算：a a ＋2－4a 2＋2a
＝________． 10．(2014·某某)化简(1－1x －1)÷x －2x 2－2x ＋1
的结果是________． 11．(2015·眉山)计算：x 2－1x 2－2x ＋1÷x 2＋x x －1
. 12．(2015·某某)化简：2a a ＋1－2a －4a 2－1÷a －2a 2－2a ＋1
.
13．(2015·某某)化简：(1a －1－1a 2－1)÷a 2－a a 2－1
.
14．(2015·某某)计算：(a ＋2－5a －2)·2a －43－a
.
15．(2015·资阳)先化简，再求值：(1x －1－1x ＋1)÷x ＋2x 2－1
，其中x 满足2x －6＝0.
16．(2014·某某)已知a 2＋3ab ＋b 2＝0(a≠0，b ≠0)，则代数式b a ＋a b
的值等于________． 17．(2015·凉山)先化简：(x ＋1x －1＋1)÷x 2
＋x x 2－2x ＋1＋2－2x x 2－1
，然后从－2≤x≤2的X 围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值．
18．(2015·达州)化简a a 2－4·a ＋2a 2－3a －12－a
，并求值，其中a 与2、3构成△ABC 的三边，且a 为整数．
参考答案
考点解读
考点1 ①字母
考点2 ②公因式 ③基本性质 ④同分母
各个击破
例1 x≠2
题组训练 1.x≠－5 2.1 3.A
例2 (1)原式＝[2x （x ＋1）（x ＋1）（x －1）－x （x －1）（x －1）2]·x ＋1x
＝(2x x －1－x x －1)·x ＋1x
＝
x x －1·x ＋1x ＝x ＋1x －1. 当x ＝3时，原式＝3＋13－1
＝2. (2)如果x ＋1x －1
＝－1，那么x ＋1＝1－x ，解得x ＝0， 当x ＝0时，除式x x ＋1
＝0，原式无意义， 故原代数式的值不能等于－1.
题组训练
1.A
2.原式＝(a 2－2a a 2－4＋1a 2－4)·a ＋2a －1
＝（a －1）2（a ＋2）（a －2）·a ＋2a －1
＝a －1a －2
. 3.原式＝2a （a ＋2）（a －2）÷a 2－a （a －2）a －2
＝
2a （a ＋2）（a －2）·a －22a ＝1a ＋2
. 当a ＝3－2时，原式＝
13－2＋2＝33. 整合集训
基础过关
1．D 2.A 3.C 4.A 5.x≠－3 6.±1 7.2 8.2x －3 9.a －2a
10．x －1
11.原式＝（x ＋1）（x －1）（x －1）2·x －1x （x ＋1）＝1x
. 12.原式＝2a a ＋1－2（a －2）（a ＋1）（a －1）·（a －1）2
a －2
＝
2a a ＋1－2（a －1）（a ＋1） ＝2a ＋1. 13.原式＝[a ＋1（a －1）（a ＋1）－1（a －1）（a ＋1）]·（a －1）（a ＋1）a （a －1）
＝
a （a －1）（a ＋1）·（a －1）（a ＋1）a （a －1） ＝1a －1
. 14.原式＝（a ＋2）（a －2）－5a －2·2（a －2）3－a
＝（a ＋3）（a －3）a －2·2（a －2）3－a
＝－2(a ＋3)
＝－2a －6.
15.原式＝[x ＋1（x －1）（x ＋1）－x －1（x －1）（x ＋1）]÷x ＋2x 2－1
＝2（x －1）（x ＋1）·（x －1）（x ＋1）x ＋2 ＝2x ＋2
. ∵2x －6＝0，
∴x ＝3.
当x ＝3时，原式＝25
. 能力提升
16．－3
17.原式＝(x ＋1x －1＋x －1x －1)·（x －1）2
x （x ＋1）＋2（1－x ）（x ＋1）（x －1）
＝2x x －1·（x －1）2x （x ＋1）－2x ＋1
＝
2（x －1）x ＋1－2x ＋1 ＝2x －4x ＋1. 满足－2≤x≤2的整数有：－2、－1、0、1、2，但是，x ＝－1、0、1时，原式无意义， ∴x ＝－2或2.
当x ＝－2时，原式＝2×（－2）－4－2＋1＝－8－1
＝8； 当x ＝2时，原式＝2×2－42＋1＝03
＝0. 18.原式＝a （a ＋2）（a －2）·a ＋2a （a －3）＋1a －2
＝
1（a －2）（a －3）＋1a －2 ＝
1＋a －3（a －2）（a －3） ＝
a －2（a －2）（a －3） ＝1a －3
. ∵a 与2、3构成△ABC 的三边，且a 为整数，
∴1＜a ＜5，即a ＝2，3，4.
当a ＝2或a ＝3时，原式没有意义，则a ＝4时，原式＝1.。