2020-2021学年苏科 版八年级上册数学《第3章 勾股定理》单元测试卷(有答案)

2020-2021学年苏科新版八年级上册数学《第3章勾股定理》单
元测试卷
一．选择题
1．在下列条件中：①∠A+∠B＝∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝90°﹣∠B，
④∠A＝∠B＝∠C，⑤∠A＝2∠B＝3∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条件有
（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．直角三角形的周长为22，斜边长为10，则其面积为（）
A．22B．11C．24D．48
3．下列各组线段能构成直角三角形的是（）
A．7，24，25B．7，12，13C．5，9，12D．3，4，6
4．在下列四组数中，不是勾股数的一组数是（）
A．a＝15，b＝8，c＝17B．a＝6，b＝8，c＝10
C．a＝3，b＝4，c＝5D．a＝3，b＝5，c＝7
5．如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝6，AB＝10，P为边AB上一动点，PD⊥AC于D，PE ⊥BC于E，则DE的最小值为（）
A．3.6B．4.8C．5D．5.2
6．若一个直角三角形的两直角边的长为12和5，则第三边的长为（）A．13或B．13或15C．13D．15
7．如图，四个全等的直角三角形围成正方形ABCD和正方形EFGH，即赵爽弦图．连结AC、FN，分别交EF、GH于点M，N．已知AH＝3DH，且S
＝21，则图中阴影部分
正方形ABCD
的面积之和为（）
A．B．C．D．
8．如图，直线AB∥CD，将含有45°角的三角板EFP的直角顶点F放在直线CD上，顶点E放在直线AB上，若∠2＝17°，则∠1的度数为（）
A．45°B．28°C．25°D．30°
9．古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”
意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝9尺，BC＝3尺，则AC等于（）尺．
A．3.5B．4C．4.5D．5
10．将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，则h的取值范围是（）
A．h≤15cm B．h≥8cm C．8cm≤h≤17cm D．7cm≤h≤16cm 二．填空题
11．在△ABC中，若∠C＝90°，∠B＝35°，则∠A的度数为．
12．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上且2∠CBE＝∠ABE，过点A作AD ∥BC，AD与BE的延长线交于点D，DE＝，则AB＝．
13．在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°，AC＝2，斜边AB的长为．
14．如图所示，在4×4的正方形方格图中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC是三角形．
15．下列四组数：①0.6，0.8，1；②5，12，13；③8，15，17；④4，5，6．其中是勾股数的组数为．
16．如图，△ABC中，∠ABC＝2∠ACB，AH⊥BC于点H，若AB＝5，BH＝1，则BC＝．
17．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝，BC＝3，则AB2+CD2＝．
18．图1是我国著名的“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形所围成．将四个直角三角形的较短边（如AF）向外延长与此边长相等的长度得到点A'，B'，C'，D'，得到图2．已
知正方形EFGH与正方形A'B'C'D'的面积分别为1cm2和85cm2，则阴影部分的面积为cm2．
19．如图，已知CD＝3，AD＝4，BC＝12，AB＝13，∠ADC＝90°，阴影部分的面积为．
20．如图，每个空油桶的直径是50cm，将15个空油桶堆在一起，若要给它们盖一个遮雨棚，这个遮雨棚高至少为cm．
三．解答题
21．法国数学家费尔马早在17世纪就研究过形如x2+y2＝z2的关系式，显然，满足这个关系式的x，y，z有无数组．当x，y，z都为正整数时，我们把这样的三个数x，y，z叫做勾股数．如，3，4，5就是一组勾股数．
（1）请你再写出两组勾股数：，；
（2）古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x＝2n，y＝n2﹣1，z＝n2+1，那么，x，y，z为勾股数，请你加以证明．
22．如图．△ABC≌△FED，∠C＝∠EDF＝90°．点E在AB边上．点C、D、B、F在同一条直线上，AC＝5，AB＝6．
（1）求DE的长．
（2）求△BDE与△BCA的面积比．
23．如图，一个梯子AB长25米，顶端A靠在墙AC上（墙与地面垂直），这时梯子下端B 与墙角C距离为7米．
（1）求梯子顶端A与地面的距离AC的长；
（2）若梯子的顶端A下滑到E，使AE＝4，求梯子的下端B滑动的距离BD的长．
24．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．（1）求BC的长；
（2）求△ABC的面积；
（3）判断△ABC的形状．
25．公元3世纪，我国数学家赵爽在注《周髀算经》中，就利用下列弦图证明了勾股定理．即用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形ABCD，中间留出一个小正方形空格．请你利用这个弦图证明勾股定理．
26．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，点D在BC上，且CD＝2BD，∠ADC＝60°，CE ⊥AD，垂足为E，连接BE．
（1）求证：EB＝EC；
（2）求∠ACB的度数．
27．如图1，∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，CE⊥AD，且BE平分∠ABC．（1）求证：∠ACE＝∠ABC；
（2）求证：∠ECD+∠EBC＝∠BEC；
（3）求证：∠CEF＝∠CFE．
参考答案与试题解析
一．选择题
1．解：①因为∠A+∠B＝∠C，则2∠C＝180°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形；
②因为∠A：∠B：∠C＝1：2：3，设∠A＝x，则x+2x+3x＝180，x＝30°，∠C＝30°
×3＝90°，所以△ABC是直角三角形；
③因为∠A＝90°﹣∠B，所以∠A+∠B＝90°，则∠C＝180°﹣90°＝90°，所以△ABC
是直角三角形；
④因为∠A＝∠B＝∠C，所以∠A+∠B+∠C＝∠C+∠C+∠C＝180°，则∠C＝
90°，所以△ABC是直角三角形；
⑤因为3∠C＝2∠B＝∠A，∠A+∠B+∠C＝∠A+∠A+∠A＝180°，∠A＝
°，所以△ABC为钝角三角形．
所以能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个，
故选：C．
2．解：设这个直角三角形的一条直角边为x，则另一条边为22﹣10﹣x，由勾股定理得，x2+（12﹣x）2＝102，
化简得，x（12﹣x）＝22，
∴这个直角三角形的面积等于×x（12﹣x）＝×22＝11．
故选：B．
3．解：A、72+242＝252，能构成直角三角形；
B、72+122≠132，不能构成直角三角形；
C、52+92≠122，不能构成直角三角形；
D、32+42≠62，不能构成直角三角形．
故选：A．
4．解：A、82+152＝172，是勾股数，不符合题意；
B、62+82＝102，是勾股数，不符合题意；
C、32+42＝52，是勾股数，不符合题意；
D、32+52≠72，不是勾股数，符合题意．
故选：D ．
5．解：∵△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，AB ＝10，82+62＝102， ∴△ABC 是直角三角形，∠C ＝90°，
连接CP ，
∵PD ⊥AC 于D ，PE ⊥CB 于E ，
∴四边形DPEC 是矩形，
∴DE ＝CP ，
当DE 最小时，则CP 最小，根据垂线段最短可知当CP ⊥AB 时，则CP 最小， ∴DE ＝CP ＝
＝4.8，
故选：B ．
6．解：∵一个直角三角形的两直角边的长为12和5， ∴第三边的长为
＝13．
故选：C ．
7．解：∵S 正方形ABCD ＝21，
∴AB 2＝21，
设DH ＝x ，
则AH ＝3DH ＝3x ，
∴x 2+9x 2＝21，
∴x 2＝， 根据题意可知：
AE ＝CG ＝DH ＝x ，CF ＝AH ＝3x ，
∴FE ＝FG ＝CF ﹣CG ＝3x ﹣x ＝2x ，
∴S △FGN ＝2S △CGN
∵S △AEM ＝S △CGN ，
∴S △FGN ＝S △AEM +S △CGN ，
∴阴影部分的面积之和为：
S 梯形NGFM ＝（NG +FM ）•FG ＝（EM +MF ）•FG ＝FE •FG ＝×（2x ）2
＝2x 2 ＝．
故选：B ．
8．解：∵AB ∥CD ，
∴∠DFE +∠FEB ＝180°，
∴∠1+∠PFE +∠FEP +∠2＝180°，
∵∠PFE ＝90°，∠FEP ＝45°，
∴∠1+∠2＝45°，
∵∠2＝17°，
∴∠1＝28°，
故选：B ．
9．解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为（9﹣x ）尺，
根据勾股定理得：x 2+32＝（9﹣x ）2．
解得：x ＝4，
答：折断处离地面的高度为4尺．
故选：B ．
10．解：如图，当筷子的底端在D 点时，筷子露在杯子外面的长度最长， ∴h ＝24﹣8＝16（cm ）；
当筷子的底端在A 点时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在Rt △ABD 中，AD ＝15cm ，BD ＝8cm ，
∴AB ＝＝17（cm ），
所以h 的取值范围是：8cm ≤h ≤17cm ．
故选：C．
二．填空题
11．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，∴∠A＝90°﹣35°＝55°，
故答案是：55°．
12．解：如图，取DE的中点F，连接AF，
∵AD∥BC，∠C＝90°．
∴∠D＝∠CBE，∠EAD＝90°，
∵2∠CBE＝∠ABE
∴∠ABE＝2∠D，
∵F为DE的中点，
∴AF＝DF＝EF，
∴∠D＝∠FAD，
∵∠AFB＝∠D+∠FAD，
∴∠AFB＝∠ABF，
∴AB＝AF＝DE，
∵DE＝，
∴AB＝．
故答案为：．
13．解：如图，
∵∠C＝90°，∠A＝45°，
∴∠B＝90°﹣45°＝45°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝CB＝2，
∴AB＝＝＝2．
故答案为：2．
14．解：∵AB2＝32+42＝25，AC2＝22+42＝20，BC2＝12+22＝5，∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
故答案为：直角．
15．解：①0.62+0.82＝12，不是整数，不是勾股数；
②52+122＝132，是勾股数；
③82+152＝172，是勾股数；
④42+52≠62，不是勾股数；
其中是勾股数的组为2．
故答案为：2．
16．解：截取线段HD＝HB，点D在线段BC上，如右图所示，则HD＝HB＝1，
∵AH⊥BC，
∴∠AHB＝∠AHD，
在△AHB和△AHD中，
，
∴△AHB≌△AHD（SAS），
∴AB＝AD，∠ABH＝∠ADH，
∵AB＝5，
∴AD＝5，
又∵∠ABC＝2∠ACB，∠ADB＝∠DAC+∠C，
∴∠ADB＝2∠ACB，
∴∠DAC＝∠C，
∴AD＝CD，
∴CD＝5，
∴BC＝HB+HD+CD＝1+1+5＝7，
故答案为：7．
17．解：∵AC⊥BD，
∴∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝∠AOB＝90°，
∴OB2+OC2＝BC2，OA2+OD2＝AD2，OB2+OA2＝AB2，OC2+OD2＝CD2，∴AB2+CD2＝OB2+OA2+OC2+OD2＝BC2+AD2，
∵AD＝，BC＝3，
∴BC2+AD2＝（3）2+（）2＝18+5＝23，
∴AB2+CD2＝23，
故答案为：23．
18．解：∵正方形EFGH与正方形A′B′C′D′的面积分别为1cm2和85cm2，∴EF＝FG＝GH＝HE＝1，A′B′＝B′C′＝C′D′＝A′D′＝，设四个直角三角形的较短边为x，则在Rt△A′ED′中，
D′E＝2x，A′E＝2x+1，由题意得
（2x）2+（2x+1）2＝85，
化简得：2x2+x﹣21＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣3.5（舍），
∴A′F＝C′H＝6，AE＝CG＝4，
∴图2中阴影部分的面积是（3×6÷2+3×4÷2）×2＝30，
故答案为：30．
19．解：在Rt△ADC中，由勾股定理得：AC＝＝＝5，∵AC＝5，AB＝13，BC＝12，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴阴影部分的面积S＝S
△ACB ﹣S
△ADC
＝
＝
＝24，
故答案为：24．
20．解：如图，AD⊥BC于D，
∵AB＝4×50＝200，BC＝4×50＝200，AC＝4×50＝200，
∴△ABC为等边三角形，
∴AD＝BC＝100，
∴油桶的最高点到地面的距离＝25+100+25≈223.21（cm）．答：遮雨棚起码要223.21cm高．
故答案为：223.21．
三．解答题
21．解：（1）两组勾股数：6，8，10；9，12，15；
故答案为：6，8，10；9，12，15；
（2）证明：x2+y2＝（2n）2+（n2﹣1）2
＝4n2+n4﹣2n2+1
＝n4+2n2+1
＝（n2+1）2，
∴x，y，z为勾股数．
22．解：（1）在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，AB＝6，
∴BC＝＝＝；
∵△ABC≌△FED，
∴DE＝BC＝；
（2）∵∠C＝∠EDF＝90°，
∴ED∥AC．
∴△BDE∽△BCA，
∴△BDE与△BCA的面积比为（）2＝（）2＝．
23．解：（1）由勾股定理可得：AC＝＝＝24（米），答：梯子顶端A与地面的距离AC的长为24米；
（2）∵梯子的顶端A下滑到E，使AE＝4，
∴EC＝24﹣4＝20（米），
∴DC＝＝＝15（米），
则BD＝15﹣7＝8（米），
答：梯子的下端B滑动的距离BD的长为8米．
24．解：（1）∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
由勾股定理得：BC＝＝＝15；
（2）在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD＝＝＝16，∵BD＝9，
∴AB＝AD+BD＝16+9＝25，
∴△ABC的面积S＝＝＝150；
（3）∵AC＝20，BC＝15，AB＝25，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠ACB＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
25．解：根据题意可知：
边长为c的大正方形的面积
＝4个全等的两个直角边长分别为a和b的直角三角形的面积+边长为（b﹣a）的小正方形的面积，
即：c2＝4×ab+（b﹣a）2
整理得，c2＝a2+b2．
所以直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和．
26．（1）证明：∵CE⊥AD，∠ADC＝60°，
∴∠DCE＝30°，
∴CD＝2DE，
∵CD＝2BD，
∴DE＝BD，
∴∠EBD＝∠BED＝30°＝∠DCE，
∴EB＝EC．
（2）解：∵∠ABE＝45°﹣30°＝15°，
∴∠BAE＝∠BED﹣∠ABE＝30°﹣15°＝15°，
∴EB＝EA，
又∵EB＝EC，
∴EA＝EC，
∴∠ACE＝90°÷2＝45°，
∴∠ACD＝30°+45°＝75°．
27．证明：（1）∵CE⊥AD，∠ACD＝90°，∵∠ACE+∠ECD＝∠D+∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠D．
∵∠D＝∠ABC，
∴∠ACE＝∠ABC；
（2）∵∠BAC＝∠ACD＝90°，∠ABC＝∠ADC，∴∠ACB＝∠DAC，
∴AD∥BC，
∵CE⊥AD，
∴CE⊥BC，
∴∠BEC+∠EBC＝90°，
∵∠D+∠ECD＝90°，∠D＝∠ABC，
∴∠ABC+∠ECD＝90°，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC
∴2∠EBC+∠ECD＝90°，
∴2∠EBC+∠ECD＝∠BEC+∠EBC，
即∠EBC+∠ECD＝∠BEC；
（3）∵∠ABF+∠AFB＝90°，∠AFB＝∠CFE，∴∠ABF+∠CFE＝90°，
∵∠CBE+∠CEF＝90°，∠ABF＝∠CAE，
∴∠CEF＝CFE．。