黑龙江省佳木斯市第一中学2017-2018学年高二上学期期中考试数学(文)试题含答案

黑龙江省佳木斯市第一中学2017—2018学年高二上学期期中考试
数学(文)试题 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 在复平面内，复数
()
1z i i =+，那么
z =
( )
A ．1
B 23．2
2。

抛物线22y x =的焦点到准线的距离为( ）
A ．1
2 B ．1 C ．2 D ．
3 3。

直线
()1:3230
l kx k y +--=和
()()2:2220
l k x k y -++-=互相垂直，则实数k 的值是（ ）
A ．2-或1-
B ．2或1-
C ．2-或1
D ．2或1 4。

极坐标方程()()()
100ρθπρ--=≥表示的图形是
A 。

两个圆
B 。

两条直线
C.一个圆和一条射线
D 。

一条直线和一条射线 5.圆
221x y +=经过伸缩变换23x x y y
'=⎧⎨
'=⎩后所得图形的焦距（ )
A ．4
B ．13．25 D ．6 6。

若直线
y kx
=与圆(
)2
221
x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则,k b 的值分别为（ ）
A ．1,42k b ==-
B ．1,42k b =-=
C ．1,42k b ==
D ．1,4
2k b =-=-
7.已知椭圆C 的方程为()
22
21016x y b b +=>，如果直线2y =与椭圆的—个交点M 在x 轴上的射影恰好是椭圆的右
焦点F ，则b 的值为（ )
A ．2
B ．23．8 D ．228. 设椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>的左、右焦点分别为12F F 、，若直线3y x 与椭圆C 交于P Q 、两点,且四边形
12PF QF 是矩形，则C 的离心率为（ ）
A ．3
B ．3
C ．1
3 D 31
9。

已知F是抛物线
2
1
4
y x
=
的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是( ）
A．
2
1
2
x y
=-
B．
2
1
2
16
x y
=-
C．
221
x y
=- D．222
x y
=-
10.已知
()
00
,
M x y
是双曲线
2
2
:1
2
x
C y
-=
上的一点，12
,
F F是C上的两个焦点，若
12
MF MF
⋅<，则
y的取值范围
是（）
A
．
⎛
⎝⎭ B
．
⎛
⎝⎭ C
．
⎛
⎝⎭ D
．
⎛
⎝⎭
11。

过抛物线
24
y x
=的焦点F的直线交抛物线与,A B两点,O为坐标原点.若3
AF=
,则AOB
∆的面积为（）
A
． B
． D
．
12。

已知双曲线
()
22
22
:10
x y
C a b
a b
-=>0,>
的右顶点为A，抛物线2
:8
C y ax
=的焦点为F.若在E的渐近线上存在点
P,使得AP FP
⊥，则E的离心率的取值范围是（ )
A．()
1,2
B
．
⎛
⎝⎦ C
．
⎫
+∞⎪⎪
⎣⎭ D．()
2,+∞
第Ⅱ卷（共90分)
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.设双曲线
()
22
22
10
x y
a b
a b
-=>0,>
的虚轴长为2,
焦距为,则双曲线的渐近线方程为．
14。

在极坐标系中,点
2,
6
A
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭，在以极点为坐标原点，极轴所在直线为x轴的平面直角坐标系中，点A的坐标
为．
15。

等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线
216
y x
=的准线交于,A B两点
,
AB=
，则C的实
轴长为．
16.
已知抛物线方程为
2
y=-,直线l
50
y
+-=，在抛物线上有一动点A，点A到y轴的距离为m，
到直线l的距离为n,则m n
+的最小值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
17。

在平面直角坐标系xOy中，曲线
243
y x x
=-+与坐标轴的交点都在圆上.
(1）求圆C的方程；
（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点,且｜
2
AB =,求a 的值。

18.已知抛物线的标准方程为2
4x y =.
（1)过点
()
2,1P 作直线l 与抛物线有且只有一个公共点，求直线l 的方程。

（2）过点
()
1,1Q 作直线交抛物线于,A B 两点,使得Q 恰好平分线段AB ，求直线AB 的方程.
19。

已知曲线C
的参数方程为sin x y θθ⎧=⎪⎨
=⎪⎩(θ为参数），以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直
线l 的极坐标方程为
sin 26πρθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭。

（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程; （2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值。

20.在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为
4sin 3πρθ⎛
⎫
=+
⎪
⎝
⎭。

若以极点O 为原点，极轴所在直线为x 轴建立平面直
角坐标系，直线l 的参数方程为
:1121x t y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪
⎩(t 为参数) （1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程; （2）已知点
()
1,1P ,直线l 与曲线C 的交点为A B 、，求
PA PB
⋅的值.
21。

已知椭圆()22
22:10x y E a b a b +=>>，椭圆两焦点与短轴的一个顶点的连线构成斜边长为4的等腰直角三角形.
（1）求椭圆E 的方程;
（2
）若点
(
A ,
直线
:l y x m =
+与椭圆E 交于不同的两点,B C ，求ABC ∆面积最大时直线l 的方程。

22. 已知椭圆()22
22:10x y C a b a b +=>>
1
1。

（1)求椭圆的方程;
(2）过点10,3S ⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点,试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q ，使得以线段AB 为直径的圆恒过点Q ？若存在,求出点Q 的坐标：若不存在，请说明理由。

试卷答案
一、选择题
1-5: BBDCC 6-10: ADDCA 11、12:CB 二、填空题
13。

y = 14。

) 15。

4 16。

4三、解答题
17.(1） 曲线与坐标轴交点分别为(
)()()
0,3,1,0,3,0
过三点的圆的方程：(
)()2
2
225
x y -+-=
（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且｜2
AB =,所以圆心到直线0x y a -+=的距离为2,2
=，
所以a =±18.（1）直线斜率不存在时，过点()2,1的直线2x =与抛物线2
4x y =有一个交点。

直线斜率存在时,设直线斜率为k ，直线方程为
()
12y k x -=-
由()2
411x y y k x ⎧=⎪⎨
-=-⎪⎩得24840x kx k -++=，直线与抛物线只有一个交点,所以()2164840k k ∆=-+=，
解得1k =
所以直线方程为1y x =-
综上，过点()2,1与抛物线2
4x y =有一个交点的直线方程为2x =和1y x =-。

（2）设点()()
1122,,,A x y B x y 直线AB 斜率为k
点
()()
1122,,,A x y B x y 在抛物线上，所以22
11224,4x y x y ==
所以
()
2
2
1
2124x x y y -=-即
121
42x x k +=
=
所以直线方程为210x y -+= 经捡验,直线210x y -+=符合题意.
19。

（1）曲线C 的直角坐标方程为22
1
279x y +=
直线l 的直角坐标方程为40x +-=
（2）设曲线C
上的点的坐标为
),sin θθ
，
点到直线40x +-=
的距离为
d =
当
54π
θ=
时，d
的最大值为。

20。

（1）曲线C
的直角坐标方程为22
20x y y +--=
直线l
10y -+
（2
）将1121x t y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪
⎩ （t
为参数）代入22
20x y y +--=得到
(
210
t t +-
∵12t t =
∴
PA PB ⋅=21。

（1)椭圆方程为22
184x y +=
(2）设直线l
的方程为
y m
=
+,,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，
由2228
x y y x m ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩
得22
40x m +-=,
则
()()222244880
m m m ∆=--=->，
所以2
08m ≤<
由
2
1212,4x x x x m +==-， 得
BC =
又点A 到BC
的距离为
d =
故
1
2ABC S BC d ∆=
⋅当且仅当2
4m =即2m =±时取等号，
当2m =±时,满足2
08m ≤<
故直线
l 的方程为
:2l y =
±。

22。

解(1）椭圆方程为2
21
2x y +=.
（2）当l 与x 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为
2
2
11639x y ⎛
⎫++=
⎪⎝⎭； 当l 与y 轴平行时，以线段AB 为直径的圆的方程为22
1x y +=。

故若存在定点Q ,则Q 的坐标只可能为()
0,1Q 。

下面证明
()
0,1Q 为所求：
若直线l 的斜率不存在,上述己经证明。

若直线l 的斜率存在，设直线
1
:3l y kx =-
，()()1122,,,A x y B x y ，
由2213220y kx x y ⎧
=-
⎪⎨
⎪+-=⎩得()
2291812160k x kx +--=，
()22144649180
k k ∆=++>，
1212
221216
,189189k x x x x k k -+=
=++，
()()
1122,1,,1QA x y QB x y =-=-,
()()121211QA QB x x y y ⋅=+--
()()21212416
139k k x x x x =+-
++ ()2221641216
10
91839189k k k k k -=+⋅-⋅+=++。

∴QA QB ⊥，即以线段AB 为直径的圆恒过点
()
0,1Q .。